3. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一. 如图，图(2)是从正面看到的一个“老碗”[图(1)]的形状示意图. $\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径OA为（
A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
A
）A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
答案：3. A.
解析：
【分析】
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：首先根据弧的中点与圆心连线的性质，结合垂径定理可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，最后在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
∵点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数据得：$r^2=(r-8)^2+12^2$，
展开得：$r^2=r^2-16r+64+144$，
移项、合并同类项得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
即$\odot O$的半径OA为13 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，是圆中求解线段长度的常见基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：首先根据弧的中点与圆心连线的性质，结合垂径定理可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，最后在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
∵点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数据得：$r^2=(r-8)^2+12^2$，
展开得：$r^2=r^2-16r+64+144$，
移项、合并同类项得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
即$\odot O$的半径OA为13 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，是圆中求解线段长度的常见基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在半径为10的圆中,点A到圆心O的距离为20,过点A作割线,交圆于B,C两点,点O到BC的距离为6,设AB为x,则$(x+8)^2=$
364
.答案：4. 364.
解析：
【分析】
要求$(x+8)^2$，首先需明确$x+8$对应的线段：首先过圆心O作弦BC的垂线，利用垂径定理可得到BC一半的长度，可发现$x+8$即为点A到垂足的线段长度，再在直角三角形中利用勾股定理计算该线段的平方即可。具体解题思路：①作辅助线$OD⊥ BC$于D，连接OC；②用勾股定理在$Rt△ ODC$中算出$CD=BD=8$，得到$AD=AB+BD=x+8$；③在$Rt△ AOD$中用勾股定理计算$AD^2$，即为所求结果。
【解析】
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OC$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$D$是$BC$的中点，即$BD=DC$。
2. 在$Rt△ ODC$中，半径$OC=10$，$OD=6$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，因此$BD=8$。
3. 已知$AB=x$，则线段$AD=AB+BD=x+8$。
4. 在$Rt△ AOD$中，$OA=20$，$OD=6$，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$AD^2 + OD^2 = OA^2$，因此$AD^2=OA^2-OD^2=20^2-6^2=400-36=364$。
因为$AD=x+8$，所以$(x+8)^2=AD^2=364$。
【答案】
364
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质与勾股定理的综合基础题，解题的核心是通过作垂直于弦的辅助线，将所求代数式转化为直角三角形的边长平方，既考察对垂径定理的理解，也能锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6
要求$(x+8)^2$，首先需明确$x+8$对应的线段：首先过圆心O作弦BC的垂线，利用垂径定理可得到BC一半的长度，可发现$x+8$即为点A到垂足的线段长度，再在直角三角形中利用勾股定理计算该线段的平方即可。具体解题思路：①作辅助线$OD⊥ BC$于D，连接OC；②用勾股定理在$Rt△ ODC$中算出$CD=BD=8$，得到$AD=AB+BD=x+8$；③在$Rt△ AOD$中用勾股定理计算$AD^2$，即为所求结果。
【解析】
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OC$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$D$是$BC$的中点，即$BD=DC$。
2. 在$Rt△ ODC$中，半径$OC=10$，$OD=6$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，因此$BD=8$。
3. 已知$AB=x$，则线段$AD=AB+BD=x+8$。
4. 在$Rt△ AOD$中，$OA=20$，$OD=6$，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$AD^2 + OD^2 = OA^2$，因此$AD^2=OA^2-OD^2=20^2-6^2=400-36=364$。
因为$AD=x+8$，所以$(x+8)^2=AD^2=364$。
【答案】
364
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质与勾股定理的综合基础题，解题的核心是通过作垂直于弦的辅助线，将所求代数式转化为直角三角形的边长平方，既考察对垂径定理的理解，也能锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6
5. 如图，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F. 求证：EF//BC，EF=$\frac{1}{2}$BC. 
答案：5. 提示:由$OE⊥AB$,得$AE=BE$.由$OF⊥AC$,得 $AF=CF$,点E,F为AB,AC的中点.
解析：
【分析】
要证明EF与BC的位置和数量关系，首先结合已知条件：OE垂直AB、OF垂直AC，且O是⊙O的圆心，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可推出E是AB的中点，F是AC的中点，即EF是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
∵ OE⊥AB，OE过圆心O，由垂径定理可得：
$AE=BE$，即E为AB的中点。
同理，
∵ OF⊥AC，OF过圆心O，由垂径定理可得：
$AF=CF$，即F为AC的中点。
∴ EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，得证。
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础证明类题目，解题的核心是先利用垂径定理得到两条弦的中点，判定出三角形的中位线，再结合中位线性质推导结论，侧重对基础定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
要证明EF与BC的位置和数量关系，首先结合已知条件：OE垂直AB、OF垂直AC，且O是⊙O的圆心，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可推出E是AB的中点，F是AC的中点，即EF是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
∵ OE⊥AB，OE过圆心O，由垂径定理可得：
$AE=BE$，即E为AB的中点。
同理，
∵ OF⊥AC，OF过圆心O，由垂径定理可得：
$AF=CF$，即F为AC的中点。
∴ EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，得证。
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础证明类题目，解题的核心是先利用垂径定理得到两条弦的中点，判定出三角形的中位线，再结合中位线性质推导结论，侧重对基础定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知$\odot O_1$与坐标轴交于$A(1,0)$，$B(5,0)$两点，点$O_1$的纵坐标为$\sqrt{5}$. 求$\odot O_1$的半径.
答案：6. 3.
解析：
【分析】
要求⊙O₁的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心O₁作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足是AB的中点，先求出AB的长度得到半弦长，再结合O₁的纵坐标得到弦心距的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出半径。
【解析】
过点$O_1$作$O_1C ⊥ AB$于点$C$。
1. 由垂径定理可知：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
已知$A(1,0)$，$B(5,0)$，则$AB = 5 - 1 = 4$，因此$AC = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
2. 因为点$O_1$的纵坐标为$\sqrt{5}$，所以弦心距$O_1C = \sqrt{5}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ O_1AC$中，根据勾股定理：$O_1A^2 = AC^2 + O_1C^2$。
代入数值计算：$O_1A^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$，所以$O_1A = 3$（半径为正数，舍去负解）。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标的应用
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是通过作弦心距构造直角三角形，将圆的半径、半弦长、弦心距的关系转化为直角三角形的边长关系求解，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
要求⊙O₁的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心O₁作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足是AB的中点，先求出AB的长度得到半弦长，再结合O₁的纵坐标得到弦心距的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出半径。
【解析】
过点$O_1$作$O_1C ⊥ AB$于点$C$。
1. 由垂径定理可知：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$。
已知$A(1,0)$，$B(5,0)$，则$AB = 5 - 1 = 4$，因此$AC = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
2. 因为点$O_1$的纵坐标为$\sqrt{5}$，所以弦心距$O_1C = \sqrt{5}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ O_1AC$中，根据勾股定理：$O_1A^2 = AC^2 + O_1C^2$。
代入数值计算：$O_1A^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$，所以$O_1A = 3$（半径为正数，舍去负解）。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标的应用
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是通过作弦心距构造直角三角形，将圆的半径、半弦长、弦心距的关系转化为直角三角形的边长关系求解，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$\odot O$的直径为10 cm，弦$AB=8$ cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围.
答案：7. OP的长度范围是$3\ \mathrm{cm}≤ OP≤ 5\ \mathrm{cm}$.
解析：
【分析】
要确定OP的长度范围，需分别求出OP的最小值和最大值：①根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可知当OP垂直于弦AB时，OP的长度最小；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，此时OP最长。接下来结合垂径定理和勾股定理计算最短长度，即可得出取值范围。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵$\odot O$的直径为10 cm，
∴$\odot O$的半径$OA=10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
∵$OC⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
∵P是弦AB上的动点，
∴当P与点C重合时，OP取最小值3 cm；当P与点A（或点B）重合时，OP取最大值5 cm。
因此OP的长度范围是$3\ \mathrm{cm}≤ OP≤ 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}≤ OP≤ 5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是明确弦上动点到圆心的最短距离为圆心到弦的垂线段长度，最长距离为圆的半径，结合相关定理计算即可，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定OP的长度范围，需分别求出OP的最小值和最大值：①根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可知当OP垂直于弦AB时，OP的长度最小；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，此时OP最长。接下来结合垂径定理和勾股定理计算最短长度，即可得出取值范围。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵$\odot O$的直径为10 cm，
∴$\odot O$的半径$OA=10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
∵$OC⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
∵P是弦AB上的动点，
∴当P与点C重合时，OP取最小值3 cm；当P与点A（或点B）重合时，OP取最大值5 cm。
因此OP的长度范围是$3\ \mathrm{cm}≤ OP≤ 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}≤ OP≤ 5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是明确弦上动点到圆心的最短距离为圆心到弦的垂线段长度，最长距离为圆的半径，结合相关定理计算即可，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7