【分析】
本题考查一元二次方程整章的知识框架梳理与实际应用步骤，解题思路如下：1. 回忆一元二次方程的三类常见解法，即可填出解法分支的空缺；2. 回顾公式法涉及的两个核心知识点：根的判别式的表达式、不同判别式取值对应的根的情况，以及根与系数的关系（韦达定理）的内容，完成对应填空；3. 结合列方程解应用题的通用流程，加上一元二次方程需检验根是否符合实际意义的特殊要求，梳理出实际应用的完整步骤。
【解析】
1. 知识结构填空
解法分支的两个空缺从上到下依次为：配方法、因式分解法；
根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式$\boxed{\Delta = b^2-4ac}$；
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根；
根与系数的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，则$\boxed{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$，$\boxed{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$。
2. 一元二次方程解决实际问题的步骤
① 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
② 设：根据题意设置合适的未知数（可直接设或间接设）；
③ 列：依据等量关系列出一元二次方程；
④ 解：选择合适的方法求解一元二次方程；
⑤ 验：先检验所求根是否为方程的解，再检验根是否符合实际问题的意义；
⑥ 答：根据检验结果，写出符合题意的最终答案。
【答案】
1. 知识结构空缺答案依次为：配方法、因式分解法；$\Delta = b^2-4ac$；方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
2. 实际问题解决步骤：①审②设③列④解⑤验⑥答（具体内容见解析）。
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式与韦达定理，一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于基础的章节知识梳理题，能够帮助学习者搭建完整的一元二次方程知识体系，明确本章核心考点以及实际应用的规范流程，是章节复习的必备基础内容。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题思路有两种：①利用方程根的定义，将已知根x=-2代入原方程，先求出参数k的值，再解得到的一元二次方程，即可求出另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设另一个根为x₁，结合两根之和、两根之积与系数的关系，可直接求出另一个根，无需计算k的值，解题更快捷。
【解析】
方法一：
∵x=-2是方程$x^2+(k+3)x+k=0$的根
∴将x=-2代入方程得：
$(-2)^2 + (k+3)×(-2) + k = 0$
计算得：$4 - 2k -6 +k = 0$
合并同类项得：$-k -2 = 0$，解得$k=-2$
将k=-2代入原方程得：$x^2 + x -2 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=1$
∴方程的另一个根为1
方法二（韦达定理法）：
设方程的另一个根为$a$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$
则可得：$\begin{cases}-2 + a = -(k+3) \\-2a = k \end{cases}$
将$k=-2a$代入第一个式子：
$-2 + a = -(-2a + 3)$
$-2 + a = 2a -3$
解得$a=1$
∴方程的另一个根为1
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根的应用类基础题，两种解题方法都属于常规解法，熟练运用韦达定理可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到求一元二次方程两个实数根的代数式的值的问题时，优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需单独解出方程的根。首先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再根据韦达定理求出两根之和m+n与两根之积mn的值，最后将其代入所求代数式计算即可。
【解析】
已知m,n是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个实数根，该方程中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可得：
$m+n=-\frac{-5}{1}=5$，$mn=\frac{-2}{1}=-2$。
将上述结果代入$m+n - mn$得：
$m+n - mn=5 - (-2)=5+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟记韦达定理的公式，计算时注意两根之积的符号，避免符号错误失分。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确裁剪前后图形的边长关联：设原正方形边长为x m，从一侧裁去宽3 m的矩形后，剩余部分是长为x m、宽为(x-3)m的矩形，已知剩余面积为40 m²，我们可以借助矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合边长为正数的实际要求舍去不符合的根，即可得到原正方形边长。
【解析】
解：设原正方形铁板的边长为$ x $ m。
裁去宽3 m的矩形后，剩余铁板为矩形，长为$ x $ m，宽为$ (x-3) $ m，根据矩形面积公式列方程：
$ x(x-3)=40 $
整理得：$ x^2 - 3x - 40 = 0 $
因式分解得：$ (x-8)(x+5)=0 $
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-5 $
由于正方形边长不能为负数，故舍去$ x_2=-5 $，即原正方形铁板的边长为8 m。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理裁剪后剩余图形的边长与原正方形边长的关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题思路如下：1. 直角三角形满足勾股定理，且斜边是三边中最长的边；2. 三边为连续整数，可设最短边长为正整数n，另外两边长依次表示为n+1、n+2，其中最长边n+2就是斜边；3. 根据勾股定理列方程求解n，舍去不符合实际意义的负根，即可得到斜边长。
【解析】
设直角三角形的三边长分别为$n$，$n+1$，$n+2$（$n$为正整数），
∵直角三角形中斜边为最长边，
∴斜边长为$n+2$，
根据勾股定理可得：$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$
展开整理得：$n^2 - 2n - 3 = 0$
因式分解得：$(n-3)(n+1)=0$
解得：$n_1=3$，$n_2=-1$（边长为正，不符合实际，舍去）
∴斜边长为$n+2=3+2=5$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是抓住直角三角形斜边最长的性质，结合连续整数的特征设未知数列方程求解，计算时注意舍去不符合实际意义的负根，是勾股定理的典型基础考法。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程得到第三边的可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）筛选出符合条件的第三边长；第三步将三边长度相加得到三角形周长，选择对应选项。要注意方程的根不一定都能构成三角形，必须验证三边关系，避免错选。
【解析】
1. 解方程$x^2 -12x +35=0$：
对式子因式分解得：$(x-5)(x-7)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=7$，即第三边的可能长度为5或7。
2. 验证三边能否构成三角形：
① 若第三边长为7：已知两边长为3和4，$3+4=7$，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去该值。
② 若第三边长为5：$3+4＞5$，$3+5＞4$，$4+5＞3$，同时满足两边之差小于第三边，可构成三角形。
3. 计算周长：$3+4+5=12$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求解；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是易错题，易错点为直接将方程的两个根都代入计算周长，忽略三角形三边需满足的构成条件，解题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6