2. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ABC=28°$，则$∠ BDC=$
（第2题）
62
°.（第2题）答案：2. 62
解析：
【分析】
解题时先观察已知条件：AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ACB=90°；在Rt△ABC中，已知∠ABC=28°，利用直角三角形两锐角互余可算出∠BAC的度数；再观察所求的∠BDC，发现它和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠BDC的度数。也可先求弧BC对应的圆心角度数，再利用圆周角等于同弧所对圆心角的一半求解。
【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠ABC=28°，
∴ ∠BAC=90°-∠ABC=90°-28°=62°。
又
∵ ∠BDC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=62°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
62
【知识点】
1. 直径所对圆周角性质
2. 圆周角定理
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础计算题，核心考察圆周角相关性质的运用，熟练掌握直径所对圆周角的特征、同弧所对圆周角的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ACB=90°；在Rt△ABC中，已知∠ABC=28°，利用直角三角形两锐角互余可算出∠BAC的度数；再观察所求的∠BDC，发现它和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠BDC的度数。也可先求弧BC对应的圆心角度数，再利用圆周角等于同弧所对圆心角的一半求解。
【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠ABC=28°，
∴ ∠BAC=90°-∠ABC=90°-28°=62°。
又
∵ ∠BDC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=62°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
62
【知识点】
1. 直径所对圆周角性质
2. 圆周角定理
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础计算题，核心考察圆周角相关性质的运用，熟练掌握直径所对圆周角的特征、同弧所对圆周角的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平面直角坐标系中,A,C分别是$\odot O$与$x$轴负半轴、$y$轴正半轴的交点,点$B,D$在$\odot O$上,则$∠ ADC=$
$135°$
.答案：3. $135°$
解析：
【分析】
解题时首先结合平面直角坐标系的特征，得到x轴与y轴垂直，因此劣弧AC对应的圆心角∠AOC=90°。接下来分析所求角∠ADC对应的弧：∠ADC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，先求出优弧AC的圆心角度数，再除以2即可得到∠ADC的度数；也可以先求出劣弧AC所对的圆周角为45°，再结合圆内接四边形对角互补的性质推导结果。
【解析】
解：
∵x轴与y轴互相垂直，
∴劣弧AC对应的圆心角∠AOC=90°，
∴优弧AC对应的圆心角为$360° - 90° = 270°$。
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∠ADC是优弧AC所对的圆周角，
∴$∠ ADC=\frac{1}{2}×270°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角计算，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，解题的核心是准确判断所求圆周角对应的弧，结合圆心角的度数即可快速求解，是圆周角知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平面直角坐标系的特征，得到x轴与y轴垂直，因此劣弧AC对应的圆心角∠AOC=90°。接下来分析所求角∠ADC对应的弧：∠ADC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，先求出优弧AC的圆心角度数，再除以2即可得到∠ADC的度数；也可以先求出劣弧AC所对的圆周角为45°，再结合圆内接四边形对角互补的性质推导结果。
【解析】
解：
∵x轴与y轴互相垂直，
∴劣弧AC对应的圆心角∠AOC=90°，
∴优弧AC对应的圆心角为$360° - 90° = 270°$。
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∠ADC是优弧AC所对的圆周角，
∴$∠ ADC=\frac{1}{2}×270°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角计算，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，解题的核心是准确判断所求圆周角对应的弧，结合圆心角的度数即可快速求解，是圆周角知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
4. 以O为中心点的量角器与含$45°$角的三角板ABC按如图方式摆放，量角器的零刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的量角器刻度为$52°$，那么$∠ BCD$的度数为（
A.$52°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$69°$
C
）A.$52°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$69°$
答案：4. C
解析：
【分析】
首先明确图形特征：△ABC是含45°的等腰直角三角板，因此∠ACB=90°，O为AB中点，可得OA=OB=OC，即点C和点E都在以O为圆心、AB为直径的同一个圆上。已知点E对应的量角器刻度为52°，即弧AE对应的圆心角∠AOE=52°，结合圆周角定理可先求出同弧对应的圆周角∠ACE的度数，再用∠ACB减去∠ACE即可得到∠BCD的度数。
【解析】
连接OE，
∵ 三角板ABC为含45°角的直角三角板，
∴ ∠ACB=90°，
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB=OC，即点C在以O为圆心、AB为直径的圆上，
∴ A、B、C、E四点共圆，
∵ 点E对应的量角器刻度为52°，
∴ 圆心角∠AOE=52°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AE所对的圆周角为∠ACE，圆心角为∠AOE，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×52° = 26°，
∴ ∠BCD = ∠ACB - ∠ACE = 90° - 26° = 64°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的性质，圆心角定义
【点评】
本题结合量角器、三角板的实际摆放考查几何知识的应用，解题的关键是结合等腰直角三角形的性质判定四点共圆，再利用圆周角定理建立角度关系，需要学生具备从实物场景中抽象几何条件的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确图形特征：△ABC是含45°的等腰直角三角板，因此∠ACB=90°，O为AB中点，可得OA=OB=OC，即点C和点E都在以O为圆心、AB为直径的同一个圆上。已知点E对应的量角器刻度为52°，即弧AE对应的圆心角∠AOE=52°，结合圆周角定理可先求出同弧对应的圆周角∠ACE的度数，再用∠ACB减去∠ACE即可得到∠BCD的度数。
【解析】
连接OE，
∵ 三角板ABC为含45°角的直角三角板，
∴ ∠ACB=90°，
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB=OC，即点C在以O为圆心、AB为直径的圆上，
∴ A、B、C、E四点共圆，
∵ 点E对应的量角器刻度为52°，
∴ 圆心角∠AOE=52°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AE所对的圆周角为∠ACE，圆心角为∠AOE，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×52° = 26°，
∴ ∠BCD = ∠ACB - ∠ACE = 90° - 26° = 64°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的性质，圆心角定义
【点评】
本题结合量角器、三角板的实际摆放考查几何知识的应用，解题的关键是结合等腰直角三角形的性质判定四点共圆，再利用圆周角定理建立角度关系，需要学生具备从实物场景中抽象几何条件的能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC到点D，使$DC=CB$，延长DA，交$\odot O$于点E，连接AC，CE。
（1）试说明$∠ B=∠ D$；
（2）若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长。
（1）试说明$∠ B=∠ D$；
（2）若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长。
答案：(1) 易证$AC⊥BD$,进而可证$△ADB$是等腰三角形
(2) 先证$∠E=∠B=∠D$,利用勾股定理求得$CB=1+\sqrt{7}$,则$CE=1+\sqrt{7}$
(2) 先证$∠E=∠B=∠D$,利用勾股定理求得$CB=1+\sqrt{7}$,则$CE=1+\sqrt{7}$
解析：
【分析】
（1）要证明∠B=∠D，可先推出AD=AB，得到△ADB为等腰三角形即可。由AB是⊙O的直径可得AC⊥BC，结合DC=CB可知AC是BD的垂直平分线，即可推出AD=AB，进而得到角相等的结论。
（2）要求CE的长，先利用同弧所对的圆周角相等得∠E=∠B，结合（1）的结论推出∠E=∠D，可得CE=CD=BC，因此只需求BC的长即可。在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知BC-AC=2列方程求解，即可得到BC的长，也就是CE的长。
【解析】
（1）证明：
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
又
∵DC=CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴AD=AB，
∴△ADB是等腰三角形，
∴∠B=∠D。
（2）解：
∵∠E和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠E=∠B，
由（1）知∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∴CE=CD，
又
∵CD=CB，
∴CE=CB。
设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∵AB=4，
∴$(x-2)^2 + x^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 - 2x - 6 = 0$，
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$（边长为正数，舍去），
∴BC=$1+\sqrt{7}$，
∴CE=BC=$1+\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$1+\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问主要利用直径所对圆周角为直角和垂直平分线的性质推导等腰三角形，第二问需要通过圆周角的性质完成等线段的转化，再结合勾股定理列方程求解，侧重考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明∠B=∠D，可先推出AD=AB，得到△ADB为等腰三角形即可。由AB是⊙O的直径可得AC⊥BC，结合DC=CB可知AC是BD的垂直平分线，即可推出AD=AB，进而得到角相等的结论。
（2）要求CE的长，先利用同弧所对的圆周角相等得∠E=∠B，结合（1）的结论推出∠E=∠D，可得CE=CD=BC，因此只需求BC的长即可。在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知BC-AC=2列方程求解，即可得到BC的长，也就是CE的长。
【解析】
（1）证明：
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
又
∵DC=CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴AD=AB，
∴△ADB是等腰三角形，
∴∠B=∠D。
（2）解：
∵∠E和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠E=∠B，
由（1）知∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∴CE=CD，
又
∵CD=CB，
∴CE=CB。
设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∵AB=4，
∴$(x-2)^2 + x^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 - 2x - 6 = 0$，
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$（边长为正数，舍去），
∴BC=$1+\sqrt{7}$，
∴CE=BC=$1+\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$1+\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问主要利用直径所对圆周角为直角和垂直平分线的性质推导等腰三角形，第二问需要通过圆周角的性质完成等线段的转化，再结合勾股定理列方程求解，侧重考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
1. 如图，$\odot A$的半径为5，$BC$，$DE$为两条弦. 已知$DE=6$，$∠ BAC + ∠ EAD = 180°$，则圆心$A$到$BC$的距离等于
（第1题）
3
.（第1题）答案：1. 3
解析：
【分析】
要求圆心A到BC的距离，我们可以通过作弦心距构造直角三角形，结合已知条件求解。首先过A分别作BC、DE的垂线，利用垂径定理可得DE的一半长度；再结合两个圆心角互补的条件，可推出它们的一半互余，结合直角三角形两锐角互余的性质得到角相等，再借助半径相等证明两个直角三角形全等，即可推出所求弦心距的长度。
【解析】
过点A作$AF⊥ BC$于点F，$AG⊥ DE$于点G。
根据垂径定理，可得$EG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ EAG=\frac{1}{2}∠ DAE$，$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，因此$∠ BAF+∠ EAG=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ DAE)=90°$。
在$Rt△ AFB$中，$∠ BAF+∠ B=90°$，因此$∠ B=∠ EAG$。
在$△ ABF$和$△ EAG$中：
$\begin{cases}∠ AFB=∠ EGA=90° \\∠ B=∠ EAG \\AB=AE\quad (\mathrm{都是}\odot A\mathrm{的半径})\end{cases}$
所以$△ ABF≌△ EAG\ (\mathrm{AAS})$，因此$AF=EG=3$，即圆心A到BC的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆心角的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质和全等三角形的应用，解题的关键是通过作弦心距构造直角三角形，结合圆心角互补的条件找到角的等量关系，进而通过全等转化得到所求线段的长度。
【难度系数】
0.65
要求圆心A到BC的距离，我们可以通过作弦心距构造直角三角形，结合已知条件求解。首先过A分别作BC、DE的垂线，利用垂径定理可得DE的一半长度；再结合两个圆心角互补的条件，可推出它们的一半互余，结合直角三角形两锐角互余的性质得到角相等，再借助半径相等证明两个直角三角形全等，即可推出所求弦心距的长度。
【解析】
过点A作$AF⊥ BC$于点F，$AG⊥ DE$于点G。
根据垂径定理，可得$EG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ EAG=\frac{1}{2}∠ DAE$，$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，因此$∠ BAF+∠ EAG=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ DAE)=90°$。
在$Rt△ AFB$中，$∠ BAF+∠ B=90°$，因此$∠ B=∠ EAG$。
在$△ ABF$和$△ EAG$中：
$\begin{cases}∠ AFB=∠ EGA=90° \\∠ B=∠ EAG \\AB=AE\quad (\mathrm{都是}\odot A\mathrm{的半径})\end{cases}$
所以$△ ABF≌△ EAG\ (\mathrm{AAS})$，因此$AF=EG=3$，即圆心A到BC的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆心角的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质和全等三角形的应用，解题的关键是通过作弦心距构造直角三角形，结合圆心角互补的条件找到角的等量关系，进而通过全等转化得到所求线段的长度。
【难度系数】
0.65
2. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$为对角线$AC$的中点,连接$BE$,$ED$,$BD$.若$∠ BAD=58°$,则$∠ EBD$的度数为________.
答案：2. $32°$
解析：
【分析】
解题时先观察已知条件，出现两个直角三角形共斜边AC，且E是AC中点，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出BE=DE=AE=CE，由此可知A、B、C、D四点在以E为圆心、AC为直径的同一个圆上；接下来根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠BED的度数；最后因为BE=DE，△BED是等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BE=$\frac{1}{2}$AC=AE=CE，
在Rt△ADC中，DE=$\frac{1}{2}$AC=AE=CE，
∴BE=DE=AE=CE，即点A、B、C、D在以E为圆心，AC为直径的圆上。
根据圆周角定理，同弧BD所对的圆心角∠BED=2∠BAD，
已知∠BAD=58°，
∴∠BED=2×58°=116°。
又
∵BE=DE，
∴△BED为等腰三角形，
∴∠EBD=$\frac{180°-∠BED}{2}$=$\frac{180°-116°}{2}$=32°。
【答案】
32°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质推出四点共圆，实现角度的转化，再结合等腰三角形的性质计算角度，有助于培养学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知条件，出现两个直角三角形共斜边AC，且E是AC中点，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出BE=DE=AE=CE，由此可知A、B、C、D四点在以E为圆心、AC为直径的同一个圆上；接下来根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠BED的度数；最后因为BE=DE，△BED是等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BE=$\frac{1}{2}$AC=AE=CE，
在Rt△ADC中，DE=$\frac{1}{2}$AC=AE=CE，
∴BE=DE=AE=CE，即点A、B、C、D在以E为圆心，AC为直径的圆上。
根据圆周角定理，同弧BD所对的圆心角∠BED=2∠BAD，
已知∠BAD=58°，
∴∠BED=2×58°=116°。
又
∵BE=DE，
∴△BED为等腰三角形，
∴∠EBD=$\frac{180°-∠BED}{2}$=$\frac{180°-116°}{2}$=32°。
【答案】
32°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质推出四点共圆，实现角度的转化，再结合等腰三角形的性质计算角度，有助于培养学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点$M$在$BA$的延长线上，$∠ CAM$的平分线与$\odot O$相交于点$E$，连接$BE$，$CE$。求证：$BE=CE$。
答案：3. 由$∠MAE=∠ECB,∠EAC=∠EBC,∠ECB=∠EBC$,则$BE=CE$
解析：
【分析】
要证明BE=CE，可转化为证明∠ECB=∠EBC，利用等角对等边即可得到结论。首先根据角平分线的定义可得∠MAE=∠EAC；再结合圆内接四边形的性质，外角等于内对角，可得∠MAE=∠ECB；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠EAC=∠EBC，通过等量代换即可得到∠ECB=∠EBC，进而推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠CAM，
∴ ∠MAE = ∠EAC。
∵ 四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠MAE = ∠ECB（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ ∠EAC和∠EBC都是弧EC所对的圆周角，
∴ ∠EAC = ∠EBC（同弧所对的圆周角相等）。
∴ ∠ECB = ∠EBC，
∴ BE = CE（等角对等边）。
【答案】
BE=CE
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆中证明弦相等的基础题，解题关键是灵活运用角平分线性质和圆的相关性质完成角的等量代换，将弦相等的证明转化为等腰三角形的等角对等边判定，这类题型是圆性质应用的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
要证明BE=CE，可转化为证明∠ECB=∠EBC，利用等角对等边即可得到结论。首先根据角平分线的定义可得∠MAE=∠EAC；再结合圆内接四边形的性质，外角等于内对角，可得∠MAE=∠ECB；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠EAC=∠EBC，通过等量代换即可得到∠ECB=∠EBC，进而推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ AE平分∠CAM，
∴ ∠MAE = ∠EAC。
∵ 四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠MAE = ∠ECB（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ ∠EAC和∠EBC都是弧EC所对的圆周角，
∴ ∠EAC = ∠EBC（同弧所对的圆周角相等）。
∴ ∠ECB = ∠EBC，
∴ BE = CE（等角对等边）。
【答案】
BE=CE
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆中证明弦相等的基础题，解题关键是灵活运用角平分线性质和圆的相关性质完成角的等量代换，将弦相等的证明转化为等腰三角形的等角对等边判定，这类题型是圆性质应用的常见基础考法。
【难度系数】
0.8