10. 填空：（1）$-2a^2 - \frac{1}{2}a^2 = \_\_\_\_\_\_$；（2）$-3ab - (\_\_\_\_\_\_) = 2ab.$
答案：10. (1) $-\frac{5}{2}a^2$ (2) $-5ab$
解析：
【分析】
（1）首先观察两个单项式都是同类项，根据合并同类项的法则，只需将两个项的系数相加减，字母及字母的指数保持不变，即可算出结果；
（2）已知减法运算的被减数和差，求减数，根据“减数=被减数-差”的关系列出算式，再合并同类项就能得到括号内的式子。
【解析】
（1）合并同类项，将系数相加，字母部分不变：
$-2a^2 - \frac{1}{2}a^2 = (-2 - \frac{1}{2})a^2 = -\frac{5}{2}a^2$
（2）设括号内的式子为$x$，根据题意可得：$-3ab - x = 2ab$，
根据减法各部分关系得：$x = -3ab - 2ab$，
合并同类项得：$x = (-3 - 2)ab = -5ab$
【答案】
（1）$-\frac{5}{2}a^2$；（2）$-5ab$
【知识点】
1. 合并同类项 2. 整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查合并同类项法则的应用，计算时要特别注意系数的符号，避免符号运算出错，这类基础运算需要熟练掌握，为后续整式的复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.85
（1）首先观察两个单项式都是同类项，根据合并同类项的法则，只需将两个项的系数相加减，字母及字母的指数保持不变，即可算出结果；
（2）已知减法运算的被减数和差，求减数，根据“减数=被减数-差”的关系列出算式，再合并同类项就能得到括号内的式子。
【解析】
（1）合并同类项，将系数相加，字母部分不变：
$-2a^2 - \frac{1}{2}a^2 = (-2 - \frac{1}{2})a^2 = -\frac{5}{2}a^2$
（2）设括号内的式子为$x$，根据题意可得：$-3ab - x = 2ab$，
根据减法各部分关系得：$x = -3ab - 2ab$，
合并同类项得：$x = (-3 - 2)ab = -5ab$
【答案】
（1）$-\frac{5}{2}a^2$；（2）$-5ab$
【知识点】
1. 合并同类项 2. 整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查合并同类项法则的应用，计算时要特别注意系数的符号，避免符号运算出错，这类基础运算需要熟练掌握，为后续整式的复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.85
11. 如果$-4x^{m-1}y^3$与$x^2y^{n+1}$是同类项，那么$m^n=$
9
。答案：11. 9
解析：
【分析】
要解决这道题，首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们的解题思路是先根据同类项的定义，分别对应两个单项式中x、y的指数，列方程求出m和n的值，再代入计算mⁿ的结果即可。
【解析】
已知$-4x^{m-1}y^3$与$x^2y^{n+1}$是同类项，根据同类项的定义：
1. 相同字母x的指数相等：$m-1=2$，解得$m=3$；
2. 相同字母y的指数相等：$n+1=3$，解得$n=2$。
将$m=3$、$n=2$代入$m^n$，可得$m^n=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项定义的理解和应用，解题关键是抓住同类项中“相同字母的指数相同”这一核心条件列方程求解，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们的解题思路是先根据同类项的定义，分别对应两个单项式中x、y的指数，列方程求出m和n的值，再代入计算mⁿ的结果即可。
【解析】
已知$-4x^{m-1}y^3$与$x^2y^{n+1}$是同类项，根据同类项的定义：
1. 相同字母x的指数相等：$m-1=2$，解得$m=3$；
2. 相同字母y的指数相等：$n+1=3$，解得$n=2$。
将$m=3$、$n=2$代入$m^n$，可得$m^n=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项定义的理解和应用，解题关键是抓住同类项中“相同字母的指数相同”这一核心条件列方程求解，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a^2+2a=1$，则代数式$2a^2+4a-1$的值为
1
。答案：12. 1
解析：
【分析】
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构关联，发现所求代数式的前两项$2a^2+4a$可以提取公因数2，变形为$2(a^2+2a)$，刚好与已知条件中的$a^2+2a$对应，因此无需计算a的具体数值，直接采用整体代入法即可快速算出结果。
【解析】
解：已知$a^2 + 2a = 1$，
对所求代数式变形可得：
$2a^2 + 4a - 1 = 2(a^2 + 2a) - 1$
将$a^2 + 2a = 1$代入上式：
原式$=2×1 -1 = 2 - 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、整体代入、整式变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，掌握该方法可以避免求解未知参数的具体值，大幅简化运算过程，是代数式求值类题目的常用技巧，需要熟练掌握观察代数式结构的能力。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构关联，发现所求代数式的前两项$2a^2+4a$可以提取公因数2，变形为$2(a^2+2a)$，刚好与已知条件中的$a^2+2a$对应，因此无需计算a的具体数值，直接采用整体代入法即可快速算出结果。
【解析】
解：已知$a^2 + 2a = 1$，
对所求代数式变形可得：
$2a^2 + 4a - 1 = 2(a^2 + 2a) - 1$
将$a^2 + 2a = 1$代入上式：
原式$=2×1 -1 = 2 - 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、整体代入、整式变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，掌握该方法可以避免求解未知参数的具体值，大幅简化运算过程，是代数式求值类题目的常用技巧，需要熟练掌握观察代数式结构的能力。
【难度系数】
0.9
13. 定义新运算“⊗”，规定：$a\otimes b=\frac{1}{3}a - 4b$，则$12\otimes(-1)=$
8
。答案：13. 8
解析：
【分析】
首先要明确新运算“⊗”的运算规则：运算结果等于第一个数的$\frac{1}{3}$减去4倍的第二个数。解题时只需把待求式子中对应的数值代入规则，再按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
根据新运算的规定$a\otimes b=\frac{1}{3}a - 4b$，可知$12\otimes(-1)$中$a=12$，$b=-1$，代入公式计算：
$\begin{aligned}12\otimes(-1)&=\frac{1}{3}×12 - 4×(-1)\\&=4 + 4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
定义新运算；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值后按照有理数运算规则计算即可，重点需要注意负数乘法的符号处理。
【难度系数】
0.9
首先要明确新运算“⊗”的运算规则：运算结果等于第一个数的$\frac{1}{3}$减去4倍的第二个数。解题时只需把待求式子中对应的数值代入规则，再按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
根据新运算的规定$a\otimes b=\frac{1}{3}a - 4b$，可知$12\otimes(-1)$中$a=12$，$b=-1$，代入公式计算：
$\begin{aligned}12\otimes(-1)&=\frac{1}{3}×12 - 4×(-1)\\&=4 + 4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
定义新运算；有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值后按照有理数运算规则计算即可，重点需要注意负数乘法的符号处理。
【难度系数】
0.9
14. 食堂有大米a kg，原计划每天用大米b kg，实际每天节约大米12 kg，节约后可以多用
$(\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b})$
天。答案：14. $(\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b})$
解析：
【分析】
要求节约后可以多用的天数，我们可按三步思路解题：首先明确核心数量关系：使用天数=大米总质量÷每天使用量；接着分别计算原计划使用天数、节约后实际使用天数；最后用实际使用天数减去原计划使用天数，即可得到多用的天数。
【解析】
1. 计算原计划使用天数：
已知大米总质量为$a$ kg，原计划每天用$b$ kg，根据使用天数公式，原计划可用天数为$\frac{a}{b}$天。
2. 计算实际每天用米量：
实际每天节约12 kg，所以实际每天用米量为$(b-12)$ kg。
3. 计算节约后实际使用天数：
结合总质量和实际日均用量，可得实际可用天数为$\frac{a}{b-12}$天。
4. 计算多用的天数：
多用天数=实际使用天数-原计划使用天数，即$\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b}$。
【答案】
$(\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b})$
【知识点】
1. 用字母表示数
2. 列代数式
3. 基本数量关系
【点评】
本题是代数式在生活场景中的基础应用，解题关键是理清总质量、日均用量、使用天数三者的关系，分别求出两种情况下的使用天数后作差即可，注意代数式的书写规范。
【难度系数】
0.8
要求节约后可以多用的天数，我们可按三步思路解题：首先明确核心数量关系：使用天数=大米总质量÷每天使用量；接着分别计算原计划使用天数、节约后实际使用天数；最后用实际使用天数减去原计划使用天数，即可得到多用的天数。
【解析】
1. 计算原计划使用天数：
已知大米总质量为$a$ kg，原计划每天用$b$ kg，根据使用天数公式，原计划可用天数为$\frac{a}{b}$天。
2. 计算实际每天用米量：
实际每天节约12 kg，所以实际每天用米量为$(b-12)$ kg。
3. 计算节约后实际使用天数：
结合总质量和实际日均用量，可得实际可用天数为$\frac{a}{b-12}$天。
4. 计算多用的天数：
多用天数=实际使用天数-原计划使用天数，即$\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b}$。
【答案】
$(\frac{a}{b-12}-\frac{a}{b})$
【知识点】
1. 用字母表示数
2. 列代数式
3. 基本数量关系
【点评】
本题是代数式在生活场景中的基础应用，解题关键是理清总质量、日均用量、使用天数三者的关系，分别求出两种情况下的使用天数后作差即可，注意代数式的书写规范。
【难度系数】
0.8
15. 如图，若输出的值为1，那么输入x的值为
$\pm1$
。答案：15. $\pm1$
解析：
【分析】
解题时有两种思路：一是顺着运算流程图，先写出输出结果关于x的代数式，再根据输出值为1列方程求解；二是采用逆推法，从输出的结果1反向还原运算步骤，一步步反推得到x²的值，再求x。要注意平方等于1的数有1和-1两个，不要漏解。
【解析】
方法一：根据流程图的运算顺序，输出的结果为$\frac{3x^2 - 1}{2}$，由输出值为1可列方程：
$\frac{3x^2 - 1}{2}=1$
方程两边同时乘2，得：$3x^2 -1=2$
移项合并同类项，得：$3x^2=3$
两边同时除以3，得：$x^2=1$
因为$(\pm1)^2=1$，所以$x=\pm1$。
方法二（逆推法）：
从输出结果1反向推导：
除以2之前的数：$1×2=2$
减1之前的数：$2+1=3$
乘3之前的数：$3÷3=1$
即$x^2=1$，因此$x=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
列代数式、解方程、平方根计算
【点评】
本题结合运算流程图考查运算逻辑与方程求解能力，解题时需注意遵循运算顺序，求解平方方程时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
解题时有两种思路：一是顺着运算流程图，先写出输出结果关于x的代数式，再根据输出值为1列方程求解；二是采用逆推法，从输出的结果1反向还原运算步骤，一步步反推得到x²的值，再求x。要注意平方等于1的数有1和-1两个，不要漏解。
【解析】
方法一：根据流程图的运算顺序，输出的结果为$\frac{3x^2 - 1}{2}$，由输出值为1可列方程：
$\frac{3x^2 - 1}{2}=1$
方程两边同时乘2，得：$3x^2 -1=2$
移项合并同类项，得：$3x^2=3$
两边同时除以3，得：$x^2=1$
因为$(\pm1)^2=1$，所以$x=\pm1$。
方法二（逆推法）：
从输出结果1反向推导：
除以2之前的数：$1×2=2$
减1之前的数：$2+1=3$
乘3之前的数：$3÷3=1$
即$x^2=1$，因此$x=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
列代数式、解方程、平方根计算
【点评】
本题结合运算流程图考查运算逻辑与方程求解能力，解题时需注意遵循运算顺序，求解平方方程时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
16. 有一组等式：$1^2+2^2+2^2=3^2$，$2^2+3^2+6^2=7^2$，$3^2+4^2+12^2=13^2$，$4^2+5^2+20^2=21^2$，…，根据它们的规律，第10个等式为
$10^2+11^2+110^2=111^2$
。答案：16. $10^2+11^2+110^2=111^2$
解析：
【分析】
我们先给等式按顺序标注序号，第1个、第2个……第n个，分别观察等式中每个底数和序号n的对应关系：①等式左边第一个底数：第1个是1，第2个是2，第3个是3，可推出第n个的第一个底数就是n；②等式左边第二个底数：第1个是2=1+1，第2个是3=2+1，第3个是4=3+1，可推出第n个的第二个底数是n+1；③等式左边第三个底数：第1个是2=1×2，第2个是6=2×3，第3个是12=3×4，可推出第n个的第三个底数是n(n+1)；④等式右边的底数：第1个是3=2+1，第2个是7=6+1，第3个是13=12+1，可推出第n个右边的底数是n(n+1)+1。找到通用规律后把n=10代入即可得到第10个等式。
【解析】
解：将等式按从左到右的顺序记为第n个（n为正整数），观察归纳得第n个等式的结构为：
$\boldsymbol{n^2+(n+1)^2+[n(n+1)]^2=[n(n+1)+1]^2}$
当n=10时：
左边第一个底数为10，第二个底数为$10+1=11$，
第三个底数为$10×11=110$，右边的底数为$110+1=111$，
因此第10个等式为$10^2+11^2+110^2=111^2$。
【答案】
$10^2+11^2+110^2=111^2$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将等式各部分的数字与等式的序号建立对应关系，通过观察、归纳得出通用规律，再代入指定序号求解，侧重考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们先给等式按顺序标注序号，第1个、第2个……第n个，分别观察等式中每个底数和序号n的对应关系：①等式左边第一个底数：第1个是1，第2个是2，第3个是3，可推出第n个的第一个底数就是n；②等式左边第二个底数：第1个是2=1+1，第2个是3=2+1，第3个是4=3+1，可推出第n个的第二个底数是n+1；③等式左边第三个底数：第1个是2=1×2，第2个是6=2×3，第3个是12=3×4，可推出第n个的第三个底数是n(n+1)；④等式右边的底数：第1个是3=2+1，第2个是7=6+1，第3个是13=12+1，可推出第n个右边的底数是n(n+1)+1。找到通用规律后把n=10代入即可得到第10个等式。
【解析】
解：将等式按从左到右的顺序记为第n个（n为正整数），观察归纳得第n个等式的结构为：
$\boldsymbol{n^2+(n+1)^2+[n(n+1)]^2=[n(n+1)+1]^2}$
当n=10时：
左边第一个底数为10，第二个底数为$10+1=11$，
第三个底数为$10×11=110$，右边的底数为$110+1=111$，
因此第10个等式为$10^2+11^2+110^2=111^2$。
【答案】
$10^2+11^2+110^2=111^2$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将等式各部分的数字与等式的序号建立对应关系，通过观察、归纳得出通用规律，再代入指定序号求解，侧重考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 合并同类项：
(1) $-4x - 2y - x + 7y - 1$；
(2) $2a^2b - 4ab - 3 - 5a^2b - 6$；
(3) $(3mn - 5m^2) - (3m^2 - 5mn)$；
(4) $7x + 4(x^2 - 2) - 2(2x^2 - x + 3)$。
17. 合并同类项：
(1) $-4x - 2y - x + 7y - 1$；
(2) $2a^2b - 4ab - 3 - 5a^2b - 6$；
(3) $(3mn - 5m^2) - (3m^2 - 5mn)$；
(4) $7x + 4(x^2 - 2) - 2(2x^2 - x + 3)$。
答案：17. (1) $-5x+5y-1$ (2) $-3a^2b-4ab-9$ (3) $-8m^2+8mn$ (4) $9x-14$
解析：
【分析】
解决合并同类项类问题的思路如下：①若原式含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；②识别同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，所有常数项也互为同类项；③合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终整理成最简形式即可。
【解析】
(1) 先识别同类项再合并：
$\begin{aligned}原式&=(-4x -x)+(-2y +7y)-1\\&=-5x +5y -1\end{aligned}$
(2) 先识别同类项再合并：
$\begin{aligned}原式&=(2a^2b -5a^2b)-4ab +(-3 -6)\\&=-3a^2b -4ab -9\end{aligned}$
(3) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3mn -5m^2 -3m^2 +5mn\\&=(-5m^2 -3m^2)+(3mn +5mn)\\&=-8m^2 +8mn\end{aligned}$
(4) 先利用乘法分配律去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=7x +4x^2 -8 -4x^2 +2x -6\\&=(4x^2 -4x^2)+(7x +2x)+(-8 -6)\\&=9x -14\end{aligned}$
【答案】
(1) $-5x+5y-1$ (2) $-3a^2b-4ab-9$ (3) $-8m^2+8mn$ (4) $9x-14$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查去括号时的符号规则以及合并同类项的方法，解题时需注意不要漏项，系数计算要准确，去括号遇负号时要记得各项都变号。
【难度系数】
0.8
解决合并同类项类问题的思路如下：①若原式含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；②识别同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，所有常数项也互为同类项；③合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终整理成最简形式即可。
【解析】
(1) 先识别同类项再合并：
$\begin{aligned}原式&=(-4x -x)+(-2y +7y)-1\\&=-5x +5y -1\end{aligned}$
(2) 先识别同类项再合并：
$\begin{aligned}原式&=(2a^2b -5a^2b)-4ab +(-3 -6)\\&=-3a^2b -4ab -9\end{aligned}$
(3) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3mn -5m^2 -3m^2 +5mn\\&=(-5m^2 -3m^2)+(3mn +5mn)\\&=-8m^2 +8mn\end{aligned}$
(4) 先利用乘法分配律去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=7x +4x^2 -8 -4x^2 +2x -6\\&=(4x^2 -4x^2)+(7x +2x)+(-8 -6)\\&=9x -14\end{aligned}$
【答案】
(1) $-5x+5y-1$ (2) $-3a^2b-4ab-9$ (3) $-8m^2+8mn$ (4) $9x-14$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查去括号时的符号规则以及合并同类项的方法，解题时需注意不要漏项，系数计算要准确，去括号遇负号时要记得各项都变号。
【难度系数】
0.8
18. 先化简，再求值：$2x^2 + 3x + 5 + [4x^2 - (5x^2 - x + 1)]$，其中 $x = -\dfrac{1}{2}$。
答案：18. $x^2+4x+4$,代数式的值为$\frac{9}{4}$
解析：
【分析】本题是整式的化简求值题，解题分为三步：第一步去括号，按照先小括号后中括号的顺序去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要改变符号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步将x的取值代入最简整式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：先化简整式：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 + 3x + 5 + [4x^2 - 5x^2 + x - 1]\\&=2x^2 + 3x + 5 + 4x^2 - 5x^2 + x - 1\\&=(2x^2 + 4x^2 - 5x^2)+(3x + x)+(5 - 1)\\&=x^2 + 4x + 4\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2}) + 4\\&=\dfrac{1}{4} - 2 + 4\\&=\dfrac{9}{4}\end{aligned}$
【答案】化简结果为$x^2+4x+4$，代数式的值为$\dfrac{9}{4}$
【知识点】去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号的符号处理规则和合并同类项的运算能力，计算时严格遵循符号变化规则，即可避免出错。
【难度系数】0.8
【解析】
解：先化简整式：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 + 3x + 5 + [4x^2 - 5x^2 + x - 1]\\&=2x^2 + 3x + 5 + 4x^2 - 5x^2 + x - 1\\&=(2x^2 + 4x^2 - 5x^2)+(3x + x)+(5 - 1)\\&=x^2 + 4x + 4\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2}) + 4\\&=\dfrac{1}{4} - 2 + 4\\&=\dfrac{9}{4}\end{aligned}$
【答案】化简结果为$x^2+4x+4$，代数式的值为$\dfrac{9}{4}$
【知识点】去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号的符号处理规则和合并同类项的运算能力，计算时严格遵循符号变化规则，即可避免出错。
【难度系数】0.8