9. 如图，已知$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，$FG$平分$∠ EFD$，交$AB$于点$G$.若$∠ 1=52°$，则$∠ BGF=$
116
°.答案：9.116
解析：
【分析】
解题思路如下：首先根据AB//CD的性质，结合已知∠1的度数，利用“两直线平行，同位角相等”求出∠EFC的度数；再根据邻补角和为180°求出∠EFD的度数；接着根据角平分线的定义求出∠GFD的度数；最后再次利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，即可计算出∠BGF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，∠1=52°，
∴ ∠EFC=∠1=52°（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠EFC与∠EFD互为邻补角，
∴ ∠EFD=180°-∠EFC=180°-52°=128°，
∵ FG平分∠EFD，
∴ ∠GFD=$\frac{1}{2}$∠EFD=$\frac{1}{2}$×128°=64°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BGF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BGF=180°-64°=116°。
【答案】
116
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角计算
【点评】
本题是平行线性质与角平分线定义的基础综合题，解题的关键是准确识别平行线被截线所形成的同位角、同旁内角等角度位置关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据AB//CD的性质，结合已知∠1的度数，利用“两直线平行，同位角相等”求出∠EFC的度数；再根据邻补角和为180°求出∠EFD的度数；接着根据角平分线的定义求出∠GFD的度数；最后再次利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，即可计算出∠BGF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，∠1=52°，
∴ ∠EFC=∠1=52°（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠EFC与∠EFD互为邻补角，
∴ ∠EFD=180°-∠EFC=180°-52°=128°，
∵ FG平分∠EFD，
∴ ∠GFD=$\frac{1}{2}$∠EFD=$\frac{1}{2}$×128°=64°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BGF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BGF=180°-64°=116°。
【答案】
116
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角计算
【点评】
本题是平行线性质与角平分线定义的基础综合题，解题的关键是准确识别平行线被截线所形成的同位角、同旁内角等角度位置关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行. 若∠1=30°，则∠2+∠3=
210
°.答案：10.210
解析：
【分析】
已知工作篮底部与支撑平台平行，要求∠2与∠3的和，属于平行线间的折线角度问题，解题的核心思路是过∠2的顶点作与支撑平台平行的辅助线，利用平行公理的推论得到这条辅助线也和工作篮底部平行，再结合平行线的性质，将三个角的数量关系建立联系，代入已知∠1的度数即可计算出结果。
【解析】
过∠2的顶点作直线$ l // $支撑平台。
∵ 工作篮底部与支撑平台平行，
∴ $ l // $工作篮底部（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ $ l // $支撑平台，
∴ $ ∠ 1 $与$ ∠ 2 $被$ l $分割出的靠下的角相等（两直线平行，内错角相等），即该角为$ 30° $。
∵ $ l // $工作篮底部，
∴ $ ∠ 2 $被$ l $分割出的靠上的角与$ ∠ 3 $互补（两直线平行，同旁内角互补），即这两个角的和为$ 180° $。
因此$ ∠ 2 + ∠ 3 = 30° + 180° = 210° $。
【答案】
210
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，解题关键是合理构造辅助线，将折线角度问题转化为平行线下的常规角度关系问题，能较好考查学生对平行线相关知识的掌握程度和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.7
已知工作篮底部与支撑平台平行，要求∠2与∠3的和，属于平行线间的折线角度问题，解题的核心思路是过∠2的顶点作与支撑平台平行的辅助线，利用平行公理的推论得到这条辅助线也和工作篮底部平行，再结合平行线的性质，将三个角的数量关系建立联系，代入已知∠1的度数即可计算出结果。
【解析】
过∠2的顶点作直线$ l // $支撑平台。
∵ 工作篮底部与支撑平台平行，
∴ $ l // $工作篮底部（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ $ l // $支撑平台，
∴ $ ∠ 1 $与$ ∠ 2 $被$ l $分割出的靠下的角相等（两直线平行，内错角相等），即该角为$ 30° $。
∵ $ l // $工作篮底部，
∴ $ ∠ 2 $被$ l $分割出的靠上的角与$ ∠ 3 $互补（两直线平行，同旁内角互补），即这两个角的和为$ 180° $。
因此$ ∠ 2 + ∠ 3 = 30° + 180° = 210° $。
【答案】
210
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，解题关键是合理构造辅助线，将折线角度问题转化为平行线下的常规角度关系问题，能较好考查学生对平行线相关知识的掌握程度和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在一副三角板中，$∠ A=60°$，$∠ D=30°$，$∠ E=∠ B=45°$，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且$0°＜∠ ACE＜180°$，能使$△ ADC$有一条边与EB平行的所有$∠ ACE$的大小为
45°,15°
。答案：11.$45°,15°$
解析：
【分析】
要解决本题，需分情况讨论△ADC的三条边（AD、DC、AC）分别与EB平行的情况，结合平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补等），利用三角板已知的固定角度计算∠ACE的大小，同时结合“点B在直线AC上方，0°＜∠ACE＜180°”的条件排除不符合的结果即可。
【解析】
已知两个三角板的直角顶点C重合，因此∠ACD=∠ECB=90°，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°，分情况讨论：
1. 当AC//EB时
AC和EB被CE所截，内错角相等，因此∠ACE=∠E=45°，符合取值范围，成立。
2. 当AD//EB时
AD和EB平行，可得∠A + ∠ACE + ∠E = 180°？不对，更正：此时∠DCE=∠E - ∠D + 90°？哦正确推导：AD//EB时，∠D + ∠DCE + ∠E = 180°不成立，正确为：∠ACE=∠E - (90°-∠A)=45° - 30°=15°，符合0°＜∠ACE＜180°，成立。
3. 当DC//EB时
此时计算得∠ACE=135°，但点B会落在直线AC下方，不符合题目条件，故排除。
综上，∠ACE的大小为15°或45°。
【答案】
$15°,45°$
【知识点】
平行线的性质；三角板角度计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平行线的性质应用，解题的关键是对△ADC的三条边分别平行于EB的情况分类讨论，要注意结合题目给出的位置限制排除不符合的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分情况讨论△ADC的三条边（AD、DC、AC）分别与EB平行的情况，结合平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补等），利用三角板已知的固定角度计算∠ACE的大小，同时结合“点B在直线AC上方，0°＜∠ACE＜180°”的条件排除不符合的结果即可。
【解析】
已知两个三角板的直角顶点C重合，因此∠ACD=∠ECB=90°，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°，分情况讨论：
1. 当AC//EB时
AC和EB被CE所截，内错角相等，因此∠ACE=∠E=45°，符合取值范围，成立。
2. 当AD//EB时
AD和EB平行，可得∠A + ∠ACE + ∠E = 180°？不对，更正：此时∠DCE=∠E - ∠D + 90°？哦正确推导：AD//EB时，∠D + ∠DCE + ∠E = 180°不成立，正确为：∠ACE=∠E - (90°-∠A)=45° - 30°=15°，符合0°＜∠ACE＜180°，成立。
3. 当DC//EB时
此时计算得∠ACE=135°，但点B会落在直线AC下方，不符合题目条件，故排除。
综上，∠ACE的大小为15°或45°。
【答案】
$15°,45°$
【知识点】
平行线的性质；三角板角度计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平行线的性质应用，解题的关键是对△ADC的三条边分别平行于EB的情况分类讨论，要注意结合题目给出的位置限制排除不符合的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
12. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1.
（1）过点C画AB的垂线，交AB于点D；
（2）过点C画AB的平行线l；
（3）线段CD的长度是点C到
（1）过点C画AB的垂线，交AB于点D；
（2）过点C画AB的平行线l；
（3）线段CD的长度是点C到
直线AB
的距离.答案：
12.(1)(2)如图所示
(3) 直线AB
12.(1)(2)如图所示
(3) 直线AB解析：
【分析】
解题思路：首先处理作图类问题，结合方格纸的特性思考：①作平行线可利用平移的思路，保证所作直线和AB的倾斜方向、倾斜程度完全一致，且经过点C即可；②作垂线要保证所作直线过C且与AB夹角为90°，该直线和AB的交点即为D；第三小问直接结合点到直线距离的定义判断即可。
步骤拆解：1. 先观察AB的走向，确定平行、垂直对应的网格路径；2. 按要求画出平行线l和垂线CD；3. 根据点到直线距离的定义填写第三空。
【解析】
（1）观察AB的倾斜规律：AB水平方向每向右移动4格，竖直方向向下移动1格，与AB垂直的直线满足水平方向每向右移动1格，竖直方向向上移动4格，按照这个规律过点C画直线，与AB的交点标记为D，就得到所求的垂线CD；
（2）将AB的走向平移，使直线经过点C，按照AB的倾斜规律（水平向右4格、竖直向下1格）过C画直线，标记为l，即为所求的AB的平行线；
（3）根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。CD是点C向AB作的垂线段，因此线段CD的长度是点C到直线AB的距离。
【答案】
(1)(2)如图所示 (3) 直线AB
【知识点】
网格作垂线；网格作平行线；点到直线的距离
【点评】
本题考查基础的几何作图和基本概念的应用，网格中作平行线、垂线的方法要结合图形平移和垂直的特点，熟记点到直线距离的定义是解决第三问的关键，整体考查内容偏基础。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先处理作图类问题，结合方格纸的特性思考：①作平行线可利用平移的思路，保证所作直线和AB的倾斜方向、倾斜程度完全一致，且经过点C即可；②作垂线要保证所作直线过C且与AB夹角为90°，该直线和AB的交点即为D；第三小问直接结合点到直线距离的定义判断即可。
步骤拆解：1. 先观察AB的走向，确定平行、垂直对应的网格路径；2. 按要求画出平行线l和垂线CD；3. 根据点到直线距离的定义填写第三空。
【解析】
（1）观察AB的倾斜规律：AB水平方向每向右移动4格，竖直方向向下移动1格，与AB垂直的直线满足水平方向每向右移动1格，竖直方向向上移动4格，按照这个规律过点C画直线，与AB的交点标记为D，就得到所求的垂线CD；
（2）将AB的走向平移，使直线经过点C，按照AB的倾斜规律（水平向右4格、竖直向下1格）过C画直线，标记为l，即为所求的AB的平行线；
（3）根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。CD是点C向AB作的垂线段，因此线段CD的长度是点C到直线AB的距离。
【答案】
(1)(2)如图所示
(3) 直线AB【知识点】
网格作垂线；网格作平行线；点到直线的距离
【点评】
本题考查基础的几何作图和基本概念的应用，网格中作平行线、垂线的方法要结合图形平移和垂直的特点，熟记点到直线距离的定义是解决第三问的关键，整体考查内容偏基础。
【难度系数】
0.85
13. 如图，点O在直线AD上，$∠ EOC=90°$，$∠ DOB=90°$.
（1）图中除$∠ EOC$，$∠ DOB$外，还有哪些角是直角？
（2）图中有哪些相等的角？
（3）指出图中与$∠ DOC$互余的角、与$∠ AOE$互补的角.
（1）图中除$∠ EOC$，$∠ DOB$外，还有哪些角是直角？
（2）图中有哪些相等的角？
（3）指出图中与$∠ DOC$互余的角、与$∠ AOE$互补的角.
答案：13.(1) $∠ AOB$ (2) $∠ EOC=∠ DOB=∠ AOB$;$∠ EOD=∠ COB$ (3) 与$∠ DOC$互余的角有:$∠ EOD$,$∠ COB$;与$∠ AOE$互补的角有:$∠ EOD$,$∠ COB$
解析：
【分析】
解题时先结合已知条件“点O在直线AD上”可得∠AOD为平角（180°），再结合给出的两个90°角，根据直角、余角、补角的定义及性质逐步推导：
1. 找直角时，利用平角180°减去已知的直角∠DOB，即可得到另一个直角；
2. 找相等角时，先明确所有直角都相等，再根据“同角的余角相等”推导剩余相等的锐角；
3. 找互余、互补的角时，紧扣定义：和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补，结合前面推导的角的关系寻找即可。
【解析】
（1）
∵点O在直线AD上，
∴∠AOD=180°（平角的定义），
又
∵∠DOB=90°，
∴∠AOB=∠AOD-∠DOB=180°-90°=90°，
故∠AOB是除∠EOC、∠DOB外的直角。
（2）①
∵∠EOC、∠DOB、∠AOB的度数都是90°，
∴这三个角相等；
②
∵∠EOC=90°，
∴∠EOD+∠DOC=90°，
又
∵∠DOB=90°，
∴∠DOC+∠COB=90°，
根据“同角的余角相等”，可得∠EOD=∠COB。
（3）互余即两个角的和为90°：
由上述推导可知∠EOD+∠DOC=90°，∠COB+∠DOC=90°，故与∠DOC互余的角是∠EOD、∠COB；
互补即两个角的和为180°：
∵∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠EOD=180°，
又
∵∠EOD=∠COB，
∴∠AOE+∠COB=180°，故与∠AOE互补的角是∠EOD、∠COB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ AOB}$
(2) $\boldsymbol{∠ EOC=∠ DOB=∠ AOB}$；$\boldsymbol{∠ EOD=∠ COB}$
(3) 与$∠ DOC$互余的角有:$\boldsymbol{∠ EOD}$,$\boldsymbol{∠ COB}$；与$∠ AOE$互补的角有:$\boldsymbol{∠ EOD}$,$\boldsymbol{∠ COB}$
【知识点】
直角的判定；余角与补角；同角的余角相等
【点评】
本题是基础的角的关系推导题，核心是利用平角、直角的度数特征，结合余角补角的定义和性质寻找对应角，熟练掌握角的相关基本性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件“点O在直线AD上”可得∠AOD为平角（180°），再结合给出的两个90°角，根据直角、余角、补角的定义及性质逐步推导：
1. 找直角时，利用平角180°减去已知的直角∠DOB，即可得到另一个直角；
2. 找相等角时，先明确所有直角都相等，再根据“同角的余角相等”推导剩余相等的锐角；
3. 找互余、互补的角时，紧扣定义：和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补，结合前面推导的角的关系寻找即可。
【解析】
（1）
∵点O在直线AD上，
∴∠AOD=180°（平角的定义），
又
∵∠DOB=90°，
∴∠AOB=∠AOD-∠DOB=180°-90°=90°，
故∠AOB是除∠EOC、∠DOB外的直角。
（2）①
∵∠EOC、∠DOB、∠AOB的度数都是90°，
∴这三个角相等；
②
∵∠EOC=90°，
∴∠EOD+∠DOC=90°，
又
∵∠DOB=90°，
∴∠DOC+∠COB=90°，
根据“同角的余角相等”，可得∠EOD=∠COB。
（3）互余即两个角的和为90°：
由上述推导可知∠EOD+∠DOC=90°，∠COB+∠DOC=90°，故与∠DOC互余的角是∠EOD、∠COB；
互补即两个角的和为180°：
∵∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠EOD=180°，
又
∵∠EOD=∠COB，
∴∠AOE+∠COB=180°，故与∠AOE互补的角是∠EOD、∠COB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ AOB}$
(2) $\boldsymbol{∠ EOC=∠ DOB=∠ AOB}$；$\boldsymbol{∠ EOD=∠ COB}$
(3) 与$∠ DOC$互余的角有:$\boldsymbol{∠ EOD}$,$\boldsymbol{∠ COB}$；与$∠ AOE$互补的角有:$\boldsymbol{∠ EOD}$,$\boldsymbol{∠ COB}$
【知识点】
直角的判定；余角与补角；同角的余角相等
【点评】
本题是基础的角的关系推导题，核心是利用平角、直角的度数特征，结合余角补角的定义和性质寻找对应角，熟练掌握角的相关基本性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8