5. 如图，边长相等的正方形ABFG和正五边形BCDEF拼接在一起，∠GFE=
$162$
°。答案：5. 162
解析：
【分析】
要求∠GFE的度数，首先需要明确正方形、正五边形的内角度数，再观察点F处的角的关系：点F处三个角∠BFG、∠BFE、∠GFE的和为周角360°，用周角减去另外两个已知角的度数即可求出∠GFE。首先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数，正方形内角为90°是固定值，再通过角度和的关系做减法求解。
【解析】
1. 正方形的每个内角为90°，因此正方形ABFG中，∠BFG=90°；
2. 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此正五边形BCDEF中，∠BFE=108°；
3. 由周角为360°可得：$∠ GFE = 360° - ∠ BFG - ∠ BFE$，代入数值得$∠ GFE=360° -90° -108°=162°$。
【答案】
162
【知识点】
正多边形的内角计算；周角的定义
【点评】
本题考查正多边形内角的相关计算，解题的关键是熟记正多边形内角公式，准确找到所求角与已知角的和差关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要求∠GFE的度数，首先需要明确正方形、正五边形的内角度数，再观察点F处的角的关系：点F处三个角∠BFG、∠BFE、∠GFE的和为周角360°，用周角减去另外两个已知角的度数即可求出∠GFE。首先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数，正方形内角为90°是固定值，再通过角度和的关系做减法求解。
【解析】
1. 正方形的每个内角为90°，因此正方形ABFG中，∠BFG=90°；
2. 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此正五边形BCDEF中，∠BFE=108°；
3. 由周角为360°可得：$∠ GFE = 360° - ∠ BFG - ∠ BFE$，代入数值得$∠ GFE=360° -90° -108°=162°$。
【答案】
162
【知识点】
正多边形的内角计算；周角的定义
【点评】
本题考查正多边形内角的相关计算，解题的关键是熟记正多边形内角公式，准确找到所求角与已知角的和差关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
6. 如图,已知正三角形$ABC$内接于$\odot O$,$AD$是$\odot O$的内接正十二边形的一条边,连接$CD$,若$CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,求$\odot O$的半径.
答案：
6. 连接$OA,OD,OC$,可得$∠ AOC=120°,∠ AOD=30°$,则$∠ COD=90°$.由$OC=OD,CD=6\sqrt{2}$,得$2OC^2=(6\sqrt{2})^2$,从而半径为6 cm
6. 连接$OA,OD,OC$,可得$∠ AOC=120°,∠ AOD=30°$,则$∠ COD=90°$.由$OC=OD,CD=6\sqrt{2}$,得$2OC^2=(6\sqrt{2})^2$,从而半径为6 cm
解析：
【分析】
解决本题的核心思路是利用正多边形的中心角与边数的关系求解圆心角，再结合特殊三角形的性质计算半径。第一步：遇到正多边形内接于圆的问题，通常先连接圆心与各顶点（即半径），构造出正多边形的中心角；第二步：分别计算正三角形、正十二边形对应的中心角，求出∠COD的度数，判断△COD的形状；第三步：结合已知CD的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
解：连接OA、OD、OC，
∵正△ABC内接于⊙O，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ AOC = \frac{360°}{3} = 120°$，
∵AD是⊙O的内接正十二边形的一条边，
∴$∠ AOD = \frac{360°}{12} = 30°$，
∴$∠ COD = ∠ AOC - ∠ AOD = 120° - 30° = 90°$，
又
∵OC、OD都是⊙O的半径，
∴OC=OD，即△COD是等腰直角三角形，
根据勾股定理得：$OC^2 + OD^2 = CD^2$，即$2OC^2 = CD^2$，
将$CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$代入得：$2OC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$，
解得$OC^2=36$，
∵OC＞0，
∴OC=6 cm。
【答案】
⊙O的半径为6 cm
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的常规题型，解题的突破口是通过连接半径构造中心角，将正多边形的边数条件转化为角度条件，进而得到特殊直角三角形求解，需熟练掌握正多边形中心角的计算公式和特殊三角形的性质。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是利用正多边形的中心角与边数的关系求解圆心角，再结合特殊三角形的性质计算半径。第一步：遇到正多边形内接于圆的问题，通常先连接圆心与各顶点（即半径），构造出正多边形的中心角；第二步：分别计算正三角形、正十二边形对应的中心角，求出∠COD的度数，判断△COD的形状；第三步：结合已知CD的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
解：连接OA、OD、OC，
∵正△ABC内接于⊙O，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ AOC = \frac{360°}{3} = 120°$，
∵AD是⊙O的内接正十二边形的一条边，
∴$∠ AOD = \frac{360°}{12} = 30°$，
∴$∠ COD = ∠ AOC - ∠ AOD = 120° - 30° = 90°$，
又
∵OC、OD都是⊙O的半径，
∴OC=OD，即△COD是等腰直角三角形，
根据勾股定理得：$OC^2 + OD^2 = CD^2$，即$2OC^2 = CD^2$，
将$CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$代入得：$2OC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$，
解得$OC^2=36$，
∵OC＞0，
∴OC=6 cm。
【答案】
⊙O的半径为6 cm
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的常规题型，解题的突破口是通过连接半径构造中心角，将正多边形的边数条件转化为角度条件，进而得到特殊直角三角形求解，需熟练掌握正多边形中心角的计算公式和特殊三角形的性质。
【难度系数】
0.7
1. 有一边长为4的正n边形，它的一个内角是120°，其外接圆的半径为
$4$
.答案：1. 4
解析：
【分析】
解题时首先利用正多边形内角与外角的互补关系，求出单个外角的度数，再结合多边形外角和为360°的性质，计算出正多边形的边数；之后根据正n边形与外接圆的对应性质，判断外接圆半径和边长的关系，最终求出半径值。
【解析】
解：
∵ 正n边形的每个内角为120°
∴ 正n边形的每个外角为 $180° - 120° = 60°$
∵ 任意多边形的外角和均为360°，且正多边形每个外角相等
∴ 边数 $n = 360° ÷ 60° = 6$，即该多边形为正六边形
正六边形的中心角为 $360° ÷ 6 = 60°$，外接圆的两条半径与正六边形的边长构成的三角形中，两边为外接圆半径长度相等，夹角为60°，因此该三角形为等边三角形
∴ 外接圆的半径 = 正六边形的边长 = 4
【答案】
4
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；正多边形与外接圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题的核心是先通过内角度数确定正多边形的边数，再利用正六边形外接圆半径与边长相等的性质快速求解，掌握正多边形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用正多边形内角与外角的互补关系，求出单个外角的度数，再结合多边形外角和为360°的性质，计算出正多边形的边数；之后根据正n边形与外接圆的对应性质，判断外接圆半径和边长的关系，最终求出半径值。
【解析】
解：
∵ 正n边形的每个内角为120°
∴ 正n边形的每个外角为 $180° - 120° = 60°$
∵ 任意多边形的外角和均为360°，且正多边形每个外角相等
∴ 边数 $n = 360° ÷ 60° = 6$，即该多边形为正六边形
正六边形的中心角为 $360° ÷ 6 = 60°$，外接圆的两条半径与正六边形的边长构成的三角形中，两边为外接圆半径长度相等，夹角为60°，因此该三角形为等边三角形
∴ 外接圆的半径 = 正六边形的边长 = 4
【答案】
4
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；正多边形与外接圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题的核心是先通过内角度数确定正多边形的边数，再利用正六边形外接圆半径与边长相等的性质快速求解，掌握正多边形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
同圆的内接正三角形、正方形、正六边形中，周长最大的是
正六边形
.答案：2. 正六边形
解析：
【分析】
首先明确三个正多边形的外接圆是同一个圆，因此外接圆半径相等，我们可以设外接圆半径为R，利用正多边形边长与外接圆半径的关系，分别计算三种正多边形的边长，进而求出各自的周长，最后比较周长大小即可得到答案。
【解析】
设同圆的半径为$ R $，正$ n $边形的边长计算公式为$ a_n=2R·\sin\frac{180°}{n} $，周长$ C_n=n· a_n $：
1. 正三角形（$ n=3 $）：
边长$ a_3=2R·\sin60°=2R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}R $，
周长$ C_3=3×\sqrt{3}R=3\sqrt{3}R\approx5.196R $；
2. 正方形（$ n=4 $）：
边长$ a_4=2R·\sin45°=2R×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}R $，
周长$ C_4=4×\sqrt{2}R=4\sqrt{2}R\approx5.656R $；
3. 正六边形（$ n=6 $）：
边长$ a_6=2R·\sin30°=2R×\frac{1}{2}=R $，
周长$ C_6=6× R=6R $。
比较可得$ 3\sqrt{3}R＜4\sqrt{2}R＜6R $，因此周长最大的是正六边形。
【答案】
正六边形
【知识点】
正多边形与圆的性质，正多边形周长计算，特殊角三角函数应用
【点评】
本题考查同外接圆下正多边形的周长比较问题，解题核心是抓住外接圆半径相同的条件，结合正多边形和外接圆的关系推导边长，进而计算周长比较大小，是正多边形与圆章节的典型基础题，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确三个正多边形的外接圆是同一个圆，因此外接圆半径相等，我们可以设外接圆半径为R，利用正多边形边长与外接圆半径的关系，分别计算三种正多边形的边长，进而求出各自的周长，最后比较周长大小即可得到答案。
【解析】
设同圆的半径为$ R $，正$ n $边形的边长计算公式为$ a_n=2R·\sin\frac{180°}{n} $，周长$ C_n=n· a_n $：
1. 正三角形（$ n=3 $）：
边长$ a_3=2R·\sin60°=2R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}R $，
周长$ C_3=3×\sqrt{3}R=3\sqrt{3}R\approx5.196R $；
2. 正方形（$ n=4 $）：
边长$ a_4=2R·\sin45°=2R×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}R $，
周长$ C_4=4×\sqrt{2}R=4\sqrt{2}R\approx5.656R $；
3. 正六边形（$ n=6 $）：
边长$ a_6=2R·\sin30°=2R×\frac{1}{2}=R $，
周长$ C_6=6× R=6R $。
比较可得$ 3\sqrt{3}R＜4\sqrt{2}R＜6R $，因此周长最大的是正六边形。
【答案】
正六边形
【知识点】
正多边形与圆的性质，正多边形周长计算，特殊角三角函数应用
【点评】
本题考查同外接圆下正多边形的周长比较问题，解题核心是抓住外接圆半径相同的条件，结合正多边形和外接圆的关系推导边长，进而计算周长比较大小，是正多边形与圆章节的典型基础题，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 正六边形ABCDEF的边长是10 cm，面积为S₁，正六边形A'B'C'D'E'F'的边长是5 cm，面积为S₂，则S₁:S₂=
$4:1$
.答案：3. $4:1$
解析：
【分析】
所有正六边形都是相似多边形，相似多边形的面积比等于相似比的平方，其中相似比为对应边的比值。解题时可先求出两个正六边形的边长比即相似比，再对相似比平方即可得到面积比；也可利用正六边形的面积公式分别求出两个正六边形的面积，再计算比值。
【解析】
方法一：利用相似多边形性质求解
∵ 所有正六边形的对应角相等、对应边成比例，
∴ 正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，
两个正六边形的相似比$k=\frac{10}{5}=2$，
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_1}{S_2}=k^2=2^2=4$，即$S_1:S_2=4:1$。
方法二：利用正六边形面积公式求解
正六边形的面积公式为$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$（$a$为正六边形的边长），
则$S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}×10^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×100$，
$S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×5^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×25$，
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{100}{25}=\frac{4}{1}$，即$S_1:S_2=4:1$。
【答案】
$4:1$
【知识点】
相似多边形的性质、正多边形的性质
【点评】
本题既可以用相似图形的比例性质快速求解，也可以通过直接计算正六边形面积得到结果，解题思路灵活，核心是掌握相似图形的边长比和面积比的关系。
【难度系数】
0.8
所有正六边形都是相似多边形，相似多边形的面积比等于相似比的平方，其中相似比为对应边的比值。解题时可先求出两个正六边形的边长比即相似比，再对相似比平方即可得到面积比；也可利用正六边形的面积公式分别求出两个正六边形的面积，再计算比值。
【解析】
方法一：利用相似多边形性质求解
∵ 所有正六边形的对应角相等、对应边成比例，
∴ 正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，
两个正六边形的相似比$k=\frac{10}{5}=2$，
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_1}{S_2}=k^2=2^2=4$，即$S_1:S_2=4:1$。
方法二：利用正六边形面积公式求解
正六边形的面积公式为$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$（$a$为正六边形的边长），
则$S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}×10^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×100$，
$S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×5^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}×25$，
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{100}{25}=\frac{4}{1}$，即$S_1:S_2=4:1$。
【答案】
$4:1$
【知识点】
相似多边形的性质、正多边形的性质
【点评】
本题既可以用相似图形的比例性质快速求解，也可以通过直接计算正六边形面积得到结果，解题思路灵活，核心是掌握相似图形的边长比和面积比的关系。
【难度系数】
0.8
4. 某正多边形的每个内角比其外角大 $100°$，求这个正多边形的边数.
答案：4. 设正多边形的边数为 $n$. 则正多边形每一个内角为$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}$,正多边形每一个外角为$\dfrac{360°}{n}$. 根据题意,得$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}-\dfrac{360°}{n}=100°$. 解得 $n=9$,即这个正多边形的边数是 9
解析：
【分析】
解决本题的核心是利用正多边形内角、外角的性质建立等量关系列方程。首先回忆正多边形的性质：正多边形各内角相等、各外角相等，内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），且任意多边形的外角和恒为$360°$。我们可以分别用含$n$的式子表示出正多边形的一个内角和一个外角，再根据“内角比外角大$100°$”的条件列方程，求解即可得到边数。
【解析】
设正多边形的边数为$n$。
正多边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此每一个内角的度数为$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}$；
正多边形的外角和为$360°$，因此每一个外角的度数为$\dfrac{360°}{n}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}-\dfrac{360°}{n}=100°$
方程两边同时乘$n$得：
$(n-2)×180 - 360 = 100n$
展开计算：$180n - 360 - 360 = 100n$
移项合并同类项得：$80n = 720$
解得：$n=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形内角和公式、正多边形外角和性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础常考题，解题的关键是牢记正多边形内角和的计算方法以及外角和恒为$360°$的特点，通过题干给出的等量关系列方程求解即可，也可先计算单个外角的度数，再用外角和直接求边数，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用正多边形内角、外角的性质建立等量关系列方程。首先回忆正多边形的性质：正多边形各内角相等、各外角相等，内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），且任意多边形的外角和恒为$360°$。我们可以分别用含$n$的式子表示出正多边形的一个内角和一个外角，再根据“内角比外角大$100°$”的条件列方程，求解即可得到边数。
【解析】
设正多边形的边数为$n$。
正多边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此每一个内角的度数为$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}$；
正多边形的外角和为$360°$，因此每一个外角的度数为$\dfrac{360°}{n}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}-\dfrac{360°}{n}=100°$
方程两边同时乘$n$得：
$(n-2)×180 - 360 = 100n$
展开计算：$180n - 360 - 360 = 100n$
移项合并同类项得：$80n = 720$
解得：$n=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形内角和公式、正多边形外角和性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础常考题，解题的关键是牢记正多边形内角和的计算方法以及外角和恒为$360°$的特点，通过题干给出的等量关系列方程求解即可，也可先计算单个外角的度数，再用外角和直接求边数，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7
5. 如图，EF是$\odot O$的直径.
（1）请用直尺和圆规作出$\odot O$的内接正方形$ABCD$，要求所作正方形的一组对边$AD$，$BC$分别垂直于$EF$；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在所作的图中，连接$EA$，$EB$，求出$∠ EAD$，$∠ EBC$的度数.
（1）请用直尺和圆规作出$\odot O$的内接正方形$ABCD$，要求所作正方形的一组对边$AD$，$BC$分别垂直于$EF$；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在所作的图中，连接$EA$，$EB$，求出$∠ EAD$，$∠ EBC$的度数.
答案：5. （1）图略 （2）A,D 靠近 $E$(上端),$∠ EAD=45°,∠ EBC=135°$;A,D 靠近 $F$(下端),$∠ EAD=135°,∠ EBC=45°$
解析：
【分析】
（1）要作符合要求的圆内接正方形，首先正方形中心与圆心O重合，且AD、BC垂直于EF，所以先作出EF的垂线，将圆周四等分，四个等分点就是正方形的顶点，顺次连接即可得到所求正方形；（2）求角度时，利用圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半），结合正四边形四等分圆周，每段弧度数为90°的性质，分A、D靠近E端和靠近F端两种情况，确定所求角对应的弧的度数即可计算。
【解析】
（1）作图步骤参考：①过O作直线垂直于EF，交圆于两点，此时两条互相垂直的直径将圆分为4段90°的弧；②分别作4个直角的角平分线，交圆于A、B、C、D四点，顺次连接四点，所得正方形即为所求（保留作图痕迹即可）。
（2）分两种情况计算：
①当A、D靠近上端E时：
正方形内接于圆，每段相邻顶点间的弧为90°，∠EAD所对劣弧ED的度数为90°，由圆周角定理得$∠ EAD=\frac{1}{2}×90°=45°$；
$∠ EBC$所对优弧的度数为$360°-90°=270°$，故$∠ EBC=\frac{1}{2}×270°=135°$。
②当A、D靠近下端F时：
$∠ EAD$所对优弧ED的度数为270°，故$∠ EAD=\frac{1}{2}×270°=135°$；
$∠ EBC$所对劣弧的度数为90°，故$∠ EBC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
（1）作图略，保留作图痕迹即可；（2）A、D靠近E时，$∠ EAD=45°$，$∠ EBC=135°$；A、D靠近F时，$∠ EAD=135°$，$∠ EBC=45°$
【知识点】
尺规作图；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题综合考查尺规作图、正多边形和圆的关系及圆周角定理的应用，解题的关键是掌握正四等分圆周的方法，同时要注意顶点位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）要作符合要求的圆内接正方形，首先正方形中心与圆心O重合，且AD、BC垂直于EF，所以先作出EF的垂线，将圆周四等分，四个等分点就是正方形的顶点，顺次连接即可得到所求正方形；（2）求角度时，利用圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半），结合正四边形四等分圆周，每段弧度数为90°的性质，分A、D靠近E端和靠近F端两种情况，确定所求角对应的弧的度数即可计算。
【解析】
（1）作图步骤参考：①过O作直线垂直于EF，交圆于两点，此时两条互相垂直的直径将圆分为4段90°的弧；②分别作4个直角的角平分线，交圆于A、B、C、D四点，顺次连接四点，所得正方形即为所求（保留作图痕迹即可）。
（2）分两种情况计算：
①当A、D靠近上端E时：
正方形内接于圆，每段相邻顶点间的弧为90°，∠EAD所对劣弧ED的度数为90°，由圆周角定理得$∠ EAD=\frac{1}{2}×90°=45°$；
$∠ EBC$所对优弧的度数为$360°-90°=270°$，故$∠ EBC=\frac{1}{2}×270°=135°$。
②当A、D靠近下端F时：
$∠ EAD$所对优弧ED的度数为270°，故$∠ EAD=\frac{1}{2}×270°=135°$；
$∠ EBC$所对劣弧的度数为90°，故$∠ EBC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
（1）作图略，保留作图痕迹即可；（2）A、D靠近E时，$∠ EAD=45°$，$∠ EBC=135°$；A、D靠近F时，$∠ EAD=135°$，$∠ EBC=45°$
【知识点】
尺规作图；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题综合考查尺规作图、正多边形和圆的关系及圆周角定理的应用，解题的关键是掌握正四等分圆周的方法，同时要注意顶点位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65