11. 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，第二次乙种商品是按原价打几折销售？
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，第二次乙种商品是按原价打几折销售？
答案：11. (1) 设第一次购进甲种商品 $x$ 件,则购进乙种商品 $(\frac{1}{2}x+15)$ 件,根据题意,得 $22x+30(\frac{1}{2}x+15)=6\ 000$,解得 $x=150$,则 $\frac{1}{2}x+15=75+15=90$,$(29-22)× 150+(40-30)× 90=1\ 950$(元). 答:该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得 1 950 元利润
(2) 设第二次乙种商品是按原价打 $y$ 折销售,根据题意,得 $(40× \frac{y}{10}-30)× 90× 3=1\ 950+180$,解得 $y=8.5$. 答:第二次乙商品是按原价打 8.5 折销售
(2) 设第二次乙种商品是按原价打 $y$ 折销售,根据题意,得 $(40× \frac{y}{10}-30)× 90× 3=1\ 950+180$,解得 $y=8.5$. 答:第二次乙商品是按原价打 8.5 折销售
解析：
【分析】
（1）要计算全部卖完的总利润，需先求出第一次购进甲、乙两种商品的件数。已知总进货款为6000元，且乙商品件数比甲的一半多15件，因此可设甲商品的件数为未知数，根据“甲的总进价+乙的总进价=6000元”列方程求解，得到件数后，再根据“总利润=（售价-进价）×销售数量”分别计算两种商品的利润，求和即可。
（2）要求第二次乙商品的折扣，设折扣为y折，则乙的实际售价为原价×$\frac{y}{10}$。已知第二次甲的件数和售价不变，乙的件数是第一次的3倍，且总利润比第一次多180元，根据“第二次总利润=第一次总利润+180元”列方程求解即可。
【解析】
（1）设第一次购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(\frac{1}{2}x+15)$件，根据总进货款列方程：
$22x+30(\frac{1}{2}x+15)=6000$
解得 $x=150$，
则乙商品的件数为$\frac{1}{2}×150+15=90$（件），
总利润为：$(29-22)×150+(40-30)×90=1950$（元）。
（2）设第二次乙种商品是按原价打$y$折销售，根据总利润的关系列方程：
$(29-22)×150 + (40×\frac{y}{10}-30)×90×3=1950+180$
解得 $y=8.5$。
【答案】
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元利润；
（2）第二次乙种商品是按原价打8.5折销售。
【知识点】
一元一次方程的应用；利润计算；打折销售问题
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握利润、进价、售价、折扣之间的计算公式，是方程应用的常考题型，理清数量关系后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）要计算全部卖完的总利润，需先求出第一次购进甲、乙两种商品的件数。已知总进货款为6000元，且乙商品件数比甲的一半多15件，因此可设甲商品的件数为未知数，根据“甲的总进价+乙的总进价=6000元”列方程求解，得到件数后，再根据“总利润=（售价-进价）×销售数量”分别计算两种商品的利润，求和即可。
（2）要求第二次乙商品的折扣，设折扣为y折，则乙的实际售价为原价×$\frac{y}{10}$。已知第二次甲的件数和售价不变，乙的件数是第一次的3倍，且总利润比第一次多180元，根据“第二次总利润=第一次总利润+180元”列方程求解即可。
【解析】
（1）设第一次购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(\frac{1}{2}x+15)$件，根据总进货款列方程：
$22x+30(\frac{1}{2}x+15)=6000$
解得 $x=150$，
则乙商品的件数为$\frac{1}{2}×150+15=90$（件），
总利润为：$(29-22)×150+(40-30)×90=1950$（元）。
（2）设第二次乙种商品是按原价打$y$折销售，根据总利润的关系列方程：
$(29-22)×150 + (40×\frac{y}{10}-30)×90×3=1950+180$
解得 $y=8.5$。
【答案】
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元利润；
（2）第二次乙种商品是按原价打8.5折销售。
【知识点】
一元一次方程的应用；利润计算；打折销售问题
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握利润、进价、售价、折扣之间的计算公式，是方程应用的常考题型，理清数量关系后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
12. 沪宁高速公路全长约270 km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行. 轿车先行54 km后，客车再出发. 轿车的速度为100 km/h，客车的速度为80 km/h. 客车出发后多久两车相遇？
答案：12. 设客车出发后 $x$ h 两车相遇. 根据题意,得 $54+100x+80x=270$. 解这个方程,得 $x=1.2$. 客车出发后 1.2 h 两车相遇
解析：
【分析】
这是一道行程类相向相遇问题，解题时首先明确总路程的构成：两车相遇时行驶的总路程等于沪宁高速公路全长270km，总路程包含3部分，分别是轿车先行的54km、客车出发后到相遇时轿车行驶的路程、客车出发后到相遇时客车行驶的路程。我们可设客车出发后x小时两车相遇，根据“路程=速度×时间”分别表示出两车同时行驶时段的路程，再结合总路程的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设客车出发后 $x$ h 两车相遇。
根据“轿车先行路程+客车出发后轿车行驶路程+客车行驶路程=总路程”的等量关系，列方程得：
$54+100x+80x=270$
合并同类项，得：$54+180x=270$
移项，得：$180x=270-54$
计算得：$180x=216$
系数化为1，得：$x=1.2$
【答案】
客车出发后1.2 h两车相遇
【知识点】
一元一次方程的应用；相遇问题；行程公式应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题核心是找准路程间的等量关系，注意区分轿车先行的路程和两车同时行驶时段的路程，避免漏算先行路程即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类相向相遇问题，解题时首先明确总路程的构成：两车相遇时行驶的总路程等于沪宁高速公路全长270km，总路程包含3部分，分别是轿车先行的54km、客车出发后到相遇时轿车行驶的路程、客车出发后到相遇时客车行驶的路程。我们可设客车出发后x小时两车相遇，根据“路程=速度×时间”分别表示出两车同时行驶时段的路程，再结合总路程的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设客车出发后 $x$ h 两车相遇。
根据“轿车先行路程+客车出发后轿车行驶路程+客车行驶路程=总路程”的等量关系，列方程得：
$54+100x+80x=270$
合并同类项，得：$54+180x=270$
移项，得：$180x=270-54$
计算得：$180x=216$
系数化为1，得：$x=1.2$
【答案】
客车出发后1.2 h两车相遇
【知识点】
一元一次方程的应用；相遇问题；行程公式应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题核心是找准路程间的等量关系，注意区分轿车先行的路程和两车同时行驶时段的路程，避免漏算先行路程即可正确求解。
【难度系数】
0.8
13. 甲、乙两地相距 900 km，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为 120 km/h；快车开出 30 min时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为 90 km/h. 设慢车行驶的时间为 x h，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：
（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为 315 km时，求快车行驶的路程.
（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为 315 km时，求快车行驶的路程.
答案：13. (1) 根据题意得,$120(x+0.5)+90x=900$,解得 $x=4$. 答:慢车行驶的时间为 4 h
(2) ① 两车相遇前相距 315 km,$120(x+0.5)+90x=900-315$,解得 $x=2.5$,此时快车行驶的路程:$120×(2.5+0.5)=360(\mathrm{km})$;② 两车相遇后相距 315 km,$120(x+0.5)+90x=900+315$,解得 $x=5.5$,此时快车行驶的路程:$120×(5.5+0.5)=720(\mathrm{km})$;③ 当快车到达乙地,快车行驶了 7.5 h,慢车行驶了 7 h,$7× 90=630＞315$,此种情况不存在. 答:当两车之间的距离为 315 km 时,快车所行的路程为 360 km 或 720 km
(2) ① 两车相遇前相距 315 km,$120(x+0.5)+90x=900-315$,解得 $x=2.5$,此时快车行驶的路程:$120×(2.5+0.5)=360(\mathrm{km})$;② 两车相遇后相距 315 km,$120(x+0.5)+90x=900+315$,解得 $x=5.5$,此时快车行驶的路程:$120×(5.5+0.5)=720(\mathrm{km})$;③ 当快车到达乙地,快车行驶了 7.5 h,慢车行驶了 7 h,$7× 90=630＞315$,此种情况不存在. 答:当两车之间的距离为 315 km 时,快车所行的路程为 360 km 或 720 km
解析：
【分析】
（1）本题为行程相遇问题，先统一单位，30min=0.5h，慢车行驶时间为x h时，快车实际行驶时间为(x+0.5)h。两车相遇时行驶的路程之和等于甲乙两地总距离900km，结合“路程=速度×时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）两车相距315km需分情况讨论：①相遇前相距315km，此时两车路程和=总路程-315km；②相遇后相距315km，此时两车路程和=总路程+315km；同时需验证快车到达乙地停止行驶后，是否存在两车距离为315km的情况，排除不符合条件的情况后，再计算对应快车行驶的路程。
【解析】
（1）30min=0.5h，由题意可知慢车行驶x h时，快车行驶时间为(x+0.5)h。
相遇时两车路程和为900km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=900$
展开得$120x+60+90x=900$
合并同类项得$210x=840$
解得$x=4$
（2）分情况讨论：
① 两车相遇前相距315km，此时两车路程和为$900-315=585$km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=585$
解得$x=2.5$
此时快车行驶路程为$120×(2.5+0.5)=360$（km）
② 两车相遇后相距315km，此时两车路程和为$900+315=1215$km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=1215$
解得$x=5.5$
此时快车行驶路程为$120×(5.5+0.5)=720$（km）
③ 验证快车到达乙地后的情况：快车走完全程耗时$900÷120=7.5$h，此时慢车行驶时间为$7.5-0.5=7$h，慢车行驶路程为$7×90=630$km，即两车距离为630km＞315km，该情况不存在，排除。
【答案】
（1）慢车行驶的时间为4 h；
（2）当两车之间的距离为315 km时，快车行驶的路程为360 km或720 km。
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题核心是把握路程、速度、时间的数量关系，明确两车行驶时间的差异，求解两车距离为定值的问题时要注意分相遇前、相遇后两种情况讨论，同时不能忽略快车到达终点后停止行驶的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）本题为行程相遇问题，先统一单位，30min=0.5h，慢车行驶时间为x h时，快车实际行驶时间为(x+0.5)h。两车相遇时行驶的路程之和等于甲乙两地总距离900km，结合“路程=速度×时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）两车相距315km需分情况讨论：①相遇前相距315km，此时两车路程和=总路程-315km；②相遇后相距315km，此时两车路程和=总路程+315km；同时需验证快车到达乙地停止行驶后，是否存在两车距离为315km的情况，排除不符合条件的情况后，再计算对应快车行驶的路程。
【解析】
（1）30min=0.5h，由题意可知慢车行驶x h时，快车行驶时间为(x+0.5)h。
相遇时两车路程和为900km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=900$
展开得$120x+60+90x=900$
合并同类项得$210x=840$
解得$x=4$
（2）分情况讨论：
① 两车相遇前相距315km，此时两车路程和为$900-315=585$km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=585$
解得$x=2.5$
此时快车行驶路程为$120×(2.5+0.5)=360$（km）
② 两车相遇后相距315km，此时两车路程和为$900+315=1215$km，列方程：
$120(x+0.5)+90x=1215$
解得$x=5.5$
此时快车行驶路程为$120×(5.5+0.5)=720$（km）
③ 验证快车到达乙地后的情况：快车走完全程耗时$900÷120=7.5$h，此时慢车行驶时间为$7.5-0.5=7$h，慢车行驶路程为$7×90=630$km，即两车距离为630km＞315km，该情况不存在，排除。
【答案】
（1）慢车行驶的时间为4 h；
（2）当两车之间的距离为315 km时，快车行驶的路程为360 km或720 km。
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题核心是把握路程、速度、时间的数量关系，明确两车行驶时间的差异，求解两车距离为定值的问题时要注意分相遇前、相遇后两种情况讨论，同时不能忽略快车到达终点后停止行驶的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6