如图,在$△ ABC$中,$BA=BC$,$D$在边$CB$上,且$DB=DA=AC$.
(1) 如图
,$∠ B=$
(2) 如图
,若$M$为线段$BC$上的点,过点$M$作直线$MH ⊥ AD$交$AD$的延长线于点$H$,分别交直线$AB$,$AC$的延长线于点$N$,$E$.
① 求证:$△ ANE$是等腰三角形;
② 试写出线段$BN$,$CE$,$CD$之间的数量关系,并加以证明.
(1) 如图
,$∠ B=$36
$°$,$∠ C=$72
$°$;(2) 如图
,若$M$为线段$BC$上的点,过点$M$作直线$MH ⊥ AD$交$AD$的延长线于点$H$,分别交直线$AB$,$AC$的延长线于点$N$,$E$.① 求证:$△ ANE$是等腰三角形;
② 试写出线段$BN$,$CE$,$CD$之间的数量关系,并加以证明.
答案：提示:(1) 由$BA=BC$,且$DB=DA=AC$可得$∠ C=∠ ADC=∠ BAC=2∠ B$,$∠ DAC=∠ B$,在$△ ADC$中由三角形内角和可求得$∠ B=36°$,$∠ C=2∠ B=72°$；
(2) ① 由(1)可知$∠ BAD=∠ CAD=36°$,且$∠ AHN=∠ AHE=90°$,可求得$∠ ANH=∠ AEH=54°$,可得$AN=AE$；② $CD=BN+CE$. 证明:由①知$AN=AE$,又$\because BA=BC$,$DB=AC$,$\therefore BN=AB-AN=BC-AE$,$CE=AE-AC=AE-BD$,$\therefore BN+CE=BC-BD=CD$,即 $CD=BN+CE$.
(2) ① 由(1)可知$∠ BAD=∠ CAD=36°$,且$∠ AHN=∠ AHE=90°$,可求得$∠ ANH=∠ AEH=54°$,可得$AN=AE$；② $CD=BN+CE$. 证明:由①知$AN=AE$,又$\because BA=BC$,$DB=AC$,$\therefore BN=AB-AN=BC-AE$,$CE=AE-AC=AE-BD$,$\therefore BN+CE=BC-BD=CD$,即 $CD=BN+CE$.
解析：
【分析】
(1) 解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，把相等的边转化为相等的角，再结合三角形外角的性质，将△ADC的内角全部用∠B表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
(2) ①要证明△ANE是等腰三角形，只需证∠ANH=∠AEH即可：先由(1)的结论得到∠BAD=∠CAD，再结合MH⊥AD得到直角，利用直角三角形两锐角互余即可推出两个角相等，得到AN=AE。
②探究线段关系时，利用①得到的AN=AE，结合已知的BA=BC、AC=BD，把BN和CE分别表示为线段差，相加化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 设∠B=x，
∵ DB=DA，
∴ ∠BAD=∠B=x，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=2x，
∵ DA=AC，
∴ ∠C=∠ADC=2x，
∵ BA=BC，
∴ ∠BAC=∠C=2x，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，故∠B=36°，∠C=2x=72°。
(2) ①证明：
由(1)可知∠BAD=∠B=36°，∠BAC=72°，
∴ ∠CAD=∠BAC-∠BAD=72°-36°=36°，即∠BAD=∠CAD，
∵ MH⊥AD，
∴ ∠AHN=∠AHE=90°，
∴ ∠ANH=90°-∠BAD=54°，∠AEH=90°-∠CAD=54°，
∴ ∠ANH=∠AEH，
∴ AN=AE，即△ANE是等腰三角形。
②线段数量关系：CD=BN+CE，证明如下：
由①知AN=AE，又
∵ BA=BC，DB=AC，
∴ BN=AB-AN=BC-AE，CE=AE-AC=AE-BD，
两式相加得：BN+CE=BC-AE+AE-BD=BC-BD，
∵ BC-BD=CD，
∴ CD=BN+CE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36}$，$\boldsymbol{72}$；
(2) ①△ANE是等腰三角形，证明见上述解析；②$\boldsymbol{CD=BN+CE}$，证明见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 三角形内角和定理
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察等腰三角形相关性质与判定，结合角的计算、线段和差推导进行设问，解题核心是灵活运用等边对等角、等角对等边的性质，挖掘角与角、线段与线段的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，把相等的边转化为相等的角，再结合三角形外角的性质，将△ADC的内角全部用∠B表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
(2) ①要证明△ANE是等腰三角形，只需证∠ANH=∠AEH即可：先由(1)的结论得到∠BAD=∠CAD，再结合MH⊥AD得到直角，利用直角三角形两锐角互余即可推出两个角相等，得到AN=AE。
②探究线段关系时，利用①得到的AN=AE，结合已知的BA=BC、AC=BD，把BN和CE分别表示为线段差，相加化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 设∠B=x，
∵ DB=DA，
∴ ∠BAD=∠B=x，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=2x，
∵ DA=AC，
∴ ∠C=∠ADC=2x，
∵ BA=BC，
∴ ∠BAC=∠C=2x，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，故∠B=36°，∠C=2x=72°。
(2) ①证明：
由(1)可知∠BAD=∠B=36°，∠BAC=72°，
∴ ∠CAD=∠BAC-∠BAD=72°-36°=36°，即∠BAD=∠CAD，
∵ MH⊥AD，
∴ ∠AHN=∠AHE=90°，
∴ ∠ANH=90°-∠BAD=54°，∠AEH=90°-∠CAD=54°，
∴ ∠ANH=∠AEH，
∴ AN=AE，即△ANE是等腰三角形。
②线段数量关系：CD=BN+CE，证明如下：
由①知AN=AE，又
∵ BA=BC，DB=AC，
∴ BN=AB-AN=BC-AE，CE=AE-AC=AE-BD，
两式相加得：BN+CE=BC-AE+AE-BD=BC-BD，
∵ BC-BD=CD，
∴ CD=BN+CE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36}$，$\boldsymbol{72}$；
(2) ①△ANE是等腰三角形，证明见上述解析；②$\boldsymbol{CD=BN+CE}$，证明见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 三角形内角和定理
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察等腰三角形相关性质与判定，结合角的计算、线段和差推导进行设问，解题核心是灵活运用等边对等角、等角对等边的性质，挖掘角与角、线段与线段的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.6
1. 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
60
°。答案：1. 60.
解析：
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意三角形的内角和为180°，二是等边三角形的三个内角大小相等。要求等边三角形每个角的度数，只需要将三角形内角和平均分成3份，计算每份的大小即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，三角形的内角和为180°；
又因为等边三角形的三个内角都相等，
所以每一个内角的度数为：$180° ÷ 3 = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要对等边三角形的角的性质进行考察，熟练掌握基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意三角形的内角和为180°，二是等边三角形的三个内角大小相等。要求等边三角形每个角的度数，只需要将三角形内角和平均分成3份，计算每份的大小即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，三角形的内角和为180°；
又因为等边三角形的三个内角都相等，
所以每一个内角的度数为：$180° ÷ 3 = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要对等边三角形的角的性质进行考察，熟练掌握基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 已知在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=3 cm,则AB=
6
cm.答案：2. 6.
解析：
【分析】
本题是含30°锐角的直角三角形边长计算问题，解题思路清晰：首先明确已知三角形为直角三角形，其次找到30°角∠A对应的直角边是BC，再回忆含30°角的直角三角形的核心性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，最后代入已知的BC长度即可计算出斜边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴ △ABC是直角三角形，BC是30°角∠A所对的直角边，AB为斜边。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
∴ $AB=2BC$
又
∵ $BC=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对含30°角的直角三角形性质的掌握，熟记性质即可快速解题，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
本题是含30°锐角的直角三角形边长计算问题，解题思路清晰：首先明确已知三角形为直角三角形，其次找到30°角∠A对应的直角边是BC，再回忆含30°角的直角三角形的核心性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，最后代入已知的BC长度即可计算出斜边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴ △ABC是直角三角形，BC是30°角∠A所对的直角边，AB为斜边。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
∴ $AB=2BC$
又
∵ $BC=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对含30°角的直角三角形性质的掌握，熟记性质即可快速解题，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
3. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 $，将等边三角形如图所示放置，若 $ ∠ α = 40° $，则 $ ∠ β $ 的度数为 
20°
。答案：3. 20°.
解析：
【分析】
遇到两条平行线间夹折线的几何题，首先考虑过折点作平行线，利用平行线的内错角相等转化角度；再结合等边三角形内角为60°的性质，就能建立已知角∠α和未知角∠β的关系，进而求出∠β的度数。
【解析】
过等边三角形左侧的顶点作直线$ l // l_1 $，
∵ $ l_1 // l_2 $，
∴ $ l // l_1 // l_2 $。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得直线$ l $与等边三角形下侧边的夹角等于$ ∠α=40° $。
∵ 等边三角形的内角均为$ 60° $，
∴ 直线$ l $与等边三角形上侧边的夹角为$ 60°-40°=20° $。
再根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠β=20° $。
【答案】
$ 20° $
【知识点】
平行线的性质、等边三角形的性质
【点评】
本题是平行线与等边三角形性质的基础综合题，解题的核心是掌握“平行线间夹折线时过折点作平行线”的辅助线作法，通过内错角相等转化角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到两条平行线间夹折线的几何题，首先考虑过折点作平行线，利用平行线的内错角相等转化角度；再结合等边三角形内角为60°的性质，就能建立已知角∠α和未知角∠β的关系，进而求出∠β的度数。
【解析】
过等边三角形左侧的顶点作直线$ l // l_1 $，
∵ $ l_1 // l_2 $，
∴ $ l // l_1 // l_2 $。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得直线$ l $与等边三角形下侧边的夹角等于$ ∠α=40° $。
∵ 等边三角形的内角均为$ 60° $，
∴ 直线$ l $与等边三角形上侧边的夹角为$ 60°-40°=20° $。
再根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠β=20° $。
【答案】
$ 20° $
【知识点】
平行线的性质、等边三角形的性质
【点评】
本题是平行线与等边三角形性质的基础综合题，解题的核心是掌握“平行线间夹折线时过折点作平行线”的辅助线作法，通过内错角相等转化角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
问题 如图,在等边三角形ABC中,点D是AC的中点,点E为BC延长线上一点,且$CE=CD$,$DM⊥BC$,垂足是M.求证:点M是BE的中点.
名师指导
由等腰三角形的性质可得$∠E=∠CDE$,又由等边三角形的性质可得$∠ACB=60°$,$∠DBC=30°$,从而易得$∠DBE=∠E$,进而可得$DB=DE$,利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得结论.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
证明:
名师指导
由等腰三角形的性质可得$∠E=∠CDE$,又由等边三角形的性质可得$∠ACB=60°$,$∠DBC=30°$,从而易得$∠DBE=∠E$,进而可得$DB=DE$,利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得结论.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
证明:
答案：证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ 点D是AC的中点，
∴ BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBC = ∠E，
∴ DB = DE，即△DBE是等腰三角形。
又∵ DM⊥BC，垂足为M，
∴ 点M是BE的中点（等腰三角形三线合一）。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ 点D是AC的中点，
∴ BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBC = ∠E，
∴ DB = DE，即△DBE是等腰三角形。
又∵ DM⊥BC，垂足为M，
∴ 点M是BE的中点（等腰三角形三线合一）。
解析：
【分析】
要证明点M是BE的中点，已知DM⊥BC，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△DBE是等腰三角形，即证DB=DE，进一步转化为证明∠DBC=∠E。首先利用等边三角形的性质和D是中点的条件求出∠DBC的度数，再结合CE=CD的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到DB=DE，最后结合DM⊥BE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ 点D是AC的中点，
∴ BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBC = ∠E，
∴ DB = DE，即△DBE是等腰三角形。
又
∵ DM⊥BC，垂足为M，
∴ 点M是BE的中点（等腰三角形三线合一）。
【答案】
点M是BE的中点，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是通过角度推导得到等角，进而得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质完成证明，熟练掌握等边、等腰三角形的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明点M是BE的中点，已知DM⊥BC，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△DBE是等腰三角形，即证DB=DE，进一步转化为证明∠DBC=∠E。首先利用等边三角形的性质和D是中点的条件求出∠DBC的度数，再结合CE=CD的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到DB=DE，最后结合DM⊥BE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ 点D是AC的中点，
∴ BD平分∠ABC（等边三角形三线合一），
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBC = ∠E，
∴ DB = DE，即△DBE是等腰三角形。
又
∵ DM⊥BC，垂足为M，
∴ 点M是BE的中点（等腰三角形三线合一）。
【答案】
点M是BE的中点，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是通过角度推导得到等角，进而得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质完成证明，熟练掌握等边、等腰三角形的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7