16. 已知关于$ x $的方程中，$ 12x - a = 0 $的解比$ a + 8x = 2 + 4x $的解大1，求$ a $的值.
答案：16. 由方程$12x-a=0$,得$x=\frac{a}{12}$,由方程$a+8x=2+4x$,得$x=\frac{2-a}{4}$,又因为关于x的方程中,$12x-a=0$的解比$a+8x=2+4x$的解大1,所以$\frac{a}{12}-\frac{2-a}{4}=1$. 所以$a=4.5$
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数a的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的数量关系，列出关于a的一元一次方程；第三步，解新得到的一元一次方程，求出a的值。
【解析】
1. 求解方程$12x - a = 0$：
移项得$12x = a$，系数化为1得$x = \frac{a}{12}$。
2. 求解方程$a + 8x = 2 + 4x$：
移项得$8x - 4x = 2 - a$，合并同类项得$4x = 2 - a$，系数化为1得$x = \frac{2 - a}{4}$。
3. 根据题意列方程求解a：
由“$12x - a = 0$的解比$a + 8x = 2 + 4x$的解大1”，可列方程：
$\frac{a}{12} - \frac{2 - a}{4} = 1$
两边同乘12去分母得：$a - 3(2 - a) = 12$
去括号得：$a - 6 + 3a = 12$
合并同类项得：$4a = 18$
系数化为1得：$a = 4.5$
【答案】
$a=4.5$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列方程求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题关键是正确用含a的代数式表示两个方程的解，再根据解的数量关系建立关于a的方程，是一元一次方程章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数a的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的数量关系，列出关于a的一元一次方程；第三步，解新得到的一元一次方程，求出a的值。
【解析】
1. 求解方程$12x - a = 0$：
移项得$12x = a$，系数化为1得$x = \frac{a}{12}$。
2. 求解方程$a + 8x = 2 + 4x$：
移项得$8x - 4x = 2 - a$，合并同类项得$4x = 2 - a$，系数化为1得$x = \frac{2 - a}{4}$。
3. 根据题意列方程求解a：
由“$12x - a = 0$的解比$a + 8x = 2 + 4x$的解大1”，可列方程：
$\frac{a}{12} - \frac{2 - a}{4} = 1$
两边同乘12去分母得：$a - 3(2 - a) = 12$
去括号得：$a - 6 + 3a = 12$
合并同类项得：$4a = 18$
系数化为1得：$a = 4.5$
【答案】
$a=4.5$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列方程求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题关键是正确用含a的代数式表示两个方程的解，再根据解的数量关系建立关于a的方程，是一元一次方程章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
17. 王叔叔想买一辆汽车，分期付款购买要加价7%，若一次性购买，则可享受“九五折”优惠。王叔叔算了算，发现分期付款要比一次性购买多付7200元。这辆汽车原价是多少元？
答案：17. 设这辆汽车的原价为x元,根据题意,得$(1+7\%)x-0.95x=7200$,解得$x=60000$. 答:这辆汽车的原价为60 000元
解析：
【分析】
解题时首先将汽车原价看作单位“1”，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：第一步设原价为x元，分别表示出两种付款方式的总金额：分期付款需要加价7%，对应金额是原价的(1+7%)即1.07x元；一次性付款享受九五折，对应金额是原价的95%即0.95x元。第二步根据“分期付款比一次性购买多付7200元”的等量关系，列出方程求解即可得到原价。
【解析】
解：设这辆汽车的原价为x元。
分期付款的总金额：$(1+7\%)x$ 元
一次性付款的总金额：$95\%x=0.95x$ 元
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(1+7\%)x - 0.95x &= 7200 \\1.07x - 0.95x &= 7200 \\0.12x &= 7200 \\x &= 7200 ÷ 0.12 \\x &= 60000\end{aligned}$
答：这辆汽车的原价为60000元。
【答案】
60000元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数实际应用
3. 折扣问题
【点评】
本题是生活中常见的销售类应用题，解题关键是找准单位“1”，理清不同付款方式对应的价格和原价的关系，找到等量关系建立方程即可求解，和生活场景结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解题时首先将汽车原价看作单位“1”，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：第一步设原价为x元，分别表示出两种付款方式的总金额：分期付款需要加价7%，对应金额是原价的(1+7%)即1.07x元；一次性付款享受九五折，对应金额是原价的95%即0.95x元。第二步根据“分期付款比一次性购买多付7200元”的等量关系，列出方程求解即可得到原价。
【解析】
解：设这辆汽车的原价为x元。
分期付款的总金额：$(1+7\%)x$ 元
一次性付款的总金额：$95\%x=0.95x$ 元
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(1+7\%)x - 0.95x &= 7200 \\1.07x - 0.95x &= 7200 \\0.12x &= 7200 \\x &= 7200 ÷ 0.12 \\x &= 60000\end{aligned}$
答：这辆汽车的原价为60000元。
【答案】
60000元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数实际应用
3. 折扣问题
【点评】
本题是生活中常见的销售类应用题，解题关键是找准单位“1”，理清不同付款方式对应的价格和原价的关系，找到等量关系建立方程即可求解，和生活场景结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
18. 某文艺团体为环保行动组织了一场募捐义演，共售出1000张票，其中成人票80元/人，学生票50元/人.
（1）已知1000张票全部售出后筹得了票款69 200元，则成人票与学生票各售出多少张？
（2）若票价和总票数不变，则所得的票款可能是72 900元吗？为什么？
（1）已知1000张票全部售出后筹得了票款69 200元，则成人票与学生票各售出多少张？
（2）若票价和总票数不变，则所得的票款可能是72 900元吗？为什么？
答案：18. (1) 设成人票有x张,则学生票有$(1000-x)$张,根据题意,得$80x+50(1000-x)=69200$,解得$x=640$. 故成人票640张,学生票360张 (2) 设成人票有x张,则学生票有$(1000-x)$张,根据题意,得$80x+50(1000-x)=72900$,解得$x=763.33333$. 所以不可能
解析：
【分析】
（1）本题是一元一次方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：成人总票款+学生总票款=总筹得票款，总票数=成人票数+学生票数。我们可以设成人票售出x张，那么学生票数量为总票数减成人票数，即$(1000-x)$张，结合两种票的单价代入等量关系列方程求解即可。
（2）和第（1）问思路一致，先按总票款72900元列方程，求解后需判断得到的成人票数是否为正整数，因为售出的票数必须是正整数才符合实际，若解不是正整数，说明不可能得到该票款。
【解析】
（1）解：设成人票售出x张，则学生票售出$(1000-x)$张。
根据总票款等量关系列方程：
$80x+50(1000-x)=69200$
展开得：$80x+50000-50x=69200$
合并同类项得：$30x=19200$
解得：$x=640$
学生票数量为$1000-640=360$（张）
（2）解：假设所得票款能为72900元，设成人票售出x张，则学生票售出$(1000-x)$张。
列方程得：$80x+50(1000-x)=72900$
展开得：$80x+50000-50x=72900$
合并同类项得：$30x=22900$
解得：$x\approx763.33$
由于售出的票数必须是正整数，该结果不符合实际情况，因此所得票款不可能是72900元。
【答案】
(1) 成人票640张，学生票360张；(2) 不可能
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次方程的解法、实际问题解的检验
【点评】
本题是一元一次方程在实际场景中的典型应用，解题关键是找准数量间的等量关系列方程，需要注意的是，求解后要验证方程的解是否符合现实意义，不能仅满足方程本身成立。
【难度系数】
0.7
（1）本题是一元一次方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：成人总票款+学生总票款=总筹得票款，总票数=成人票数+学生票数。我们可以设成人票售出x张，那么学生票数量为总票数减成人票数，即$(1000-x)$张，结合两种票的单价代入等量关系列方程求解即可。
（2）和第（1）问思路一致，先按总票款72900元列方程，求解后需判断得到的成人票数是否为正整数，因为售出的票数必须是正整数才符合实际，若解不是正整数，说明不可能得到该票款。
【解析】
（1）解：设成人票售出x张，则学生票售出$(1000-x)$张。
根据总票款等量关系列方程：
$80x+50(1000-x)=69200$
展开得：$80x+50000-50x=69200$
合并同类项得：$30x=19200$
解得：$x=640$
学生票数量为$1000-640=360$（张）
（2）解：假设所得票款能为72900元，设成人票售出x张，则学生票售出$(1000-x)$张。
列方程得：$80x+50(1000-x)=72900$
展开得：$80x+50000-50x=72900$
合并同类项得：$30x=22900$
解得：$x\approx763.33$
由于售出的票数必须是正整数，该结果不符合实际情况，因此所得票款不可能是72900元。
【答案】
(1) 成人票640张，学生票360张；(2) 不可能
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次方程的解法、实际问题解的检验
【点评】
本题是一元一次方程在实际场景中的典型应用，解题关键是找准数量间的等量关系列方程，需要注意的是，求解后要验证方程的解是否符合现实意义，不能仅满足方程本身成立。
【难度系数】
0.7
19. 现有一块质量为10 kg的甲、乙两种金属的合金. 用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份. 如果再用相同质量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份. 求每次所用的甲种金属的质量.
答案：19. 设每次所用的甲种金属有x kg,根据题意,得$\frac{2}{3+2}(10+x)=\frac{3}{7+3}(10+x+x)$,解得$x=5$,答:每次所用的甲种金属有5 kg
解析：
【分析】
解决本题的核心是找到不变量作为列方程的依据。本题中两次熔炼仅添加甲种金属，因此乙种金属的总质量始终不变。我们可以分别表示出两次熔炼后乙种金属在合金中的占比，结合对应合金的总质量写出乙质量的表达式，再根据乙质量相等列方程求解即可。
【解析】
解：设每次所用的甲种金属的质量为$x$ kg。
第一次加入$x$ kg甲种金属后，新合金总质量为$(10+x)$ kg，此时乙种金属占$\frac{2}{3+2}$，因此乙种金属质量为$\frac{2}{3+2}(10+x)$ kg；
第二次再加入$x$ kg甲种金属后，合金总质量为$(10+2x)$ kg，此时乙种金属占$\frac{3}{7+3}$，因此乙种金属质量为$\frac{3}{7+3}(10+2x)$ kg。
由乙种金属质量不变得方程：
$\frac{2}{3+2}(10+x)=\frac{3}{7+3}(10+2x)$
化简得：$\frac{2}{5}(10+x)=\frac{3}{10}(10+2x)$
两边同乘10消分母：$4(10+x)=3(10+2x)$
展开得：$40+4x=30+6x$
移项合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
每次所用的甲种金属的质量为5 kg
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 占比计算
【点评】
本题属于典型的合金配比类应用题，解题的突破口是挖掘出“乙金属质量始终不变”这一隐含条件，以此为等量关系列方程可大幅降低解题难度，能有效考查学生分析条件、找准等量关系的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是找到不变量作为列方程的依据。本题中两次熔炼仅添加甲种金属，因此乙种金属的总质量始终不变。我们可以分别表示出两次熔炼后乙种金属在合金中的占比，结合对应合金的总质量写出乙质量的表达式，再根据乙质量相等列方程求解即可。
【解析】
解：设每次所用的甲种金属的质量为$x$ kg。
第一次加入$x$ kg甲种金属后，新合金总质量为$(10+x)$ kg，此时乙种金属占$\frac{2}{3+2}$，因此乙种金属质量为$\frac{2}{3+2}(10+x)$ kg；
第二次再加入$x$ kg甲种金属后，合金总质量为$(10+2x)$ kg，此时乙种金属占$\frac{3}{7+3}$，因此乙种金属质量为$\frac{3}{7+3}(10+2x)$ kg。
由乙种金属质量不变得方程：
$\frac{2}{3+2}(10+x)=\frac{3}{7+3}(10+2x)$
化简得：$\frac{2}{5}(10+x)=\frac{3}{10}(10+2x)$
两边同乘10消分母：$4(10+x)=3(10+2x)$
展开得：$40+4x=30+6x$
移项合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
每次所用的甲种金属的质量为5 kg
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 占比计算
【点评】
本题属于典型的合金配比类应用题，解题的突破口是挖掘出“乙金属质量始终不变”这一隐含条件，以此为等量关系列方程可大幅降低解题难度，能有效考查学生分析条件、找准等量关系的能力。
【难度系数】
0.6