活动一:忆一忆 说一说
结合课本图4-8对鸢尾花数据的研究,回答问题:
（1）散点图是如何直观展示数据分布特点的？从“同品种数据聚集、异品种数据分散”可以发现数据分组能解决什么问题？
（2）生活中我们会对物品分类整理（如按身高分组排队、按价格分区摆放商品），联系这类经验，说说你对“数据分组合理性”的初步理解——分组对描述数据规律有什么帮助？
活动二:画一画 议一议
“离差平方和”如何衡量数据的“聚集程度”？尝试用生活实例类比（如班级同学成绩与平均分的差距总和）理解这一概念。
结合课本图4-8对鸢尾花数据的研究,回答问题:
（1）散点图是如何直观展示数据分布特点的？从“同品种数据聚集、异品种数据分散”可以发现数据分组能解决什么问题？
（2）生活中我们会对物品分类整理（如按身高分组排队、按价格分区摆放商品），联系这类经验，说说你对“数据分组合理性”的初步理解——分组对描述数据规律有什么帮助？
活动二:画一画 议一议
“离差平方和”如何衡量数据的“聚集程度”？尝试用生活实例类比（如班级同学成绩与平均分的差距总和）理解这一概念。
答案：活动一 略
活动二 略
活动二 略
解析：
【分析】
本题是结合生活实例的数据分析探究题，解题时可结合已学的统计知识和生活经验逐一思考：①回答散点图的作用时，先回忆散点图的绘制逻辑，再推导其展示分布的原理，再结合“同聚异散”的特点推导数据分组的作用；②回答数据分组合理性的问题时，可先联想生活中分类整理的好处，再迁移到数据分组的作用上；③理解离差平方和时，先回忆其计算方法，再推导数值和聚集程度的关联，再结合生活实例类比即可。
【解析】
活动一
（1）散点图将对应两组变量的数据分别作为横、纵坐标绘制为坐标点，通过点的分布位置直观呈现数据取值：点集中的区域说明对应数据的变量取值接近，点分布的区域相距远说明对应数据的变量取值差异大。
从“同品种数据聚集、异品种数据分散”可发现，数据分组能将特征相似的数据归为同一类，特征差异大的数据区分为不同类，可解决数据分类、类别特征识别、不同类别数据对比的问题。
（2）生活中合理分类物品能让同类物品集中、不同类物品区分开，方便取用和管理。对应数据分组来说，合理的分组能让同一组内的数据差异小、共性强，不同组之间的数据差异大、特征区分明显，更便于我们发现每组数据的内在规律，也能更清晰地对比不同组数据的差异，梳理出整体数据的分布特点。
活动二
离差平方和的计算方法为：先求出所有数据的平均值，再将每个数据与平均值的差取平方后求和，得到的总和就是离差平方和。
若数据聚集程度高，大部分数据都接近平均值，每个数据与平均值的差较小，离差平方和的数值就小；若数据分散，大量数据与平均值的差较大，离差平方和的数值就大，因此可以通过离差平方和的大小衡量聚集程度：数值越小，数据越聚集；数值越大，数据越分散。
生活实例类比：若班级同学的成绩大多接近班级平均分，说明成绩分布集中，对应的离差平方和就小；若班级高分、低分人数多，大量成绩和平均分差距大，说明成绩分散，对应的离差平方和就大。
【答案】
活动一：略
活动二：略
【知识点】
散点图的应用，数据分组，离差平方和的意义
【点评】
本题属于探究类题目，将统计知识和生活实际紧密结合，有助于加深对数据分布、离散程度相关概念的理解，锻炼知识迁移和联系实际的能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合生活实例的数据分析探究题，解题时可结合已学的统计知识和生活经验逐一思考：①回答散点图的作用时，先回忆散点图的绘制逻辑，再推导其展示分布的原理，再结合“同聚异散”的特点推导数据分组的作用；②回答数据分组合理性的问题时，可先联想生活中分类整理的好处，再迁移到数据分组的作用上；③理解离差平方和时，先回忆其计算方法，再推导数值和聚集程度的关联，再结合生活实例类比即可。
【解析】
活动一
（1）散点图将对应两组变量的数据分别作为横、纵坐标绘制为坐标点，通过点的分布位置直观呈现数据取值：点集中的区域说明对应数据的变量取值接近，点分布的区域相距远说明对应数据的变量取值差异大。
从“同品种数据聚集、异品种数据分散”可发现，数据分组能将特征相似的数据归为同一类，特征差异大的数据区分为不同类，可解决数据分类、类别特征识别、不同类别数据对比的问题。
（2）生活中合理分类物品能让同类物品集中、不同类物品区分开，方便取用和管理。对应数据分组来说，合理的分组能让同一组内的数据差异小、共性强，不同组之间的数据差异大、特征区分明显，更便于我们发现每组数据的内在规律，也能更清晰地对比不同组数据的差异，梳理出整体数据的分布特点。
活动二
离差平方和的计算方法为：先求出所有数据的平均值，再将每个数据与平均值的差取平方后求和，得到的总和就是离差平方和。
若数据聚集程度高，大部分数据都接近平均值，每个数据与平均值的差较小，离差平方和的数值就小；若数据分散，大量数据与平均值的差较大，离差平方和的数值就大，因此可以通过离差平方和的大小衡量聚集程度：数值越小，数据越聚集；数值越大，数据越分散。
生活实例类比：若班级同学的成绩大多接近班级平均分，说明成绩分布集中，对应的离差平方和就小；若班级高分、低分人数多，大量成绩和平均分差距大，说明成绩分散，对应的离差平方和就大。
【答案】
活动一：略
活动二：略
【知识点】
散点图的应用，数据分组，离差平方和的意义
【点评】
本题属于探究类题目，将统计知识和生活实际紧密结合，有助于加深对数据分布、离散程度相关概念的理解，锻炼知识迁移和联系实际的能力。
【难度系数】
0.7
活动三:做一做 想一想
回顾“平均数”是反映数据集中趋势的量，思考：“每个数据与组平均数的差的平方和”为何能精准体现“组内数据聚集程度”？公式中“平方”的作用是什么？
回顾“平均数”是反映数据集中趋势的量，思考：“每个数据与组平均数的差的平方和”为何能精准体现“组内数据聚集程度”？公式中“平方”的作用是什么？
答案：解：
1. 该统计量能精准体现组内数据聚集程度的原因：
每个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心（平均数）的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
1. 该统计量能精准体现组内数据聚集程度的原因：
每个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心（平均数）的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
解析：
【分析】
思考本题可分两个层次推进：首先明确“组内数据聚集程度”的本质是所有数据整体偏离平均水平的程度，单个数据与平均数的差代表该数据的偏离幅度，直接对差求和会因正负偏差抵消无法反映真实总偏离，因此需要用平方处理偏差；再对应平方和的数值特征判断聚集程度：平方和越小，整体偏离平均水平的程度越低，数据越集中，反之越分散。分析平方的作用时，可从消除正负偏差影响、突出大偏差的作用两个角度梳理即可。
【解析】
我们结合统计量的意义与平方的特性分析如下：
1. 该统计量能体现组内数据聚集程度的原因：平均数是反映数据集中趋势的核心量，单个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
【答案】
1. 该统计量能精准体现组内数据聚集程度的原因：
每个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心（平均数）的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
【知识点】
平均数的意义；数据离散程度；方差的含义
【点评】
本题侧重考查统计量的底层原理，而非单纯的公式计算，能帮助大家理解用方差衡量数据离散程度的合理性，引导大家重视统计概念的本质，避免对公式的死记硬背。
【难度系数】
0.6
思考本题可分两个层次推进：首先明确“组内数据聚集程度”的本质是所有数据整体偏离平均水平的程度，单个数据与平均数的差代表该数据的偏离幅度，直接对差求和会因正负偏差抵消无法反映真实总偏离，因此需要用平方处理偏差；再对应平方和的数值特征判断聚集程度：平方和越小，整体偏离平均水平的程度越低，数据越集中，反之越分散。分析平方的作用时，可从消除正负偏差影响、突出大偏差的作用两个角度梳理即可。
【解析】
我们结合统计量的意义与平方的特性分析如下：
1. 该统计量能体现组内数据聚集程度的原因：平均数是反映数据集中趋势的核心量，单个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
【答案】
1. 该统计量能精准体现组内数据聚集程度的原因：
每个数据与组平均数的差可以刻画单个数据偏离数据中心（平均数）的程度，所有差的平方和的大小直接对应全体数据偏离平均数的总水平：若平方和越小，说明绝大多数数据都分布在平均数附近，数据整体越集中，聚集程度越高；若平方和越大，说明数据整体偏离平均数的总程度越高，数据越分散，聚集程度越低，因此可以精准反映组内数据的聚集程度。
2. 公式中“平方”的作用：
① 消除数据与平均数的差的正负性，避免正负偏差直接相加时相互抵消，不会出现偏差总和为0但实际数据离散程度很高的错误情况；
② 对数值较大的偏差有放大效应，能更敏感地体现偏离平均数程度大的数据的影响，更清晰地区分不同数据集的离散程度差异。
【知识点】
平均数的意义；数据离散程度；方差的含义
【点评】
本题侧重考查统计量的底层原理，而非单纯的公式计算，能帮助大家理解用方差衡量数据离散程度的合理性，引导大家重视统计概念的本质，避免对公式的死记硬背。
【难度系数】
0.6
1. 把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.{2},{4,8,10,12}
B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12}
D.{2,4,8,10},{12}
B
）A.{2},{4,8,10,12}
B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12}
D.{2,4,8,10},{12}
答案：1.B
解析：
【分析】
要解决这道题，首先明确核心目标：两组的组内离差平方和总和最小，本质是让每组内部数据尽可能集中。首先我们先把给出的数据从小到大排序：2、4、8、10、12。解题有两种思路：一是直接计算每个选项对应的两组离差平方和的总和，比较大小选最小的；二是观察有序数据的相邻差值，在差值最大的位置分割，能让两组内部数据最集中，总离差平方和最小，这道题相邻数差值最大的是4和8之间（差值为4），所以优先验证该分割方式对应的选项即可。
【解析】
我们通过计算各选项的总离差平方和（组内各数据与本组平均数的差的平方之和，两组相加得到总和）来判断：
离差平方和公式：对一组数$x_1,x_2,\dots,x_n$，均值为$\overline{x}$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
选项A：第一组{2}离差平方和为0；第二组均值$\overline{x}_2=(4+8+10+12)÷4=8.5$，离差平方和$=(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$，总离差平方和$=0+35=35$。
选项B：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4)÷2=3$，离差平方和$=(2-3)^2+(4-3)^2=2$；第二组均值$\overline{x}_2=(8+10+12)÷3=10$，离差平方和$=(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，总离差平方和$=2+8=10$。
选项C：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和$=(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{168}{9}\approx18.67$；第二组离差平方和$=(10-11)^2+(12-11)^2=2$，总离差平方和$\approx20.67$。
选项D：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4+8+10)÷4=6$，离差平方和$=(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$；第二组离差平方和为0，总离差平方和$=40+0=40$。
比较可得选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，平均数计算
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，组内数据越集中，离差平方和越小。既可以通过直接计算各选项的总离差平方和比较得出结果，也可以通过观察有序数据的相邻差值快速定位最优分割位置，解题时注意细心计算，避免平均数或平方计算出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心目标：两组的组内离差平方和总和最小，本质是让每组内部数据尽可能集中。首先我们先把给出的数据从小到大排序：2、4、8、10、12。解题有两种思路：一是直接计算每个选项对应的两组离差平方和的总和，比较大小选最小的；二是观察有序数据的相邻差值，在差值最大的位置分割，能让两组内部数据最集中，总离差平方和最小，这道题相邻数差值最大的是4和8之间（差值为4），所以优先验证该分割方式对应的选项即可。
【解析】
我们通过计算各选项的总离差平方和（组内各数据与本组平均数的差的平方之和，两组相加得到总和）来判断：
离差平方和公式：对一组数$x_1,x_2,\dots,x_n$，均值为$\overline{x}$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
选项A：第一组{2}离差平方和为0；第二组均值$\overline{x}_2=(4+8+10+12)÷4=8.5$，离差平方和$=(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$，总离差平方和$=0+35=35$。
选项B：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4)÷2=3$，离差平方和$=(2-3)^2+(4-3)^2=2$；第二组均值$\overline{x}_2=(8+10+12)÷3=10$，离差平方和$=(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，总离差平方和$=2+8=10$。
选项C：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和$=(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{168}{9}\approx18.67$；第二组离差平方和$=(10-11)^2+(12-11)^2=2$，总离差平方和$\approx20.67$。
选项D：第一组均值$\overline{x}_1=(2+4+8+10)÷4=6$，离差平方和$=(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$；第二组离差平方和为0，总离差平方和$=40+0=40$。
比较可得选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，平均数计算
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，组内数据越集中，离差平方和越小。既可以通过直接计算各选项的总离差平方和比较得出结果，也可以通过观察有序数据的相邻差值快速定位最优分割位置，解题时注意细心计算，避免平均数或平方计算出错。
【难度系数】
0.7
2. 已知一组数据离差平方和$S^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_{10}-\overline{x})^2=50$，则这组数据的方差$s^2=$
5
。答案：2.5
解析：
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，也就是离差平方和除以数据的总个数。首先从题目给出的离差平方和的表达式确定数据总个数为10，已知离差平方和为50，直接代入方差公式计算即可。
【解析】
解：根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
由题意可知，这组数据的个数$n=10$，离差平方和$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$，将数值代入公式得：
$s^2=\frac{50}{10}=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
方差的计算；离差平方和的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对方差定义的理解，解题的关键是明确方差与离差平方和的关系，避免记错方差公式的分母而导致计算错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，也就是离差平方和除以数据的总个数。首先从题目给出的离差平方和的表达式确定数据总个数为10，已知离差平方和为50，直接代入方差公式计算即可。
【解析】
解：根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
由题意可知，这组数据的个数$n=10$，离差平方和$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$，将数值代入公式得：
$s^2=\frac{50}{10}=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
方差的计算；离差平方和的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对方差定义的理解，解题的关键是明确方差与离差平方和的关系，避免记错方差公式的分母而导致计算错误。
【难度系数】
0.85
3. 把5个数据－1,3,1,5,4分成{－1,1}和{3,4,5}两组,则这种分组情况的组内离差平方和为
4
。答案：3.4