4. 到点O的距离等于7 cm的点的集合是
以点O为圆心，半径为7 cm的圆
.答案：4. 以点O为圆心，半径为7 cm的圆
解析：
【分析】
解题时首先回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径。本题中定点为点O，定长为7cm，直接对应圆的定义要素，即可得出对应的点的集合。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中定点是点O，定长是7cm，因此到点O的距离等于7cm的点的集合就是以点O为圆心，半径为7cm的圆。
【答案】
以点O为圆心，半径为7 cm的圆
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的定义的识记，作答时注意明确圆心和半径两个核心要素即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径。本题中定点为点O，定长为7cm，直接对应圆的定义要素，即可得出对应的点的集合。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中定点是点O，定长是7cm，因此到点O的距离等于7cm的点的集合就是以点O为圆心，半径为7cm的圆。
【答案】
以点O为圆心，半径为7 cm的圆
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的定义的识记，作答时注意明确圆心和半径两个核心要素即可。
【难度系数】
0.9
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若$∠ AOC=70°$，且$AD// OC$，求$∠ AOD$的度数.
答案：5. $\because AD// OC,\therefore ∠ AOC=∠ DAO=70°.$ 又$\because OD=OA,\therefore ∠ ADO=∠ DAO=70°. \therefore ∠ AOD=180°-70°-70°=40°$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AD//OC，可根据平行线的内错角相等得到∠DAO与已知∠AOC的等量关系，求出∠DAO的度数；再结合圆的半径相等，可知OA=OD，即△AOD为等腰三角形，得到两个底角∠ADO=∠DAO；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AD//OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又
∵OD和OA都是⊙O的半径，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180°-∠DAO-∠ADO=180°-70°-70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质、圆的半径相等、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题核心是找到角之间的等量关系，属于对基础知识点的常规考查，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：首先由AD//OC，可根据平行线的内错角相等得到∠DAO与已知∠AOC的等量关系，求出∠DAO的度数；再结合圆的半径相等，可知OA=OD，即△AOD为等腰三角形，得到两个底角∠ADO=∠DAO；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AD//OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又
∵OD和OA都是⊙O的半径，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180°-∠DAO-∠ADO=180°-70°-70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质、圆的半径相等、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题核心是找到角之间的等量关系，属于对基础知识点的常规考查，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
1. 线段AB=10 cm,在以AB为直径的圆上,到点A的距离为5 cm的点有
2
个.答案：1. 2
解析：
【分析】
解题时先明确所求点需同时满足两个条件：一是在以AB为直径的圆上，二是到点A的距离为5cm。首先先确定以AB为直径的圆的基本参数：AB长10cm，因此该圆半径为5cm，圆心为AB的中点O，可得OA=5cm。设符合条件的点为P，结合圆的性质可知OP=5cm，又PA=5cm，因此△OPA为等边三角形，根据角度关系即可判断符合条件的点的个数。
【解析】
解：设AB的中点为O，
∵AB为圆的直径，AB=10cm，
∴该圆（记为⊙O）的半径为$\frac{1}{2}AB=5$cm，即OA=OP=5cm（P为⊙O上任意一点）。
要求⊙O上到点A的距离为5cm的点，即找满足PA=5cm的点P。
此时OP=OA=PA=5cm，
∴△OPA为等边三角形，∠AOP=60°。
在AB的上方、下方各存在1个满足∠AOP=60°的点P，因此符合条件的点共有2个。
【答案】
2
【知识点】
圆的基本概念；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查圆的定义的应用，解题的关键是结合圆上点到圆心的距离等于半径的性质，将问题转化为判定等边三角形，进而确定点的个数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求点需同时满足两个条件：一是在以AB为直径的圆上，二是到点A的距离为5cm。首先先确定以AB为直径的圆的基本参数：AB长10cm，因此该圆半径为5cm，圆心为AB的中点O，可得OA=5cm。设符合条件的点为P，结合圆的性质可知OP=5cm，又PA=5cm，因此△OPA为等边三角形，根据角度关系即可判断符合条件的点的个数。
【解析】
解：设AB的中点为O，
∵AB为圆的直径，AB=10cm，
∴该圆（记为⊙O）的半径为$\frac{1}{2}AB=5$cm，即OA=OP=5cm（P为⊙O上任意一点）。
要求⊙O上到点A的距离为5cm的点，即找满足PA=5cm的点P。
此时OP=OA=PA=5cm，
∴△OPA为等边三角形，∠AOP=60°。
在AB的上方、下方各存在1个满足∠AOP=60°的点P，因此符合条件的点共有2个。
【答案】
2
【知识点】
圆的基本概念；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查圆的定义的应用，解题的关键是结合圆上点到圆心的距离等于半径的性质，将问题转化为判定等边三角形，进而确定点的个数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的顶端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿地面OM水平向右滑动.下图中虚线表示木杆的中点P变化的轨迹，其中正确的是 （
D
）答案：2. D
解析：
【分析】
解决这道题的核心是找到运动过程中不变的量：首先木杆AB长度始终不变，且△AOB始终是直角三角形。我们可以利用直角三角形斜边中线的性质判断中点P到O点的距离特征，再结合圆的定义确定P点的轨迹形状，最后结合滑动方向判断正确的轨迹图。
【解析】
连接OP，
∵ ∠AOB=90°，P是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}AB$。
∵ 木杆AB长度固定不变，
∴ OP的长度为定值，即滑动过程中点P到定点O的距离始终等于定长$\frac{1}{2}AB$。
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合为圆，可知点P的运动轨迹是以O为圆心，OP长为半径的一段圆弧。
又因为顶端A下滑、底端B右滑，P点会从初始位置向靠近B的方向移动，观察选项只有D符合该轨迹特征。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的定义
【点评】
本题是典型的动点轨迹判断题，解题的关键是抓住运动过程中的不变量，结合几何性质快速确定轨迹形状，能有效考查对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是找到运动过程中不变的量：首先木杆AB长度始终不变，且△AOB始终是直角三角形。我们可以利用直角三角形斜边中线的性质判断中点P到O点的距离特征，再结合圆的定义确定P点的轨迹形状，最后结合滑动方向判断正确的轨迹图。
【解析】
连接OP，
∵ ∠AOB=90°，P是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}AB$。
∵ 木杆AB长度固定不变，
∴ OP的长度为定值，即滑动过程中点P到定点O的距离始终等于定长$\frac{1}{2}AB$。
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合为圆，可知点P的运动轨迹是以O为圆心，OP长为半径的一段圆弧。
又因为顶端A下滑、底端B右滑，P点会从初始位置向靠近B的方向移动，观察选项只有D符合该轨迹特征。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的定义
【点评】
本题是典型的动点轨迹判断题，解题的关键是抓住运动过程中的不变量，结合几何性质快速确定轨迹形状，能有效考查对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,点A,B,C是$\odot O$上不重合的三点,下列结论一定正确的是 （
A.$∠ AOB=∠ A+∠ B$
B.$∠ AOB=2(∠ A+∠ B)$
C.$∠ AOB=90°-(∠ A+∠ B)$
D.$∠ AOB=180°-2(∠ A+∠ B)$
B
）A.$∠ AOB=∠ A+∠ B$
B.$∠ AOB=2(∠ A+∠ B)$
C.$∠ AOB=90°-(∠ A+∠ B)$
D.$∠ AOB=180°-2(∠ A+∠ B)$
答案：3. B
解析：
【分析】
解题时首先观察图形，∠AOB是弧AB所对的圆心角，我们需要找到它和∠A、∠B的关系：第一步，利用圆的半径相等，连接OC构造两个等腰三角形，通过等腰三角形等边对等角的性质，将∠ACB转化为∠A与∠B的和；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可推导出∠AOB和∠A、∠B的数量关系。
【解析】
连接OC，
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，OB=OC，
∴$∠ A=∠ OCA$，$∠ B=∠ OCB$，
∴$∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=∠ A+∠ B$，
又
∵$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2(∠ A+∠ B)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心是通过连接半径构造等腰三角形完成角度转化，结合圆周角定理即可快速得到结论，是圆相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，∠AOB是弧AB所对的圆心角，我们需要找到它和∠A、∠B的关系：第一步，利用圆的半径相等，连接OC构造两个等腰三角形，通过等腰三角形等边对等角的性质，将∠ACB转化为∠A与∠B的和；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可推导出∠AOB和∠A、∠B的数量关系。
【解析】
连接OC，
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC，OB=OC，
∴$∠ A=∠ OCA$，$∠ B=∠ OCB$，
∴$∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=∠ A+∠ B$，
又
∵$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2(∠ A+∠ B)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心是通过连接半径构造等腰三角形完成角度转化，结合圆周角定理即可快速得到结论，是圆相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$和$△ ABD$中，$∠ C=90°$，$∠ D=90°$，AB的中点为O. 求证：A,B,C,D四点在以O为圆心的圆上.
答案：4. 连接OC,OD,$\because ∠ ACB=90°$,AB的中点为O,$\therefore OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB$,同理$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB. \therefore OA=OB=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在以O为圆心,OA长为半径的圆上
解析：
【分析】
要证明A、B、C、D四点在以O为圆心的圆上，依据圆的定义，只需证明这四个点到点O的距离相等即可。已知O是AB的中点，可直接得到OA=OB，接下来只需推导OC、OD与OA、OB相等即可。观察图形可知△ABC和△ABD都是直角三角形，AB是二者的公共斜边，我们可先连接OC、OD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，就能得到OC、OD均等于AB的一半，进而得到四个线段相等的结论。
【解析】
证明：连接OC、OD，
∵ ∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ 在Rt△ABC中，OC是斜边AB的中线，因此$OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
同理，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，OD是斜边AB的中线，因此$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，
∴ A、B、C、D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上。
【答案】
连接OC,OD,$\because ∠ ACB=90°$,AB的中点为O,$\therefore OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB$,同理$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB. \therefore OA=OB=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在以O为圆心,OA长为半径的圆上
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的定义，四点共圆判定
【点评】
本题是圆相关概念的基础应用，解题的核心是明确共圆的判定依据，结合直角三角形的性质推导各点到圆心的距离相等，是证明多点共圆的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明A、B、C、D四点在以O为圆心的圆上，依据圆的定义，只需证明这四个点到点O的距离相等即可。已知O是AB的中点，可直接得到OA=OB，接下来只需推导OC、OD与OA、OB相等即可。观察图形可知△ABC和△ABD都是直角三角形，AB是二者的公共斜边，我们可先连接OC、OD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，就能得到OC、OD均等于AB的一半，进而得到四个线段相等的结论。
【解析】
证明：连接OC、OD，
∵ ∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ 在Rt△ABC中，OC是斜边AB的中线，因此$OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
同理，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，OD是斜边AB的中线，因此$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，
∴ A、B、C、D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上。
【答案】
连接OC,OD,$\because ∠ ACB=90°$,AB的中点为O,$\therefore OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB$,同理$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB. \therefore OA=OB=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在以O为圆心,OA长为半径的圆上
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的定义，四点共圆判定
【点评】
本题是圆相关概念的基础应用，解题的核心是明确共圆的判定依据，结合直角三角形的性质推导各点到圆心的距离相等，是证明多点共圆的典型基础题型。
【难度系数】
0.8