6. 如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数.
答案：6. (1) 证明:$\because AE$和$BD$相交于点$O$,$\therefore ∠ AOD=∠ BOE$.在$△ AOD$和$△ BOE$中,$∠ A=∠ B$,$\therefore ∠ BEO=∠ 2$. 又$\because ∠ 1=∠ 2$,$\therefore ∠ 1=∠ BEO$,$\therefore ∠ AEC=∠ BED$.在$△ AEC$和$△ BED$中
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\AE=BE,\\∠ AEC=∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA})$.
(2) $\because △ AEC≌△ BED$,$\therefore EC=ED$,$∠ C=∠ BDE$，在$△ EDC$中,$\because EC=ED$,$∠ 1=42°$,$\therefore ∠ C=∠ EDC=69°$,$\therefore ∠ BDE=∠ C=69°$.
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\AE=BE,\\∠ AEC=∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA})$.
(2) $\because △ AEC≌△ BED$,$\therefore EC=ED$,$∠ C=∠ BDE$，在$△ EDC$中,$\because EC=ED$,$∠ 1=42°$,$\therefore ∠ C=∠ EDC=69°$,$\therefore ∠ BDE=∠ C=69°$.
解析：
【分析】
（1）要证明△AEC≌△BED，已知给出了∠A=∠B、AE=BE两个条件，还需要一组对应角相等。首先利用对顶角相等，结合∠A=∠B可推出∠BEO=∠2，再结合已知∠1=∠2，可证得∠AEC=∠BED，满足ASA全等判定条件即可完成证明。
（2）由全等三角形的性质可得EC=ED、∠C=∠BDE，可知△EDC是等腰三角形，已知顶角∠1=42°，根据等腰三角形底角相等的性质算出∠C的度数，即可得到∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等）。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED，即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\AE=BE,\\∠ AEC=∠ BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
(2) 解：
∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE（全等三角形对应边、对应角相等）。
在△EDC中，EC=ED，△EDC为等腰三角形，已知∠1=42°，
∴∠C=∠EDC=$\frac{180°-42°}{2}=69°$，
∴∠BDE=∠C=69°。
【答案】
（1）△AEC≌△BED证明成立；（2）$\boldsymbol{69°}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量转化得到全等判定所需的条件，再结合等腰三角形的角度计算规则求解，熟练掌握基础几何判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△AEC≌△BED，已知给出了∠A=∠B、AE=BE两个条件，还需要一组对应角相等。首先利用对顶角相等，结合∠A=∠B可推出∠BEO=∠2，再结合已知∠1=∠2，可证得∠AEC=∠BED，满足ASA全等判定条件即可完成证明。
（2）由全等三角形的性质可得EC=ED、∠C=∠BDE，可知△EDC是等腰三角形，已知顶角∠1=42°，根据等腰三角形底角相等的性质算出∠C的度数，即可得到∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE（对顶角相等）。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED，即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\AE=BE,\\∠ AEC=∠ BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED（ASA）。
(2) 解：
∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE（全等三角形对应边、对应角相等）。
在△EDC中，EC=ED，△EDC为等腰三角形，已知∠1=42°，
∴∠C=∠EDC=$\frac{180°-42°}{2}=69°$，
∴∠BDE=∠C=69°。
【答案】
（1）△AEC≌△BED证明成立；（2）$\boldsymbol{69°}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量转化得到全等判定所需的条件，再结合等腰三角形的角度计算规则求解，熟练掌握基础几何判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
如图,点 C 为线段 AB 上任意一点(不与点 A,B 重合),分别以 AC,BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ACD 和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD 与∠BCE 都是锐角,且∠ACD=∠BCE,连接 AE 交 CD 于点 M,连接 BD 交 CE 于点 N,AE 与 BD 交于点 P,连接 CP.求证:
(1) $△ ACE ≌ △ DCB$;
(2) $∠ APC = ∠ BPC$.
(1) $△ ACE ≌ △ DCB$;
(2) $∠ APC = ∠ BPC$.
答案：提示:(1) 利用SAS得证；(2) 由(1)知,$△ ACE$与$△ DCB$面积相等,$AE=BD$,则$AE$,$BD$上的高相等，即点$C$到$∠ APB$两边距离相等,得$PC$平分$∠ APB$.
解析：
【分析】
(1)要证明△ACE≌△DCB，已知题目给出CA=CD、CB=CE，只需证明两边的夹角∠ACE和∠DCB相等即可。利用已知∠ACD=∠BCE，两角同时加上公共角∠DCE就能得到夹角相等，满足SAS全等判定条件。
(2)要证明∠APC=∠BPC，本质是证明PC平分∠APB，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠APB的两边AE、BD的距离相等。由(1)的全等可得AE=BD，且△ACE和△DCB面积相等，利用三角形面积公式可推出两条高（即C到AE、BD的距离）相等，即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ ∠ACD = ∠BCE，
∴ ∠ACD + ∠DCE = ∠BCE + ∠DCE，即∠ACE = ∠DCB。
在△ACE和△DCB中：
$\{\begin{array}{l}CA = CD \\∠ACE = ∠DCB \\CE = CB\end{array} $
∴ △ACE ≌ △DCB（SAS）。
(2) 过点C作CH⊥AE于点H，CG⊥BD于点G。
∵ △ACE ≌ △DCB，
∴ AE = BD，$S_{△ ACE} = S_{△ DCB}$。
∵ $S_{△ ACE} = \frac{1}{2} · AE · CH$，$S_{△ DCB} = \frac{1}{2} · BD · CG$，
∴ $\frac{1}{2} · AE · CH = \frac{1}{2} · BD · CG$，
又
∵ AE = BD，
∴ CH = CG。
∵ CH⊥AE，CG⊥BD，即点C到∠APB的两边AE、BD的距离相等，
∴ 点C在∠APB的角平分线上，即PC平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
【答案】
(1)△ACE≌△DCB得证；(2)∠APC=∠BPC得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形与角平分线判定结合的典型几何题，解题核心是先通过角的和差关系得到全等所需的等角，证明三角形全等后，再利用全等的性质结合面积法得到点到两边的距离相等，进而推导角相等，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACE≌△DCB，已知题目给出CA=CD、CB=CE，只需证明两边的夹角∠ACE和∠DCB相等即可。利用已知∠ACD=∠BCE，两角同时加上公共角∠DCE就能得到夹角相等，满足SAS全等判定条件。
(2)要证明∠APC=∠BPC，本质是证明PC平分∠APB，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠APB的两边AE、BD的距离相等。由(1)的全等可得AE=BD，且△ACE和△DCB面积相等，利用三角形面积公式可推出两条高（即C到AE、BD的距离）相等，即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ ∠ACD = ∠BCE，
∴ ∠ACD + ∠DCE = ∠BCE + ∠DCE，即∠ACE = ∠DCB。
在△ACE和△DCB中：
$\{\begin{array}{l}CA = CD \\∠ACE = ∠DCB \\CE = CB\end{array} $
∴ △ACE ≌ △DCB（SAS）。
(2) 过点C作CH⊥AE于点H，CG⊥BD于点G。
∵ △ACE ≌ △DCB，
∴ AE = BD，$S_{△ ACE} = S_{△ DCB}$。
∵ $S_{△ ACE} = \frac{1}{2} · AE · CH$，$S_{△ DCB} = \frac{1}{2} · BD · CG$，
∴ $\frac{1}{2} · AE · CH = \frac{1}{2} · BD · CG$，
又
∵ AE = BD，
∴ CH = CG。
∵ CH⊥AE，CG⊥BD，即点C到∠APB的两边AE、BD的距离相等，
∴ 点C在∠APB的角平分线上，即PC平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
【答案】
(1)△ACE≌△DCB得证；(2)∠APC=∠BPC得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形与角平分线判定结合的典型几何题，解题核心是先通过角的和差关系得到全等所需的等角，证明三角形全等后，再利用全等的性质结合面积法得到点到两边的距离相等，进而推导角相等，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 有两个角相等的三角形是
等腰三角形
（简写成“等角
对等边
”）。答案：1. 等腰三角形；角；边.
解析：
【分析】
解题时先回忆等腰三角形的判定相关知识：首先，等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，而我们学过的判定定理指出，若三角形有两个内角相等，那么这两个角所对的边也相等，因此这类三角形符合等腰三角形的定义；同时该判定定理的简化表述为“等角对等边”，对应即可完成填空。
【解析】
1. 根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等，满足等腰三角形的定义，因此第一个空填等腰三角形。
2. 该判定定理可以简写成“等角对等边”，因此后两个空依次填入角、边。
【答案】
等腰三角形；角；边
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对等腰三角形判定定理的记忆与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆等腰三角形的判定相关知识：首先，等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，而我们学过的判定定理指出，若三角形有两个内角相等，那么这两个角所对的边也相等，因此这类三角形符合等腰三角形的定义；同时该判定定理的简化表述为“等角对等边”，对应即可完成填空。
【解析】
1. 根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等，满足等腰三角形的定义，因此第一个空填等腰三角形。
2. 该判定定理可以简写成“等角对等边”，因此后两个空依次填入角、边。
【答案】
等腰三角形；角；边
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对等腰三角形判定定理的记忆与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为
36°
。答案：2. $36°$.
解析：
【分析】
解题时首先利用等腰三角形底角相等的性质，结合三角形内角和先求出顶角∠A的度数；再根据线段垂直平分线的性质，得到AE=BE，利用等边对等角求出∠ABE的度数；最后用底角∠ABC的度数减去∠ABE的度数，即可得到∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，底角为72°
∴∠ABC=∠C=72°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°×2=36°
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE=BE
∴∠ABE=∠A=36°
∴∠EBC=∠ABC - ∠ABE=72°-36°=36°
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找准角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用等腰三角形底角相等的性质，结合三角形内角和先求出顶角∠A的度数；再根据线段垂直平分线的性质，得到AE=BE，利用等边对等角求出∠ABE的度数；最后用底角∠ABC的度数减去∠ABE的度数，即可得到∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，底角为72°
∴∠ABC=∠C=72°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°×2=36°
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE=BE
∴∠ABE=∠A=36°
∴∠EBC=∠ABC - ∠ABE=72°-36°=36°
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找准角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$BD=AD=AE=EC$，且$∠ B=36°$，则图中有
6
个等腰三角形。答案：3. 6.
解析：
【分析】
解题时先结合等腰三角形的判定规则：两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形。首先根据题干给出的BD=AD、AD=AE、AE=EC的边相等条件，先找出3个基础的等腰三角形，再通过三角形内角和定理、外角性质计算各角的度数，用“等角对等边”判断剩余三角形是否为等腰三角形，计数时按顺序排查，避免重复或遗漏。
【解析】
1. 由已知边相等判定的等腰三角形：
① 因为BD=AD，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠B=36°，则∠ADB=180°-36°×2=108°，可得∠ADE=180°-∠ADB=72°。
② 因为AD=AE，所以△ADE是等腰三角形，∠AED=∠ADE=72°，则∠DAE=180°-72°×2=36°。
③ 因为AE=EC，所以△AEC是等腰三角形，∠EAC=∠C；又因为∠AED是△AEC的外角，所以∠AED=∠EAC+∠C=2∠C=72°，解得∠C=∠EAC=36°。
2. 由等角对等边判定的等腰三角形：
④ 在△ABE中，∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，∠AEB=∠AED=72°，所以∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形。
⑤ 在△ADC中，∠DAC=∠DAE+∠EAC=36°+36°=72°，∠ADC=∠ADE=72°，所以∠DAC=∠ADC，AC=DC，△ADC是等腰三角形。
⑥ 在△ABC中，∠B=∠C=36°，所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题的关键是通过角度计算结合等腰三角形的判定规则逐一排查，计数时按顺序梳理即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合等腰三角形的判定规则：两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形。首先根据题干给出的BD=AD、AD=AE、AE=EC的边相等条件，先找出3个基础的等腰三角形，再通过三角形内角和定理、外角性质计算各角的度数，用“等角对等边”判断剩余三角形是否为等腰三角形，计数时按顺序排查，避免重复或遗漏。
【解析】
1. 由已知边相等判定的等腰三角形：
① 因为BD=AD，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠B=36°，则∠ADB=180°-36°×2=108°，可得∠ADE=180°-∠ADB=72°。
② 因为AD=AE，所以△ADE是等腰三角形，∠AED=∠ADE=72°，则∠DAE=180°-72°×2=36°。
③ 因为AE=EC，所以△AEC是等腰三角形，∠EAC=∠C；又因为∠AED是△AEC的外角，所以∠AED=∠EAC+∠C=2∠C=72°，解得∠C=∠EAC=36°。
2. 由等角对等边判定的等腰三角形：
④ 在△ABE中，∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，∠AEB=∠AED=72°，所以∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形。
⑤ 在△ADC中，∠DAC=∠DAE+∠EAC=36°+36°=72°，∠ADC=∠ADE=72°，所以∠DAC=∠ADC，AC=DC，△ADC是等腰三角形。
⑥ 在△ABC中，∠B=∠C=36°，所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题的关键是通过角度计算结合等腰三角形的判定规则逐一排查，计数时按顺序梳理即可避免出错。
【难度系数】
0.7