【分析】
这三道题均属于整式除法类运算，解题思路如下：1. 针对(1)(2)的多项式除以单项式题型，遵循对应运算法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，计算时要注意每一项的符号，同底数幂相除时底数不变、指数相减，不要漏除多项式的任意一项；2. 针对(3)的混合运算题，先计算小括号内的乘法，用平方差公式化简乘积后合并同类项，最后按照单项式除以单项式的法则计算即可。
【解析】
(1) 原式$=4x^2y÷(-2x^2y) - x^3y^3÷(-2x^2y)$
$=-2 + \frac{1}{2}xy^2$
$=\frac{1}{2}xy^2 - 2$
(2) 原式$=27a^3÷3a - 15a^2÷3a + 3a÷3a$
$=9a^2 - 5a + 1$
(3) 原式$=[(x^4 - 1) + 1]÷x^3$
$=x^4÷x^3$
$=x$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}xy^2 - 2$；(2) $9a^2 - 5a + 1$；(3) $x$
【知识点】
多项式除以单项式，平方差公式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察整式除法的运算法则和运算顺序，运算时要注意符号判断，避免出现漏除项、误将相同项相除的结果算为0的错误，混合运算需遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序。
【难度系数】
0.75

【分析】
这是一道整式乘除运算的正误判断题，解题时需要结合整式乘除的各类运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确。首先回忆相关法则：①积的乘方需将每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，幂的乘方底数不变、指数相乘；②同底数幂相乘，底数不变、指数相加；③单项式除以单项式时，系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；④多项式除以单项式时，多项式的每一项都要分别除以单项式，再将所得的商相加。按照上述法则逐个判断选项即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(x^2 y^3)^4 = (x^2)^4 · (y^3)^4 = x^{2×4}y^{3×4}=x^8 y^{12}$，与选项中的$x^6 y^7$不符，故A错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^3 · x^4 = x^{3+4}=x^7$，运算正确，故B正确；
C选项：根据单项式除以单项式法则，$(x^2 y^3) ÷ (xy^3) = (x^2÷x)·(y^3÷y^3)=x^{2-1}·y^{3-3}=x·1=x$，与选项中的$xy$不符，故C错误；
D选项：根据多项式除以单项式法则，$(21x^3 -14x^2 +7x) ÷7x = 21x^3÷7x -14x^2÷7x +7x÷7x = 3x^2 -2x +1$，与选项中的$3x^2 -2x$不符（漏了常数项1），故D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；整式的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查各类整式乘除的运算法则，解题时需注意指数的运算规则，多项式除以单项式时不要出现漏除项的错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是先依据单项式除以单项式的运算法则化简等式左侧，再根据等式两边相同字母的指数对应相等，分别列关于m、n的方程求解即可。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：系数相除，同底数幂分别相除，可得：
$6a^4b^m ÷ 8a^nb = \frac{6}{8}a^{4-n}b^{m-1} = \frac{3}{4}a^{4-n}b^{m-1}$
已知该结果等于$\frac{3}{4}b^3$，说明等式两边相同字母的指数对应相等：
1. 对于字母$a$：商中不含$a$，即$a$的指数为0，因此$4-n=0$，解得$n=4$；
2. 对于字母$b$：$b$的指数相等，因此$m-1=3$，解得$m=4$。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，解题核心是熟练掌握单项式除法的运算规则，能根据等式两边同类字母的指数关系建立方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是已知除数和商求被除数的整式运算题，根据除法运算中“被除数=除数×商”的关系，可将问题转化为单项式乘多项式的计算：用除数$\frac{5}{3}x^2y$分别乘商式$-2x^2y^4+\frac{3}{2}x$的每一项，再把所得的积相加即可，计算时需注意同底数幂的乘法法则和符号处理。
【解析】
根据除法各部分的关系可得：
$M=(-2x^2y^4+\frac{3}{2}x)×\frac{5}{3}x^2y$
按照单项式乘多项式的运算法则展开计算：
1. 计算第一项乘积：
$-2x^2y^4×\frac{5}{3}x^2y=(-2×\frac{5}{3})· x^{2+2}· y^{4+1}=-\frac{10}{3}x^4y^5$
2. 计算第二项乘积：
$\frac{3}{2}x×\frac{5}{3}x^2y=(\frac{3}{2}×\frac{5}{3})· x^{1+2}· y=\frac{5}{2}x^3y$
3. 合并两项结果得：
$M=-\frac{10}{3}x^4y^5+\frac{5}{2}x^3y$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是利用除法的逆运算将问题转化为单项式乘多项式计算，计算时需注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，避免因粗心算错系数或指数。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是运用多项式除以单项式的法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，依次计算每个选项的结果，对比选项判断正误，找出错误的选项即可。
【解析】
按照多项式除以单项式的法则逐一计算各选项：
选项A：$\begin{split}&(8x^3y - 2x^2) ÷ (-2x^2)\\=&8x^3y÷(-2x^2) + (-2x^2)÷(-2x^2)\\=&-4xy + 1\end{split}$
计算正确，不符合题意。
选项B：$\begin{split}&(\frac{6}{5}a^3x^4 - \frac{9}{10}ax^5) ÷ \frac{3}{5}ax^3\\=&\frac{6}{5}a^3x^4÷\frac{3}{5}ax^3 + (-\frac{9}{10}ax^5)÷\frac{3}{5}ax^3\\=&2a^2x - \frac{3}{2}x^2\end{split}$
计算结果与选项给出的$\frac{1}{2}a^2x - \frac{2}{3}x^2$不符，计算错误，符合题意。
选项C：$\begin{split}&(x^{2n+1} - x^{2n}) ÷ x^{2n}\\=&x^{2n+1}÷x^{2n} + (-x^{2n})÷x^{2n}\\=&x - 1\end{split}$
计算正确，不符合题意。
选项D：$\begin{split}&(3a^3 + 2a^2) ÷ a^2\\=&3a^3÷a^2 + 2a^2÷a^2\\=&3a + 2\end{split}$
计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，重点考查对多项式除以单项式运算法则的掌握，计算时要注意系数的运算（尤其是分数除法）、同底数幂的指数变化以及符号问题，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8