16. (14分)【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目:如图①,点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A的坐标为(2,0).动点B在⊙O上,连接AB,作等边三角形ABC(A,B,C为顺时针顺序),求OC的最大值.
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索,得到解题思路:在图①中,连接OB,以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.
(1) 请你找出图中与OC相等的线段,并说明理由.
(2) 线段OC的最大值为
【迁移拓展】
(3) 如图②,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,以P为旋转中心,把PB按逆时针方向旋转90°得到PM,连接AM,求AM长的最大值.
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索,得到解题思路:在图①中,连接OB,以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.
(1) 请你找出图中与OC相等的线段,并说明理由.
(2) 线段OC的最大值为
3
.【迁移拓展】
(3) 如图②,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,以P为旋转中心,把PB按逆时针方向旋转90°得到PM,连接AM,求AM长的最大值.
答案：
16. （1）$OC=AE$.理由：如图，$\because △ ABC,△ BOE$都是等边三角形，$\therefore BC=BA,BO=BE,∠ CBA=∠ OBE=60°$.$\therefore ∠ CBO=∠ ABE$.$\therefore △ CBO≌△ ABE$.$\therefore OC=AE$ （2）3 （3）如图，连接BM，$\because$将$△ APM$绕着点P按顺时针方向旋转90°得到$△ PBN$，连接AN，则$△ APN$是等腰直角三角形，$\therefore PN=PA=2,BN=AM$.$\therefore$ 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值.$\because A$的坐标为$(2,0)$，点B的坐标为$(5,0)$，$\therefore OA=2,OB=5$.$\therefore AB=3$.在$△ ABN$中，$BN≤AB+AN$，$\therefore$ 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值$=AB+AN$.$\because AN=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}$，$\therefore$ 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值$=2\sqrt{2}+3$
16. （1）$OC=AE$.理由：如图，$\because △ ABC,△ BOE$都是等边三角形，$\therefore BC=BA,BO=BE,∠ CBA=∠ OBE=60°$.$\therefore ∠ CBO=∠ ABE$.$\therefore △ CBO≌△ ABE$.$\therefore OC=AE$ （2）3 （3）如图，连接BM，$\because$将$△ APM$绕着点P按顺时针方向旋转90°得到$△ PBN$，连接AN，则$△ APN$是等腰直角三角形，$\therefore PN=PA=2,BN=AM$.$\therefore$ 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值.$\because A$的坐标为$(2,0)$，点B的坐标为$(5,0)$，$\therefore OA=2,OB=5$.$\therefore AB=3$.在$△ ABN$中，$BN≤AB+AN$，$\therefore$ 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值$=AB+AN$.$\because AN=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}$，$\therefore$ 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值$=2\sqrt{2}+3$
解析：
【分析】
(1) 要找与OC相等的线段，结合题目给出的构造等边△BOE的提示，观察△CBO和△ABE的关系：两个等边三角形ABC、BOE的对应边相等，且夹角都包含公共角∠OBA，通过角的和差可得相等夹角，用SAS可证两三角形全等，即可得对应边相等的结论。
(2) 求OC的最大值，由(1)知OC=AE，可将OC的最值转化为AE的最值：E在以O为圆心、半径1的圆上，根据三角形三边关系，AE≤OA+OE，当O、E、A三点共线时AE取最大值，代入已知线段长度计算即可。
(3) 求AM的最大值，利用旋转的性质构造全等三角形：将△APM绕P顺时针旋转90°得到△PBN，可得AM=BN，将AM的最值转化为BN的最值；△APN是等腰直角三角形，AN长度固定，结合三角形三边关系，当N在BA延长线时BN取得最大值，代入AB和AN的长度计算即可。
【解析】
(1) $OC=AE$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ BOE$都是等边三角形，
$\therefore BC=BA$，$BO=BE$，$∠ CBA=∠ OBE=60°$，
$\therefore ∠ CBA + ∠ OBA = ∠ OBE + ∠ OBA$，即$∠ CBO=∠ ABE$，
在$△ CBO$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}BC=BA \\∠ CBO=∠ ABE \\BO=BE\end{cases}$
$\therefore △ CBO ≌ △ ABE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore OC=AE$。
(2) 由(1)知$OC=AE$，$\because$点E在以O为圆心，半径为1的⊙O上，
在$△ AOE$中，根据三角形三边关系，$AE ≤ OA + OE$，
当且仅当O、E、A三点共线（E在AO的延长线上）时，$AE$取得最大值，
$\because OA=2$，$OE=1$，$\therefore AE$最大值为$2+1=3$，即$OC$最大值为3。
(3) 如图，将$△ APM$绕着点P按顺时针方向旋转$90°$得到$△ PBN$，连接$AN$：
由旋转性质得$PN=PA=2$，$BN=AM$，$∠ APN=90°$，
$\therefore △ APN$是等腰直角三角形，$\therefore AN=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}$，
$\because$点A坐标为$(2,0)$，点B坐标为$(5,0)$，$\therefore AB=5-2=3$，
在$△ ABN$中，根据三角形三边关系，$BN ≤ AB + AN$，
当且仅当N在线段BA的延长线上时，$BN$取得最大值，最大值为$AB + AN = 3 + 2\sqrt{2}$，
$\therefore AM$长的最大值为$3 + 2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $OC=AE$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $AM$长的最大值为$\boldsymbol{3+2\sqrt{2}}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何最值综合题，通过构造全等三角形、旋转转化线段的思路，将未知线段的最值问题转化为固定线段和的最值，核心用到三角形三边关系求最值，考查了转化的数学思想，需要熟练掌握构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.3
(1) 要找与OC相等的线段，结合题目给出的构造等边△BOE的提示，观察△CBO和△ABE的关系：两个等边三角形ABC、BOE的对应边相等，且夹角都包含公共角∠OBA，通过角的和差可得相等夹角，用SAS可证两三角形全等，即可得对应边相等的结论。
(2) 求OC的最大值，由(1)知OC=AE，可将OC的最值转化为AE的最值：E在以O为圆心、半径1的圆上，根据三角形三边关系，AE≤OA+OE，当O、E、A三点共线时AE取最大值，代入已知线段长度计算即可。
(3) 求AM的最大值，利用旋转的性质构造全等三角形：将△APM绕P顺时针旋转90°得到△PBN，可得AM=BN，将AM的最值转化为BN的最值；△APN是等腰直角三角形，AN长度固定，结合三角形三边关系，当N在BA延长线时BN取得最大值，代入AB和AN的长度计算即可。
【解析】
(1) $OC=AE$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ BOE$都是等边三角形，
$\therefore BC=BA$，$BO=BE$，$∠ CBA=∠ OBE=60°$，
$\therefore ∠ CBA + ∠ OBA = ∠ OBE + ∠ OBA$，即$∠ CBO=∠ ABE$，
在$△ CBO$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}BC=BA \\∠ CBO=∠ ABE \\BO=BE\end{cases}$
$\therefore △ CBO ≌ △ ABE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore OC=AE$。
(2) 由(1)知$OC=AE$，$\because$点E在以O为圆心，半径为1的⊙O上，
在$△ AOE$中，根据三角形三边关系，$AE ≤ OA + OE$，
当且仅当O、E、A三点共线（E在AO的延长线上）时，$AE$取得最大值，
$\because OA=2$，$OE=1$，$\therefore AE$最大值为$2+1=3$，即$OC$最大值为3。
(3) 如图，将$△ APM$绕着点P按顺时针方向旋转$90°$得到$△ PBN$，连接$AN$：
由旋转性质得$PN=PA=2$，$BN=AM$，$∠ APN=90°$，
$\therefore △ APN$是等腰直角三角形，$\therefore AN=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}$，
$\because$点A坐标为$(2,0)$，点B坐标为$(5,0)$，$\therefore AB=5-2=3$，
在$△ ABN$中，根据三角形三边关系，$BN ≤ AB + AN$，
当且仅当N在线段BA的延长线上时，$BN$取得最大值，最大值为$AB + AN = 3 + 2\sqrt{2}$，
$\therefore AM$长的最大值为$3 + 2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $OC=AE$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $AM$长的最大值为$\boldsymbol{3+2\sqrt{2}}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何最值综合题，通过构造全等三角形、旋转转化线段的思路，将未知线段的最值问题转化为固定线段和的最值，核心用到三角形三边关系求最值，考查了转化的数学思想，需要熟练掌握构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.3