问题 如图，直线AB交$\odot O$于A，B两点，点M在圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，$∠ AMB＝35°$.设$∠ APB＝x°$，当点P移动时，求x的取值范围，并说明理由.
名师指导
连接EB，再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角，可得x的取值范围.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
连接EB，再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角，可得x的取值范围.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：
连接EB。
∵ ∠AMB和∠AEB都是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，且$∠ AMB=35°$，
∴ $∠ AEB = ∠ AMB = 35°$。
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ APB + ∠ PBE$，
∴ $∠ APB ＜ ∠ AEB$，即$x ＜ 35$。
又∵ 点P在圆外，点M、P在AB的同侧，$∠ APB$为大于0的角，
∴ $0 ＜ x ＜ 35$。
即x的取值范围是$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 35}$。
连接EB。
∵ ∠AMB和∠AEB都是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，且$∠ AMB=35°$，
∴ $∠ AEB = ∠ AMB = 35°$。
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ APB + ∠ PBE$，
∴ $∠ APB ＜ ∠ AEB$，即$x ＜ 35$。
又∵ 点P在圆外，点M、P在AB的同侧，$∠ APB$为大于0的角，
∴ $0 ＜ x ＜ 35$。
即x的取值范围是$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 35}$。
解析：
【分析】
要确定∠APB的取值范围，可按如下思路推导：首先，已知弧AB所对的圆周角∠AMB=35°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可先找到圆上与∠AMB相等的圆周角∠AEB；其次，∠AEB是△PEB的外角，根据三角形外角的性质，外角大于任意一个不相邻的内角，即可得到∠APB和∠AEB的大小关系；最后结合点P在圆外、与M在AB同侧的条件，确定∠APB的取值下限，就能得到x的取值范围。
【解析】
连接EB。
∵ ∠AMB和∠AEB都是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，且$∠ AMB=35°$，
∴ $∠ AEB = ∠ AMB = 35°$。
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ APB + ∠ PBE$，
∴ $∠ APB ＜ ∠ AEB$，即$x ＜ 35$。
又
∵ 点P在圆外，点M、P在AB的同侧，$∠ APB$为大于0的角，
∴ $0 ＜ x ＜ 35$。
【答案】
$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 35}$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是利用同弧所对圆周角相等搭建已知角和未知角的关联桥梁，再结合三角形外角性质比较角的大小，能够很好地考查学生对基础几何定理的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定∠APB的取值范围，可按如下思路推导：首先，已知弧AB所对的圆周角∠AMB=35°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可先找到圆上与∠AMB相等的圆周角∠AEB；其次，∠AEB是△PEB的外角，根据三角形外角的性质，外角大于任意一个不相邻的内角，即可得到∠APB和∠AEB的大小关系；最后结合点P在圆外、与M在AB同侧的条件，确定∠APB的取值下限，就能得到x的取值范围。
【解析】
连接EB。
∵ ∠AMB和∠AEB都是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，且$∠ AMB=35°$，
∴ $∠ AEB = ∠ AMB = 35°$。
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ APB + ∠ PBE$，
∴ $∠ APB ＜ ∠ AEB$，即$x ＜ 35$。
又
∵ 点P在圆外，点M、P在AB的同侧，$∠ APB$为大于0的角，
∴ $0 ＜ x ＜ 35$。
【答案】
$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 35}$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是利用同弧所对圆周角相等搭建已知角和未知角的关联桥梁，再结合三角形外角性质比较角的大小，能够很好地考查学生对基础几何定理的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点A，B，C，P在$\odot O$上，$CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，垂足分别为D，E，$∠ DCE=40°$，则$∠ P$的度数为________°。
答案：1. 70.
解析：
【分析】
解题时首先观察已知条件，CD、CE分别垂直于OA、OB，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可先求出圆心角∠AOB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
在四边形CDOE中，内角和为360°，已知∠DCE=40°，
∴∠DOE=∠AOB=360°-∠CDO-∠CEO-∠DCE=360°-90°-90°-40°=140°，
∵∠P是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠P=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
70
【知识点】
四边形内角和定理、圆周角定理、垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查四边形内角和与圆周角定理的结合应用，解题的突破口是先求出对应弧的圆心角度数，再转化为圆周角即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，CD、CE分别垂直于OA、OB，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可先求出圆心角∠AOB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
在四边形CDOE中，内角和为360°，已知∠DCE=40°，
∴∠DOE=∠AOB=360°-∠CDO-∠CEO-∠DCE=360°-90°-90°-40°=140°，
∵∠P是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠P=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
70
【知识点】
四边形内角和定理、圆周角定理、垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查四边形内角和与圆周角定理的结合应用，解题的突破口是先求出对应弧的圆心角度数，再转化为圆周角即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点A,B,C,D,E都在$\odot O$上,$∠ BAC=35°$,$∠ CED=40°$,则$∠ BOD=$
150
°.答案：2. 150.
解析：
【分析】
要求圆心角∠BOD的度数，可利用圆周角定理分步求解：首先明确同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先找∠BAC对应的弧BC，求出弧BC对应的圆心角度数；再找∠CED对应的弧CD，求出弧CD对应的圆心角度数，最后将两个圆心角相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍。
1. ∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×35°=70°$；
2. ∠CED是弧CD所对的圆周角，因此弧CD对应的圆心角$∠ COD=2∠ CED=2×40°=80°$；
3. 由图可知$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，代入计算得$∠ BOD=70°+80°=150°$。
【答案】
150
【知识点】
圆周角定理；角的和差运算
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用类题目，解题关键是找准圆周角对应的弧，完成圆周角到圆心角的转化，再通过角的和差运算得到结果，需要熟练掌握圆周角和圆心角的对应转换关系。
【难度系数】
0.8
要求圆心角∠BOD的度数，可利用圆周角定理分步求解：首先明确同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先找∠BAC对应的弧BC，求出弧BC对应的圆心角度数；再找∠CED对应的弧CD，求出弧CD对应的圆心角度数，最后将两个圆心角相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍。
1. ∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×35°=70°$；
2. ∠CED是弧CD所对的圆周角，因此弧CD对应的圆心角$∠ COD=2∠ CED=2×40°=80°$；
3. 由图可知$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，代入计算得$∠ BOD=70°+80°=150°$。
【答案】
150
【知识点】
圆周角定理；角的和差运算
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用类题目，解题关键是找准圆周角对应的弧，完成圆周角到圆心角的转化，再通过角的和差运算得到结果，需要熟练掌握圆周角和圆心角的对应转换关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB，AC分别是$\odot O$的直径和弦，$OD⊥ AC$于点D，连接BD，BC，且$AB=10$，$AC=8$，则BD的长为
$2\sqrt{13}$
。答案：3. $2\sqrt{13}$.
解析：
【分析】
解题时先从已知条件出发：①AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ABC，结合已知AB、AC的长度，用勾股定理求出BC的长；②OD⊥AC，根据垂径定理可得D是AC的中点，求出CD的长度；③观察BD在Rt△BCD中，两条直角边BC、CD长度已知，再次用勾股定理即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵OD⊥AC，且OD过圆心O，
∴由垂径定理得：$CD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=6，CD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是利用圆的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握直径、垂径定理的相关性质，快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：①AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ABC，结合已知AB、AC的长度，用勾股定理求出BC的长；②OD⊥AC，根据垂径定理可得D是AC的中点，求出CD的长度；③观察BD在Rt△BCD中，两条直角边BC、CD长度已知，再次用勾股定理即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵OD⊥AC，且OD过圆心O，
∴由垂径定理得：$CD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=6，CD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是利用圆的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握直径、垂径定理的相关性质，快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A，B，C，D都在$\odot O$上，AC，BD相交于点E，则$∠ ABD=∠$
ACD
。答案：4. ACD.
解析：
【分析】
要找出与∠ABD相等的角，可利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。首先确定∠ABD所对的弧，观察图形可知∠ABD是圆周角，所对的弧为弧AD，再找⊙O中同对弧AD的其他圆周角，即可得到相等的角。
【解析】
∵∠ABD是⊙O的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，
∠ACD也是⊙O的圆周角，所对的弧同样为$\overset{\frown}{AD}$，
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠ABD=∠ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到已知角所对的弧，再结合同弧所对圆周角相等的性质进行判断，熟练掌握圆周角的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要找出与∠ABD相等的角，可利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。首先确定∠ABD所对的弧，观察图形可知∠ABD是圆周角，所对的弧为弧AD，再找⊙O中同对弧AD的其他圆周角，即可得到相等的角。
【解析】
∵∠ABD是⊙O的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，
∠ACD也是⊙O的圆周角，所对的弧同样为$\overset{\frown}{AD}$，
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠ABD=∠ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到已知角所对的弧，再结合同弧所对圆周角相等的性质进行判断，熟练掌握圆周角的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 如图，在$\odot O$中，弦AB，DC的延长线相交于点P，如果$∠ AOD=120°$，$∠ BDC=25°$，那么$∠ P=$
35
°.答案：5. 35.
解析：
【分析】
解题时首先结合圆周角定理，求出弧AD所对的圆周角∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质推导∠P与已知角的关系，代入数值计算即可。第一步：明确∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理可直接求出∠ABD的度数；第二步：观察到∠ABD是△BDP的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导出∠P的计算式，代入已知角度得到结果。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，且∠AOD=120°
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
又
∵ ∠ABD是△BDP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ $∠ ABD = ∠ P + ∠ BDC$
已知$∠ BDC=25°$，代入得：
$∠ P = ∠ ABD - ∠ BDC = 60° - 25° = 35°$
【答案】
35
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是熟练运用圆周角定理找到圆心角和圆周角的对应关系，再结合三角形外角性质求解，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.75
解题时首先结合圆周角定理，求出弧AD所对的圆周角∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质推导∠P与已知角的关系，代入数值计算即可。第一步：明确∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理可直接求出∠ABD的度数；第二步：观察到∠ABD是△BDP的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导出∠P的计算式，代入已知角度得到结果。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，且∠AOD=120°
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
又
∵ ∠ABD是△BDP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ $∠ ABD = ∠ P + ∠ BDC$
已知$∠ BDC=25°$，代入得：
$∠ P = ∠ ABD - ∠ BDC = 60° - 25° = 35°$
【答案】
35
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是熟练运用圆周角定理找到圆心角和圆周角的对应关系，再结合三角形外角性质求解，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.75