活动一:想一想 议一议
阅读课本问题，思考平均志愿服务时间能否准确地反映该组5月份的志愿服务时间的实际情况，为什么？
阅读课本问题，思考平均志愿服务时间能否准确地反映该组5月份的志愿服务时间的实际情况，为什么？
答案：略
解析：
【分析】
解题时首先回忆算术平均数的特征，明确平均数是由所有数据求和后除以数据个数得到的统计量，核心缺点是容易受极端值影响。我们可以通过假设存在极端志愿服务时长的场景，对比平均数和大多数人的实际时长，就能推导出平均数是否能准确反映普遍情况，理清统计量的适用边界即可得出结论。
【解析】
平均志愿服务时间不能准确反映该组5月份志愿服务时间的实际情况。
原因：平均志愿服务时间属于算术平均数，计算逻辑为全组志愿服务总时长除以总人数，它很容易被一组数据中的极端值（过大或过小的异常数据）干扰。如果组内存在个别志愿服务时长特别长或特别短的同学，最终算出的平均时长会偏离大多数同学的真实服务时长，无法代表多数人的实际水平。
举例验证：假设该组有5名同学，服务时长分别为2h、3h、2h、4h、49h，计算得平均时长为12h，但除极端值外其余同学时长都在2~4h区间，12h显然不符合大多数人的实际情况。
【答案】
不能准确反映。因为平均志愿服务时间是算术平均数，易受极端值（过大或过小的异常数据）影响，若数据中存在极端值，平均数会偏离多数同学的志愿服务时间水平，无法代表大部分人的实际情况。
【知识点】
平均数的特征，极端值的影响，统计量的选择
【点评】
本题结合生活场景设置问题，能直观体现平均数反映数据整体水平时的局限性，帮助理解不同统计量有不同的适用范围，为后续学习中位数、众数等统计量做好铺垫。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平均数的特征，明确平均数是由所有数据求和后除以数据个数得到的统计量，核心缺点是容易受极端值影响。我们可以通过假设存在极端志愿服务时长的场景，对比平均数和大多数人的实际时长，就能推导出平均数是否能准确反映普遍情况，理清统计量的适用边界即可得出结论。
【解析】
平均志愿服务时间不能准确反映该组5月份志愿服务时间的实际情况。
原因：平均志愿服务时间属于算术平均数，计算逻辑为全组志愿服务总时长除以总人数，它很容易被一组数据中的极端值（过大或过小的异常数据）干扰。如果组内存在个别志愿服务时长特别长或特别短的同学，最终算出的平均时长会偏离大多数同学的真实服务时长，无法代表多数人的实际水平。
举例验证：假设该组有5名同学，服务时长分别为2h、3h、2h、4h、49h，计算得平均时长为12h，但除极端值外其余同学时长都在2~4h区间，12h显然不符合大多数人的实际情况。
【答案】
不能准确反映。因为平均志愿服务时间是算术平均数，易受极端值（过大或过小的异常数据）影响，若数据中存在极端值，平均数会偏离多数同学的志愿服务时间水平，无法代表大部分人的实际情况。
【知识点】
平均数的特征，极端值的影响，统计量的选择
【点评】
本题结合生活场景设置问题，能直观体现平均数反映数据整体水平时的局限性，帮助理解不同统计量有不同的适用范围，为后续学习中位数、众数等统计量做好铺垫。
【难度系数】
0.7
1. 数据8,7,6,7,6,5,4,5,8,6的中位数是 （
A.8
B.7
C.6
D.5
C
）A.8
B.7
C.6
D.5
答案：1. C
解析：
【分析】
要计算一组数据的中位数，首先需明确中位数的定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数；若数据个数为偶数，中间两个数的平均数就是中位数。本题解题思路为：先将给出的10个数据按从小到大排序，再找到排序后中间的两个数，计算其平均数即可得到中位数。
【解析】
第一步：将数据8,7,6,7,6,5,4,5,8,6从小到大排列：
4，5，5，6，6，6，7，7，8，8
第二步：判断数据个数：这组数据共10个，为偶数个，中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数。
第三步：找到第5个数据为6，第6个数据为6，计算平均数：
$\frac{6+6}{2}=6$
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义, 中位数的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查中位数的计算方法，解题的易错点是未对数据排序就直接取原数据的中间数计算，只要严格遵循中位数的定义步骤求解即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的中位数，首先需明确中位数的定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数；若数据个数为偶数，中间两个数的平均数就是中位数。本题解题思路为：先将给出的10个数据按从小到大排序，再找到排序后中间的两个数，计算其平均数即可得到中位数。
【解析】
第一步：将数据8,7,6,7,6,5,4,5,8,6从小到大排列：
4，5，5，6，6，6，7，7，8，8
第二步：判断数据个数：这组数据共10个，为偶数个，中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数。
第三步：找到第5个数据为6，第6个数据为6，计算平均数：
$\frac{6+6}{2}=6$
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义, 中位数的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查中位数的计算方法，解题的易错点是未对数据排序就直接取原数据的中间数计算，只要严格遵循中位数的定义步骤求解即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2. 某班四个小组的人数如下:10,10,x,8,已知这组数据的中位数与平均数相等,则x的值可能为（
A.6
B.7
C.8
D.9
C
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案：2. C
解析：
【分析】
首先明确平均数和中位数的计算规则：平均数是所有数据总和除以数据个数；4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数。由于x的取值会改变数据的排序，进而影响中位数的结果，因此需要分不同的x取值范围讨论中位数的表达式，再结合“中位数与平均数相等”的条件列方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围，匹配选项即可。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{10+10+x+8}{4}=\frac{28+x}{4}$
分三种情况讨论中位数：
1. 当$x≤8$时，数据从小到大排序为：$x,8,10,10$，中位数为$\frac{8+10}{2}=9$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=9$，解得$x=8$，符合$x≤8$的条件。
2. 当$8＜x≤10$时，数据从小到大排序为：$8,x,10,10$，中位数为$\frac{x+10}{2}$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=\frac{x+10}{2}$，去分母得$28+x=2(x+10)$，解得$x=8$，不满足$8＜x≤10$，舍去。
3. 当$x＞10$时，数据从小到大排序为：$8,10,10,x$，中位数为$\frac{10+10}{2}=10$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=10$，解得$x=12$，不在题目给出的选项中，舍去。
综上，符合条件的x为8。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算,中位数计算,分类讨论思想
【点评】
本题考查平均数和中位数的综合应用，解题核心是根据未知数据的大小合理分类，确定不同场景下的中位数表达式，求解后注意验证解是否符合对应取值范围，避免错解。
【难度系数】
0.7
首先明确平均数和中位数的计算规则：平均数是所有数据总和除以数据个数；4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数。由于x的取值会改变数据的排序，进而影响中位数的结果，因此需要分不同的x取值范围讨论中位数的表达式，再结合“中位数与平均数相等”的条件列方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围，匹配选项即可。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{10+10+x+8}{4}=\frac{28+x}{4}$
分三种情况讨论中位数：
1. 当$x≤8$时，数据从小到大排序为：$x,8,10,10$，中位数为$\frac{8+10}{2}=9$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=9$，解得$x=8$，符合$x≤8$的条件。
2. 当$8＜x≤10$时，数据从小到大排序为：$8,x,10,10$，中位数为$\frac{x+10}{2}$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=\frac{x+10}{2}$，去分母得$28+x=2(x+10)$，解得$x=8$，不满足$8＜x≤10$，舍去。
3. 当$x＞10$时，数据从小到大排序为：$8,10,10,x$，中位数为$\frac{10+10}{2}=10$
令平均数等于中位数：$\frac{28+x}{4}=10$，解得$x=12$，不在题目给出的选项中，舍去。
综上，符合条件的x为8。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算,中位数计算,分类讨论思想
【点评】
本题考查平均数和中位数的综合应用，解题核心是根据未知数据的大小合理分类，确定不同场景下的中位数表达式，求解后注意验证解是否符合对应取值范围，避免错解。
【难度系数】
0.7
3. 已知一组数据$a,3,5,2,7,9$的中位数是5,那么$a$可能是 （
A.1
B.2
C.3
D.5
D
）A.1
B.2
C.3
D.5
答案：3. D
解析：
【分析】
解题时先明确中位数的计算规则：当数据个数为偶数时，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间两个数的平均数。本题共有6个数据，因此中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，已知中位数为5，可得第3、4个数据的和为10。我们可以先把除a外的5个数据排序，再逐个代入选项验证，或直接推导a的取值范围：要使中位数为5，排序后第3个数据不能小于5，因此a≥5，对照选项即可得到答案。
【解析】
首先，将除a外的5个数据从小到大排序为：2，3，5，7，9。
这组数据共有6个（偶数个），根据中位数的定义，中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，由题意得该平均数为5，即第3个数据+第4个数据=10。
逐一验证选项：
A. 当a=1时，数据排序为1，2，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
B. 当a=2时，数据排序为2，2，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
C. 当a=3时，数据排序为2，3，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
D. 当a=5时，数据排序为2，3，5，5，7，9，中位数为(5+5)÷2=5，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中位数的概念，数据排序，平均数计算
【点评】
本题是中位数相关的基础题，核心考查对中位数定义的理解，解题的关键是牢记计算中位数前必须先对数据排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数的计算方式，易错点是未排序直接找中间数计算。
【难度系数】
0.8
解题时先明确中位数的计算规则：当数据个数为偶数时，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间两个数的平均数。本题共有6个数据，因此中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，已知中位数为5，可得第3、4个数据的和为10。我们可以先把除a外的5个数据排序，再逐个代入选项验证，或直接推导a的取值范围：要使中位数为5，排序后第3个数据不能小于5，因此a≥5，对照选项即可得到答案。
【解析】
首先，将除a外的5个数据从小到大排序为：2，3，5，7，9。
这组数据共有6个（偶数个），根据中位数的定义，中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，由题意得该平均数为5，即第3个数据+第4个数据=10。
逐一验证选项：
A. 当a=1时，数据排序为1，2，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
B. 当a=2时，数据排序为2，2，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
C. 当a=3时，数据排序为2，3，3，5，7，9，中位数为(3+5)÷2=4≠5，不符合；
D. 当a=5时，数据排序为2，3，5，5，7，9，中位数为(5+5)÷2=5，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中位数的概念，数据排序，平均数计算
【点评】
本题是中位数相关的基础题，核心考查对中位数定义的理解，解题的关键是牢记计算中位数前必须先对数据排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数的计算方式，易错点是未排序直接找中间数计算。
【难度系数】
0.8
4. 小明家1～5月的电费(单位:元)分别为:137,140,140,117,104.该组数据的中位数是
137元
。答案：4. 137元
解析：
【分析】
要求这组数据的中位数，需遵循中位数的求解思路：首先回忆中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，最中间的数即为中位数；若为偶数，中间两个数的平均数为中位数。本题共有5个数据，属于奇数个，因此只需先排序，再找到最中间的数即可。
【解析】
第一步：将给定的5个电费数据按从小到大的顺序排列：104，117，137，140，140。
第二步：判断数据总个数为5，是奇数，因此取排序后位于第3位的数作为中位数。
第三步：排序后第3位的数是137，因此该组数据的中位数为137元。
【答案】
137元
【知识点】
中位数的概念；数据排序
【点评】
本题是基础题型，考查中位数的求解，解题核心是先对数据进行有序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，要注意避免未排序直接取原数据中间位置的数的错误。
【难度系数】
0.9
要求这组数据的中位数，需遵循中位数的求解思路：首先回忆中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，最中间的数即为中位数；若为偶数，中间两个数的平均数为中位数。本题共有5个数据，属于奇数个，因此只需先排序，再找到最中间的数即可。
【解析】
第一步：将给定的5个电费数据按从小到大的顺序排列：104，117，137，140，140。
第二步：判断数据总个数为5，是奇数，因此取排序后位于第3位的数作为中位数。
第三步：排序后第3位的数是137，因此该组数据的中位数为137元。
【答案】
137元
【知识点】
中位数的概念；数据排序
【点评】
本题是基础题型，考查中位数的求解，解题核心是先对数据进行有序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，要注意避免未排序直接取原数据中间位置的数的错误。
【难度系数】
0.9
有一组不重复的数据2,5,7,8,b,其中b为中位数,且为整数,则b的值是
6
答案：5. 6
解析：
【分析】
解题时首先要明确中位数的定义：对于奇数个数据，将数据按大小顺序排列后，中间位置的数就是中位数。本题共5个数据，所以中位数是排序后的第3个数。已知b是中位数，说明b排在第3位，据此可确定b的取值范围，再结合b是整数、数据不重复的限制，就能求出b的可能值。
【解析】
解：这组数据共有5个，为奇数个，根据中位数的定义，将数据从小到大排序后，第3个数据即为中位数。
∵b是这组数据的中位数，
∴排序后b位于第3位，即满足5≤b≤7：
若b＜5，排序后第3个数据是5，中位数为5≠b，不符合要求；
若b＞7，排序后第3个数据是7，中位数为7≠b，不符合要求。
又
∵b为整数，且数据不重复，b不能取与已有数据重复的7，
∴b的取值为5或6。
【答案】
5、6
【知识点】
中位数的定义、不等式的整数解
【点评】
本题重点考查中位数的概念应用，解题的核心是根据数据个数确定中位数的位置，进而推导未知量的取值范围，解题时要注意题目给出的整数、数据不重复等限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确中位数的定义：对于奇数个数据，将数据按大小顺序排列后，中间位置的数就是中位数。本题共5个数据，所以中位数是排序后的第3个数。已知b是中位数，说明b排在第3位，据此可确定b的取值范围，再结合b是整数、数据不重复的限制，就能求出b的可能值。
【解析】
解：这组数据共有5个，为奇数个，根据中位数的定义，将数据从小到大排序后，第3个数据即为中位数。
∵b是这组数据的中位数，
∴排序后b位于第3位，即满足5≤b≤7：
若b＜5，排序后第3个数据是5，中位数为5≠b，不符合要求；
若b＞7，排序后第3个数据是7，中位数为7≠b，不符合要求。
又
∵b为整数，且数据不重复，b不能取与已有数据重复的7，
∴b的取值为5或6。
【答案】
5、6
【知识点】
中位数的定义、不等式的整数解
【点评】
本题重点考查中位数的概念应用，解题的核心是根据数据个数确定中位数的位置，进而推导未知量的取值范围，解题时要注意题目给出的整数、数据不重复等限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
6. 某校为了解全校同学“五一”假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加社团活动的时间，绘制成如图所示的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则参加社团活动时间的中位数x的取值范围是
6≤x＜8
。答案：6. 6≤x＜8
解析：
【分析】
要确定中位数的取值范围，首先明确中位数的定义：当数据个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排序后，中间两个数（第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个）的平均数。本题样本容量为100，因此中位数是第50、51个数据的平均数，我们只需先算出未知频数$a$，再通过累计频数判断第50、51个数据所在的区间，即可得到中位数的范围。
【解析】
1. 计算未知频数$a$：
由总人数为100可得：$a=100-8-28-30-10=24$。
2. 计算累计频数：
时间在$2∼4\mathrm{h}$的有8人，累计共8人；
时间在$4∼6\mathrm{h}$的有28人，累计共$8+28=36$人；
时间在$6∼8\mathrm{h}$的有24人，累计共$36+24=60$人。
3. 判断中位数所在区间：
100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数，因为$36＜50＜51＜60$，说明第50、51个数据都落在$6∼8\mathrm{h}$的组内，因此中位数$x$的取值范围是$6≤ x＜8$。
【答案】
$6≤ x＜8$
【知识点】
频数分布直方图；中位数定义
【点评】
本题是频数分布直方图与中位数结合的基础题型，解题核心是先确定中位数对应的数据位置，再通过累计频数锁定对应区间，掌握中位数定义和频数直方图的读法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定中位数的取值范围，首先明确中位数的定义：当数据个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排序后，中间两个数（第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个）的平均数。本题样本容量为100，因此中位数是第50、51个数据的平均数，我们只需先算出未知频数$a$，再通过累计频数判断第50、51个数据所在的区间，即可得到中位数的范围。
【解析】
1. 计算未知频数$a$：
由总人数为100可得：$a=100-8-28-30-10=24$。
2. 计算累计频数：
时间在$2∼4\mathrm{h}$的有8人，累计共8人；
时间在$4∼6\mathrm{h}$的有28人，累计共$8+28=36$人；
时间在$6∼8\mathrm{h}$的有24人，累计共$36+24=60$人。
3. 判断中位数所在区间：
100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数，因为$36＜50＜51＜60$，说明第50、51个数据都落在$6∼8\mathrm{h}$的组内，因此中位数$x$的取值范围是$6≤ x＜8$。
【答案】
$6≤ x＜8$
【知识点】
频数分布直方图；中位数定义
【点评】
本题是频数分布直方图与中位数结合的基础题型，解题核心是先确定中位数对应的数据位置，再通过累计频数锁定对应区间，掌握中位数定义和频数直方图的读法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1. 一组数据5,6,6,x,7,8,9的平均数是7,则中位数是 （
A.8
B.7
C.6.5
D.6
B
）A.8
B.7
C.6.5
D.6
答案：1. B
解析：
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：首先我们已知这组数据的平均数，可根据平均数的计算公式先求出未知数据x的值；再根据中位数的定义，将所有数据按从小到大的顺序排列后，找到中间位置的数即为中位数。
【解析】
第一步，计算x的值：
这组数据共有7个，平均数为7，根据“数据总和=平均数×数据个数”，可得7个数据的总和为：$7×7=49$
已知数据的和为：$5+6+6+7+8+9=41$
因此$x=49-41=8$
第二步，求中位数：
将这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
数据总个数是7，为奇数，中位数为排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即7。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，中位数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数和中位数的基础应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照中位数的定义排序找中间值，熟练掌握两个统计量的计算规则即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步思考：首先我们已知这组数据的平均数，可根据平均数的计算公式先求出未知数据x的值；再根据中位数的定义，将所有数据按从小到大的顺序排列后，找到中间位置的数即为中位数。
【解析】
第一步，计算x的值：
这组数据共有7个，平均数为7，根据“数据总和=平均数×数据个数”，可得7个数据的总和为：$7×7=49$
已知数据的和为：$5+6+6+7+8+9=41$
因此$x=49-41=8$
第二步，求中位数：
将这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
数据总个数是7，为奇数，中位数为排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即7。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，中位数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数和中位数的基础应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照中位数的定义排序找中间值，熟练掌握两个统计量的计算规则即可得分。
【难度系数】
0.8