7. 先化简,再求值:$(x-1)(x+1)+(2x-1)^2 -2x(2x-1)$,其中$x=4$.
答案：7. 原式$=x^2 - 1 + 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 2x = x^2 - 2x$，把$x=4$代入，得原式$=4^2 - 2×4=16-8=8$
解析：
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题可分为两步思考：第一步先化简原式，需要分别运用对应的整式乘法法则计算三个乘积项，用平方差公式计算$(x-1)(x+1)$，用完全平方公式计算$(2x-1)^2$，用单项式乘多项式法则计算$2x(2x-1)$，之后去括号、合并同类项得到最简整式，能避免直接代入数值的复杂计算；第二步将$x=4$代入最简整式，直接计算得到最终结果。
【解析】
解：先根据整式乘法法则展开各项：
根据平方差公式得：$(x-1)(x+1)=x^2-1$
根据完全平方公式得：$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$
根据单项式乘多项式法则得：$2x(2x-1)=4x^2-2x$
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)+(4x^2-4x+1)-(4x^2-2x)\\&=x^2-1+4x^2-4x+1-4x^2+2x\\&=x^2-2x\end{aligned}$
把$x=4$代入化简后的式子：
$原式=4^2-2×4=16-8=8$
【答案】
$8$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查整式乘法公式的应用和合并同类项的能力，解题时要注意去括号的符号变化，熟练掌握乘法公式可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题可分为两步思考：第一步先化简原式，需要分别运用对应的整式乘法法则计算三个乘积项，用平方差公式计算$(x-1)(x+1)$，用完全平方公式计算$(2x-1)^2$，用单项式乘多项式法则计算$2x(2x-1)$，之后去括号、合并同类项得到最简整式，能避免直接代入数值的复杂计算；第二步将$x=4$代入最简整式，直接计算得到最终结果。
【解析】
解：先根据整式乘法法则展开各项：
根据平方差公式得：$(x-1)(x+1)=x^2-1$
根据完全平方公式得：$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$
根据单项式乘多项式法则得：$2x(2x-1)=4x^2-2x$
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-1)+(4x^2-4x+1)-(4x^2-2x)\\&=x^2-1+4x^2-4x+1-4x^2+2x\\&=x^2-2x\end{aligned}$
把$x=4$代入化简后的式子：
$原式=4^2-2×4=16-8=8$
【答案】
$8$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查整式乘法公式的应用和合并同类项的能力，解题时要注意去括号的符号变化，熟练掌握乘法公式可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
8. 先化简,再求值:$(a-2b)^2-(2a+b)(b-2a)-4a(a-b)$,其中$a=-3,b=-1$.
答案：8. $a^2 + 3b^2$，$12$
解析：
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路为先化简再代入求值，避免直接代入的复杂运算。首先分别利用完全平方公式化简$(a-2b)^2$，利用平方差公式化简$(2a+b)(b-2a)$，利用单项式乘多项式法则化简$4a(a-b)$，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$a=-3$、$b=-1$代入最简式计算即可。解题时要注意去括号的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 4ab + 4b^2 - (b^2 - 4a^2) - (4a^2 - 4ab)\\&=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 4a^2 - 4a^2 + 4ab\\&=(a^2 + 4a^2 - 4a^2) + (-4ab + 4ab) + (4b^2 - b^2)\\&=a^2 + 3b^2\end{aligned}$
再代入$a=-3$，$b=-1$求值：
当$a=-3$，$b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=(-3)^2 + 3×(-1)^2\\&=9 + 3×1\\&=9+3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$a^2 + 3b^2$，求值结果为$12$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整式的混合运算能力，熟练掌握各类乘法公式、整式运算法则是解题的前提，运算过程中要重点注意去括号时的符号变化，代入负数计算平方时要给负数加括号避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值题，解题思路为先化简再代入求值，避免直接代入的复杂运算。首先分别利用完全平方公式化简$(a-2b)^2$，利用平方差公式化简$(2a+b)(b-2a)$，利用单项式乘多项式法则化简$4a(a-b)$，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$a=-3$、$b=-1$代入最简式计算即可。解题时要注意去括号的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 4ab + 4b^2 - (b^2 - 4a^2) - (4a^2 - 4ab)\\&=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 4a^2 - 4a^2 + 4ab\\&=(a^2 + 4a^2 - 4a^2) + (-4ab + 4ab) + (4b^2 - b^2)\\&=a^2 + 3b^2\end{aligned}$
再代入$a=-3$，$b=-1$求值：
当$a=-3$，$b=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=(-3)^2 + 3×(-1)^2\\&=9 + 3×1\\&=9+3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$a^2 + 3b^2$，求值结果为$12$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整式的混合运算能力，熟练掌握各类乘法公式、整式运算法则是解题的前提，运算过程中要重点注意去括号时的符号变化，代入负数计算平方时要给负数加括号避免运算错误。
【难度系数】
0.8
【动手操作】
如图(1),有一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形,沿图中的虚线将其剪开分成四个大小相等的长方形,然后按照图(2)所示拼成一个正方形.
【提出问题】
(1) 观察图(2),请用两种不同的方法表示阴影部分的面积:
(2) 请写出三个代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的一个等量关系:
【问题解决】
(3) 根据上述(2)中得到的等量关系,解决下列问题:已知$x+y=8,xy=7$,求$x-y$的值.
如图(1),有一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形,沿图中的虚线将其剪开分成四个大小相等的长方形,然后按照图(2)所示拼成一个正方形.
【提出问题】
(1) 观察图(2),请用两种不同的方法表示阴影部分的面积:
$(a-b)^2$
,$(a+b)^2-4ab$
.(2) 请写出三个代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的一个等量关系:
$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
.【问题解决】
(3) 根据上述(2)中得到的等量关系,解决下列问题:已知$x+y=8,xy=7$,求$x-y$的值.
答案：(1) $(a-b)^2$，$(a+b)^2-4ab$；(2) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$；(3) 由(2)，得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$。$\because x+y=8,xy=7,\therefore (x-y)^2=64-28=36$，$\therefore x-y=\pm6$
解析：
【分析】
(1) 求阴影部分面积可从两个角度思考：一是直接观察阴影正方形的边长，用正方形面积公式计算；二是用外围大正方形的面积减去周围4个小长方形的总面积，间接得到阴影面积。
(2) 两个代数式都表示同一个阴影部分的面积，因此二者相等，即可推导出三个代数式的等量关系。
(3) 直接套用(2)得到的完全平方变形公式，将$x+y$和$xy$的值整体代入计算，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 观察图(2)，阴影部分为正方形，边长为$a-b$，因此面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；
外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影部分面积也可表示为$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab}$。
(2) 由于两个表达式均表示阴影部分的面积，因此二者相等，可得等量关系：$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab=(a-b)^2}$。
(3) 根据(2)的等量关系，可得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$x+y=8$，$xy=7$代入上式：
$(x-y)^2=8^2 - 4×7=64-28=36$，
对36开平方得$x-y=\pm6$。
【答案】
(1) $(a-b)^2$，$(a+b)^2-4ab$；
(2) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$；
(3) $x-y=\pm6$
【知识点】
1. 完全平方公式的几何意义
2. 列代数式表示面积
3. 整体代入求值
【点评】
本题通过几何拼图的形式推导完全平方公式的变形，既考查了数形结合的思想，也考查了公式的灵活应用能力，解题时注意开平方运算的结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可从两个角度思考：一是直接观察阴影正方形的边长，用正方形面积公式计算；二是用外围大正方形的面积减去周围4个小长方形的总面积，间接得到阴影面积。
(2) 两个代数式都表示同一个阴影部分的面积，因此二者相等，即可推导出三个代数式的等量关系。
(3) 直接套用(2)得到的完全平方变形公式，将$x+y$和$xy$的值整体代入计算，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 观察图(2)，阴影部分为正方形，边长为$a-b$，因此面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$；
外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影部分面积也可表示为$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab}$。
(2) 由于两个表达式均表示阴影部分的面积，因此二者相等，可得等量关系：$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab=(a-b)^2}$。
(3) 根据(2)的等量关系，可得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$x+y=8$，$xy=7$代入上式：
$(x-y)^2=8^2 - 4×7=64-28=36$，
对36开平方得$x-y=\pm6$。
【答案】
(1) $(a-b)^2$，$(a+b)^2-4ab$；
(2) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$；
(3) $x-y=\pm6$
【知识点】
1. 完全平方公式的几何意义
2. 列代数式表示面积
3. 整体代入求值
【点评】
本题通过几何拼图的形式推导完全平方公式的变形，既考查了数形结合的思想，也考查了公式的灵活应用能力，解题时注意开平方运算的结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7