7. 计算:(1) $a(3-2a)+2(a+1)(a-1)$; (2) $(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)$.
答案：7. (1) $3a-2$；(2) $4a-1$.
解析：
【分析】
这两道题均属于整式的混合运算，遵循整式运算优先级解题即可：先算乘法（包含单项式乘多项式、利用平方差公式计算多项式乘多项式），再算加减，最后合并同类项得到结果。具体思考路径：①先识别式子中符合平方差公式特征的乘法项，用公式简化计算，剩余乘法项按单项式乘多项式法则展开；②去括号时注意，若括号前有系数要乘遍括号内每一项，若括号前为负号，去括号后括号内各项要变号；③最后合并同类项，仅将同类项的系数相加，字母和指数保持不变。
【解析】
(1) 计算 $a(3-2a)+2(a+1)(a-1)$
展开乘法项：根据单项式乘多项式法则，$a(3-2a)=3a-2a^2$；根据平方差公式 $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，得 $(a+1)(a-1)=a^2-1$，因此 $2(a+1)(a-1)=2(a^2-1)=2a^2-2$。
合并同类项：原式 $=3a-2a^2+2a^2-2=3a-2$。
(2) 计算 $(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)$
展开乘法项：根据平方差公式，$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$；根据单项式乘多项式法则，$4a(a-1)=4a^2-4a$。
去括号合并同类项：原式 $=4a^2-1-(4a^2-4a)=4a^2-1-4a^2+4a=4a-1$。
【答案】
(1) $3a-2$；(2) $4a-1$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查平方差公式的灵活运用以及整式运算的基本规则，解题时需格外注意去括号的符号问题，熟练掌握运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整式的混合运算，遵循整式运算优先级解题即可：先算乘法（包含单项式乘多项式、利用平方差公式计算多项式乘多项式），再算加减，最后合并同类项得到结果。具体思考路径：①先识别式子中符合平方差公式特征的乘法项，用公式简化计算，剩余乘法项按单项式乘多项式法则展开；②去括号时注意，若括号前有系数要乘遍括号内每一项，若括号前为负号，去括号后括号内各项要变号；③最后合并同类项，仅将同类项的系数相加，字母和指数保持不变。
【解析】
(1) 计算 $a(3-2a)+2(a+1)(a-1)$
展开乘法项：根据单项式乘多项式法则，$a(3-2a)=3a-2a^2$；根据平方差公式 $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，得 $(a+1)(a-1)=a^2-1$，因此 $2(a+1)(a-1)=2(a^2-1)=2a^2-2$。
合并同类项：原式 $=3a-2a^2+2a^2-2=3a-2$。
(2) 计算 $(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)$
展开乘法项：根据平方差公式，$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$；根据单项式乘多项式法则，$4a(a-1)=4a^2-4a$。
去括号合并同类项：原式 $=4a^2-1-(4a^2-4a)=4a^2-1-4a^2+4a=4a-1$。
【答案】
(1) $3a-2$；(2) $4a-1$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查平方差公式的灵活运用以及整式运算的基本规则，解题时需格外注意去括号的符号问题，熟练掌握运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，如果把一块边长为$ a $的正方形土地的一边减少4 m，另一边增加4 m. 同学们，你们觉得这块土地的面积有变化吗？请说明理由.
答案：8. $\because a^2-(a+4)(a-4)=a^2-(a^2-16)=16,\therefore$ 与原来相比,土地面积减少了16平方米.
解析：
【分析】
要判断土地面积是否发生变化，首先分别求出改造前后土地的面积，再通过作差法比较二者的大小即可。第一步先利用正方形面积公式求出原面积，第二步根据改造后的边长求出新的长方形面积，第三步借助平方差公式计算面积差，根据差的正负就能判断面积的变化情况。
【解析】
解：原正方形土地的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
原面积$S_{\mathrm{原}}=a^2$
改造后，土地的两条边长分别为$(a+4)\ \mathrm{m}$和$(a-4)\ \mathrm{m}$，为长方形，根据长方形面积公式可得：
新面积$S_{\mathrm{新}}=(a+4)(a-4)$
计算两个面积的差值：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原}}-S_{\mathrm{新}}&=a^2-(a+4)(a-4)\\&=a^2-(a^2-16)\\&=a^2-a^2+16\\&=16\end{aligned}$
差值为正数16，说明原面积比改造后的面积大16平方米。
【答案】
这块土地的面积有变化，与原来相比，土地面积减少了16平方米。
【知识点】
正方形面积计算，长方形面积计算，平方差公式
【点评】
本题是整式运算在实际生活中的典型应用，核心是将实际问题转化为整式的化简计算问题，解题时要注意平方差公式的正确展开，掌握作差法比较大小的思路。
【难度系数】
0.8
要判断土地面积是否发生变化，首先分别求出改造前后土地的面积，再通过作差法比较二者的大小即可。第一步先利用正方形面积公式求出原面积，第二步根据改造后的边长求出新的长方形面积，第三步借助平方差公式计算面积差，根据差的正负就能判断面积的变化情况。
【解析】
解：原正方形土地的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
原面积$S_{\mathrm{原}}=a^2$
改造后，土地的两条边长分别为$(a+4)\ \mathrm{m}$和$(a-4)\ \mathrm{m}$，为长方形，根据长方形面积公式可得：
新面积$S_{\mathrm{新}}=(a+4)(a-4)$
计算两个面积的差值：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原}}-S_{\mathrm{新}}&=a^2-(a+4)(a-4)\\&=a^2-(a^2-16)\\&=a^2-a^2+16\\&=16\end{aligned}$
差值为正数16，说明原面积比改造后的面积大16平方米。
【答案】
这块土地的面积有变化，与原来相比，土地面积减少了16平方米。
【知识点】
正方形面积计算，长方形面积计算，平方差公式
【点评】
本题是整式运算在实际生活中的典型应用，核心是将实际问题转化为整式的化简计算问题，解题时要注意平方差公式的正确展开，掌握作差法比较大小的思路。
【难度系数】
0.8
如图(1)，边长为$a$的大正方形剪去一个边长为$b$的小正方形，然后将图(1)中的阴影部分拼成一个长方形[如图(2)所示]。
(1) 上述操作能验证的等式是________（用$a$，$b$表示）。
(2) 请利用你从(1)中得出的等式，完成下列各题：
① 已知$9a^2 - b^2 = 36$，$3a + b = 9$，则$3a - b = \_\_\_\_\_\_$；
② 计算：$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})\dots(1 - \frac{1}{2027^2})$。
(1) 上述操作能验证的等式是________（用$a$，$b$表示）。
(2) 请利用你从(1)中得出的等式，完成下列各题：
① 已知$9a^2 - b^2 = 36$，$3a + b = 9$，则$3a - b = \_\_\_\_\_\_$；
② 计算：$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})\dots(1 - \frac{1}{2027^2})$。
答案：(1) 解:图(1)阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即$a^2-b^2$,图(2)阴影部分是长为$a+b$,宽为$a-b$的长方形,因此面积为$(a+b)(a-b)$,由图(1)、图(2)的面积相等,得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
(2) ① $\because 9a^2-b^2=36,\therefore (3a+b)(3a-b)=36$. 又$\because 3a+b=9,\therefore 3a-b=36÷9=4$. ② 原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1+\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{2027})(1+\frac{1}{2027})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\frac{4}{5}×\frac{6}{5}×\dots×\frac{2026}{2027}×\frac{2028}{2027}=\frac{1}{2}×\frac{2028}{2027}=\frac{1014}{2027}$.
(2) ① $\because 9a^2-b^2=36,\therefore (3a+b)(3a-b)=36$. 又$\because 3a+b=9,\therefore 3a-b=36÷9=4$. ② 原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1+\frac{1}{5})\dots(1-\frac{1}{2027})(1+\frac{1}{2027})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\frac{4}{5}×\frac{6}{5}×\dots×\frac{2026}{2027}×\frac{2028}{2027}=\frac{1}{2}×\frac{2028}{2027}=\frac{1014}{2027}$.
解析：
【分析】
(1) 解题核心是利用拼接前后阴影部分面积相等推导等式：先计算图(1)阴影面积，即大正方形面积减小正方形面积，为$a^2-b^2$；再计算图(2)拼接后长方形的面积，长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等即可得到对应公式。
(2) ① 先将$9a^2-b^2$变形为$(3a)^2-b^2$，符合平方差公式结构，分解后代入已知数值即可求解；② 每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后相邻分数可相互约分，仅剩首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图(1)阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$
图(2)拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
拼接前后阴影面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) ① 对$9a^2 - b^2$用平方差公式变形得：$9a^2 - b^2=(3a)^2 - b^2=(3a+b)(3a - b)$
已知$9a^2 - b^2=36$，$3a + b=9$，代入得：$9×(3a - b)=36$
解得：$3a - b=36÷9=4$。
② 利用平方差公式拆分每个因式：
原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{2027})(1+\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2026}{2027}×\frac{2028}{2027}$
中间项相互约分后仅剩首尾两项，因此原式$=\frac{1}{2}×\frac{2028}{2027}=\frac{1014}{2027}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$
(2) ① $\boldsymbol{4}$；② $\boldsymbol{\frac{1014}{2027}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
3. 分数简便运算
【点评】
本题结合几何图形考查平方差公式的推导与应用，解题关键是掌握平方差公式的结构特征，能灵活对式子进行变形，利用约分等技巧简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 解题核心是利用拼接前后阴影部分面积相等推导等式：先计算图(1)阴影面积，即大正方形面积减小正方形面积，为$a^2-b^2$；再计算图(2)拼接后长方形的面积，长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等即可得到对应公式。
(2) ① 先将$9a^2-b^2$变形为$(3a)^2-b^2$，符合平方差公式结构，分解后代入已知数值即可求解；② 每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后相邻分数可相互约分，仅剩首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图(1)阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$
图(2)拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
拼接前后阴影面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) ① 对$9a^2 - b^2$用平方差公式变形得：$9a^2 - b^2=(3a)^2 - b^2=(3a+b)(3a - b)$
已知$9a^2 - b^2=36$，$3a + b=9$，代入得：$9×(3a - b)=36$
解得：$3a - b=36÷9=4$。
② 利用平方差公式拆分每个因式：
原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{2027})(1+\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2026}{2027}×\frac{2028}{2027}$
中间项相互约分后仅剩首尾两项，因此原式$=\frac{1}{2}×\frac{2028}{2027}=\frac{1014}{2027}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$
(2) ① $\boldsymbol{4}$；② $\boldsymbol{\frac{1014}{2027}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
3. 分数简便运算
【点评】
本题结合几何图形考查平方差公式的推导与应用，解题关键是掌握平方差公式的结构特征，能灵活对式子进行变形，利用约分等技巧简化运算。
【难度系数】
0.7
1. 如图，图中最大的正方形的面积用含$a$，$b$的式子表示为（
A.$a^2$
B.$a^2 + b^2$
C.$a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 + ab + b^2$
C
）A.$a^2$
B.$a^2 + b^2$
C.$a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 + ab + b^2$
答案：1. C
解析：
【分析】
解题可以从两个思路切入：一是从整体角度，先观察图形确定最大正方形的边长，再用正方形面积公式计算；二是从局部角度，分别计算组成大正方形的四个小图形的面积，再求和得到总面积。首先观察图形的横向总长为$a+b$，纵向总高也为$a+b$，即可确定大正方形的边长，或者分别统计各小图形的面积类型相加验证，两种方法都能推导出结果。
【解析】
方法一：整体计算
由图可知，最大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得面积为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法二：局部求和
大正方形由4个部分组成：边长为$a$的深色正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的浅色小正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的空白长方形（每个面积为$ab$，总面积为$2ab$），因此总面积为：
$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
综上对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；列代数式
【点评】
本题是完全平方公式几何意义的典型基础题，体现了数形结合的思想，既可以从整体直接计算面积，也可以通过局部面积相加验证结果，侧重考查图形观察能力和基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路切入：一是从整体角度，先观察图形确定最大正方形的边长，再用正方形面积公式计算；二是从局部角度，分别计算组成大正方形的四个小图形的面积，再求和得到总面积。首先观察图形的横向总长为$a+b$，纵向总高也为$a+b$，即可确定大正方形的边长，或者分别统计各小图形的面积类型相加验证，两种方法都能推导出结果。
【解析】
方法一：整体计算
由图可知，最大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得面积为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法二：局部求和
大正方形由4个部分组成：边长为$a$的深色正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的浅色小正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的空白长方形（每个面积为$ab$，总面积为$2ab$），因此总面积为：
$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
综上对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；列代数式
【点评】
本题是完全平方公式几何意义的典型基础题，体现了数形结合的思想，既可以从整体直接计算面积，也可以通过局部面积相加验证结果，侧重考查图形观察能力和基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
2. 下列运算正确的是 （
A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - b^2$
C.$(x-2y)^2 = x^2 -4xy +4y^2$
D.$(x+y)(-x-y) = x^2 - y^2$
C
）A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - b^2$
C.$(x-2y)^2 = x^2 -4xy +4y^2$
D.$(x+y)(-x-y) = x^2 - y^2$
答案：2. C
解析：
【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，再逐一将每个选项的左侧式子按公式展开，和右侧式子对比，完全匹配的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方和公式，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，右侧缺少$2xy$项，运算错误；
选项B：根据完全平方差公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，右侧结果和公式不符，运算错误；
选项C：根据完全平方差公式，$(x-2y)^2=x^2-2· x·2y+(2y)^2=x^2-4xy+4y^2$，左右两侧一致，运算正确；
选项D：先变形原式为$-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2=-x^2-2xy-y^2$，和右侧$x^2-y^2$不符，运算错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对乘法公式结构特征的掌握，做题时要注意避免漏写完全平方公式的中间项、混淆公式符号这类常见错误，熟练记忆公式即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，再逐一将每个选项的左侧式子按公式展开，和右侧式子对比，完全匹配的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据完全平方和公式，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，右侧缺少$2xy$项，运算错误；
选项B：根据完全平方差公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，右侧结果和公式不符，运算错误；
选项C：根据完全平方差公式，$(x-2y)^2=x^2-2· x·2y+(2y)^2=x^2-4xy+4y^2$，左右两侧一致，运算正确；
选项D：先变形原式为$-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2=-x^2-2xy-y^2$，和右侧$x^2-y^2$不符，运算错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对乘法公式结构特征的掌握，做题时要注意避免漏写完全平方公式的中间项、混淆公式符号这类常见错误，熟练记忆公式即可快速判断。
【难度系数】
0.8