【分析】
解题思路如下：1. 首先利用反比例函数与正比例函数的交点对称性，可知A、B关于原点O对称，O为AB中点；2. Q是AP中点，因此OQ是△ABP的中位线，可得$OQ=\frac{1}{2}BP$，由此将OQ的最小值转化为BP的最小值；3. 点P在⊙C上，点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减去半径，结合OQ最小值为$\frac{1}{2}$可求出BC的长度；4. 设B点坐标（由B在$y=-2x$上可简化坐标设定），用两点距离公式列方程求出B点坐标，代入反比例函数即可求得k值。
【解析】
1. 由正比例函数与反比例函数的图象对称性可知，交点A、B关于原点O对称，即O是AB的中点。
2.
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，根据中位线性质得：$OQ=\frac{1}{2}BP$。
3. 已知OQ长的最小值为$\frac{1}{2}$，因此BP长的最小值为$2×\frac{1}{2}=1$。
4. 点P在以$C(2,0)$为圆心、半径$r=1$的⊙C上，点B到圆上点的最小距离为$BC - r$，因此：
$BC - 1 = 1$，解得$BC=2$。
5. 点B在一次函数$y=-2x$上，且位于第四象限，设B的坐标为$(m, -2m)$（$m＞0$），根据两点间距离公式：
$BC^2=(m-2)^2+(-2m-0)^2=2^2$
展开得：$m^2-4m+4+4m^2=4$
整理得：$5m^2-4m=0$，解得$m=\frac{4}{5}$（$m=0$舍去）。
6. 因此B点坐标为$(\frac{4}{5}, -\frac{8}{5})$，代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：
$k=\frac{4}{5}×(-\frac{8}{5})=-\frac{32}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数对称性，三角形中位线定理，点与圆的距离最值
【点评】
本题是函数与几何的综合题，核心是通过中位线性质将未知的OQ最值转化为BP的最值，再结合点到圆的距离规律求解，很好地考查了转化思想和综合运用知识点的能力。
【难度系数】
0.4

【分析】
解决本题首先要明确点与圆有3种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。已知点到圆上点的最近距离为4cm≠0，因此排除点在圆上的情况，需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。点到圆上的最近点、最远点都在过该点与圆心的直线上，因此两种情况下分别通过最近距离与最远距离的和或差求出直径，再计算半径即可。
【解析】
本题需分两种情况计算：
1. 若该点在$\odot O$内部：
此时圆的直径等于点到圆上的最近距离与最远距离之和，即$d=4+9=13\ \mathrm{cm}$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$；
2. 若该点在$\odot O$外部：
此时圆的直径等于点到圆上的最远距离与最近距离之差，即$d=9-4=5\ \mathrm{cm}$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为6.5cm或2.5cm。
【答案】
6.5或2.5
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的半径计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点的位置的多种可能性，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时需先梳理所有符合条件的位置关系，再逐一分析计算，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先观察图形特征：AB是圆的直径且垂直于弦CD，优先想到垂径定理，可得弧BC与弧BD相等，对应圆心角相等；接下来已知圆周角∠CAB=20°，根据圆周角定理可求出它所对的弧BC对应的圆心角∠COB的度数，也就得到了∠BOD的度数，最后利用平角的性质，用180°减去∠BOD的度数即可得到∠AOD的大小。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠COB=∠BOD。
∵∠CAB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠COB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠COB=2∠CAB=2×20°=40°，
∴∠BOD=40°。
又
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，即∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=180°-40°=140°。
【答案】
140°
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，邻补角性质
【点评】
本题是圆的基础性质的常规考题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到等弧对应的圆心角相等，再结合圆周角定理求出相关角度，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根的应用，解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=-1$代入原方程，即可得到一个关于$a$的一元二次方程，再求解这个一元二次方程就能得到$a$的取值，最后验证解是否符合题意即可。
【解析】
∵$x=-1$是方程$2x^2 + ax - a^2 = 0$的一个根
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$2×(-1)^2 + a×(-1) - a^2 = 0$
计算化简得：
$2 - a - a^2 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$a^2 + a - 2 = 0$
对左边因式分解得：
$(a + 2)(a - 1) = 0$
∴$a + 2 = 0$ 或 $a - 1 = 0$
解得：$a=-2$ 或 $a=1$
经检验，两个取值均符合题意。
【答案】
-2或1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，解题核心是理解方程根的含义，将含参数的一元二次方程问题转化为求解参数的方程问题，求解过程中要注意避免漏解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路如下：1. 先分析反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的基本性质：$k=4＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；2. 由已知$2＜y＜4$，$y$为正数，可知$x＞0$，仅需在第一象限内讨论取值；3. 分别代入$y=2$和$y=4$求出对应的$x$值，再结合增减性即可确定$x$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，
$\therefore$ 函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
$\because 2＜y＜4$，$y$为正数，$\therefore x＞0$，仅考虑第一象限的情况：
当$y=2$时，代入解析式得$2=\dfrac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=\dfrac{4}{x}$，解得$x=1$；
$\because$ 第一象限内$y$随$x$增大而减小，$y$越大则对应的$x$越小，
$\therefore$ 当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
【答案】
$1＜x＜2$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是先根据函数值的正负确定所在象限，再结合函数增减性和边界值推导自变量的取值范围，避免因忽略象限限制导致取值范围错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较三个点横坐标的大小，可结合反比例函数的性质求解：首先根据反比例函数解析式中k的正负，判断函数图象所在象限和增减性；再根据三个点的纵坐标正负判断点所属的象限，第一象限内点的横坐标为正，第三象限内点的横坐标为负，因此第一象限的点的横坐标一定大于第三象限的点的横坐标；最后对同一象限内的两个点，结合增减性比较横坐标大小即可，也可直接将纵坐标代入函数解析式求出三个横坐标的值，直接比较大小。
【解析】
方法一（利用性质求解）：
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}$中$k=1＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$A$、$B$的纵坐标为$-6$、$-2$，均小于0，点$C$的纵坐标为3，大于0，
∴点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，因此$x_3＞0$，$x_1＜0$，$x_2＜0$。
在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$-6＜-2$，
∴$x_2＜x_1＜0$。
综上可得：$x_2＜x_1＜x_3$。
方法二（代入计算求解）：
将三个点的纵坐标分别代入$y=\frac{1}{x}$，得：
当$y=-6$时，$-6=\frac{1}{x_1}$，解得$x_1=-\frac{1}{6}$；
当$y=-2$时，$-2=\frac{1}{x_2}$，解得$x_2=-\frac{1}{2}$；
当$y=3$时，$3=\frac{1}{x_3}$，解得$x_3=\frac{1}{3}$。
∵$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{6}＜\frac{1}{3}$，
∴$x_2＜x_1＜x_3$。
【答案】
$x_2＜x_1＜x_3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，既可以利用函数的增减性和象限分布规律求解，也可以通过代入计算坐标直接比较大小，解题时要注意反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不能跨象限直接用增减性比较。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径），因此需要先求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数和$\odot O$的半径。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可由已知的$∠ACB=45°$求出圆心角$∠AOB$的度数；再结合$AB$的长度，利用勾股定理求出半径$R$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OA$、$OB$：
1. 求圆心角度数：
∵$∠ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，根据圆周角定理可得：
$∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°$
2. 求$\odot O$的半径：
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OB=R$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$
代入$AB=3\sqrt{2}$，得$R^2+R^2=(3\sqrt{2})^2$，即$2R^2=18$，解得$R=3$（半径为正数，舍去负解）。
3. 计算$\overset{\frown}{AB}$的长：
代入弧长公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{90×π×3}{180}=\frac{3}{2}π$
【答案】
$\frac{3}{2}π$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题核心是通过圆周角与圆心角的关系得到圆心角度数，再结合等腰直角三角形的性质求出半径，熟练掌握弧长公式和圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先结合圆的切线性质确定圆心M的坐标特征：⊙M与x轴相切于原点O，且圆心M在y轴正半轴上，因此⊙M的半径等于点M的纵坐标，可设半径为r，则M(0,r)。再根据点P在圆上，可知MP的长度等于半径r，结合P点坐标(2,1)，可通过构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解r的值。
【解析】
设⊙M的半径为r，
∵⊙M与x轴相切于原点O，圆心M在y轴正半轴上，
∴点M的坐标为(0, r)，且MP = r。
过点M作MN⊥PQ于点N，
∵PQ平行于y轴，点P坐标为(2,1)，
∴MN = 2（两点水平距离，横坐标差为2），PN = r - 1（两点竖直距离）。
在Rt△MNP中，由勾股定理得：MN² + PN² = MP²，
代入数据得：$2^2 + (r-1)^2 = r^2$，
展开计算：$4 + r^2 - 2r + 1 = r^2$，
化简得：$5 - 2r = 0$，
解得：$r = \frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是结合切线性质确定圆心坐标特征，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是圆的翻折性质与最短路径结合的综合题，解题思路如下：
1. 先处理翻折的弧：翻折不改变弧的半径，翻折后弧过圆心O，因此原圆心O到弦AB的距离为半径的一半，翻折后弧所在圆的圆心O'是O关于AB的对称点，可确定O'的位置和⊙O'的半径为2。
2. 分析动点Q的轨迹：Q是PC的中点，结合圆的性质和中点的特征，可推导出Q的运动轨迹是以O'B中点为圆心、半径为1的圆。
3. 求最短距离：根据点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，代入计算即可得到OQ的最小值。
【解析】
1. 确定翻折后弧的圆心
过O作$OD⊥ AB$于点D，延长OD至O'，使$O'D=OD$，则O'是翻折后弧AB所在圆的圆心，由翻折性质得$\odot O'$的半径与$\odot O$半径相等，即$O'P=OA=OB=2$。
∵ 翻折后弧AB过O，
∴ O在$\odot O'$上，故$OO'=O'A=2$，因此$OD=\frac{1}{2}OO'=1$。
在$Rt△ OBD$中，$OB=2$，$OD=1$，可得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3}$，计算得$O'B=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$。
2. 确定Q点轨迹
取$O'B$的中点M，M为定点，计算可得O到M的距离为$\sqrt{3}$。结合中点轨迹性质，Q是PC中点，可得Q的运动轨迹是以M为圆心、半径为1的圆。
3. 计算OQ最小值
点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去圆的半径，因此$OQ_{min}=OM - r=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
圆的翻折性质；点到圆的最短距离；中点轨迹
【点评】
本题综合考查了圆的翻折、轨迹分析和最短路径计算，解题关键是先找到翻折后弧的圆心，再确定动点Q的运动轨迹，最后利用点到圆的距离公式求解，是圆章节的典型综合题。
【难度系数】
0.3