【分析】
要解决这道题，首先要明确扇形围成圆锥时的核心等量关系：扇形的弧长恰好等于围成的圆锥底面圆的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
首先根据弧长公式计算扇形的弧长：
弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $，其中圆心角$ n=120° $，扇形半径$ R=30 $，代入得：
$ l = \frac{120×π×30}{180} = 20π $
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为$ r $，圆的周长公式为$ C=2π r $，则：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，圆周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥相关的基础应用题型，解题核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一等量关系，答题时注意区分扇形半径和圆锥底面半径，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长与圆锥底面圆的周长相等。首先根据底面圆直径求出底面周长，即得到扇形的弧长；再结合已知的扇形圆心角，代入弧长公式列方程即可求解扇形半径。
【解析】
设这块扇形铁皮的半径为$ R $ cm。
1. 计算圆锥底面圆的周长：已知底面圆直径为60 cm，所以底面周长$ C = π d = 60π $ cm，即扇形的弧长$ l = 60π $ cm。
2. 代入弧长公式列方程：扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为扇形圆心角度数），已知圆心角$ n=270° $，代入得：
$ 60π = \frac{270×π× R}{180} $
3. 解方程：两边同时约去$ π $，化简得$ 60 = \frac{3R}{2} $，解得$ R=40 $。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧长公式 2. 圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础应用题型，重点考查两者的对应等量关系，只要熟记相关公式，理清逻辑关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：①圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长；②圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径。我们可以先计算出圆锥底面周长，再结合弧长公式列方程，即可求出扇形圆心角的度数。
【解析】
首先计算圆锥底面周长：
底面周长 $ C = 2π r = 2π × 2 = 4π \, \mathrm{cm} $
设这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为 $ n° $，已知母线长即扇形半径 $ R = 6\,\mathrm{cm} $，根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$ 4π = \frac{nπ × 6}{180} $
两边同时约去 $ π $，整理得：
$ 4 = \frac{6n}{180} $
解得 $ n = 120 $
【答案】
120
【知识点】
圆锥侧面展开特征、弧长公式应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，只要明确圆锥和展开扇形各量的对应关系，熟记弧长公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.75

【分析】
要解决圆锥侧面上两点的最短路径问题，需利用“两点之间线段最短”的原理，先把圆锥侧面展开为平面图形，再计算对应线段的长度。首先根据正视图为正三角形，得出圆锥母线长和底面直径，再通过弧长公式求出侧面展开图的圆心角，确定展开图中B、P两点的位置关系，最后用勾股定理即可算出最短路程。
【解析】
解：
∵圆锥形粮堆的正视图是边长为6 m的正△ABC，
∴圆锥母线长$ AB=AC=6\ \mathrm{m} $，底面圆的直径$ BC=6\ \mathrm{m} $，
∴底面圆的周长为$ C=π d=6π\ \mathrm{m} $。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$ n° $，展开后扇形的半径等于母线长6 m，
根据扇形弧长等于底面圆周长，列方程：
$ \frac{nπ × 6}{180}=6π $，
解得$ n=180 $，即侧面展开图是圆心角为180°的半圆。
∵底面中弧BC是底面圆周长的一半，
∴展开图中弧BC对应的圆心角为$ \frac{180°}{2}=90° $，即展开图中$ ∠ BAP=90° $。
∵P是AC的中点，
∴$ AP=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{m} $，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
$ BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 3\sqrt{5}\ \mathrm{m} $
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题将立体图形的最短路径问题转化为平面图形的线段计算问题，解题核心是找准圆锥和其侧面展开图各元素的对应关系，熟练运用弧长公式和勾股定理求解。
【难度系数】
0.65

【分析】
(1) 求阴影部分面积首先需要确定阴影对应的扇形圆心角度数和圆的半径：先利用圆周角定理，由∠A的度数求出圆心角∠BOC的度数，再结合垂径定理得到∠BOD的度数；再通过直角三角形的性质和勾股定理求出圆的半径，最后代入扇形面积公式计算即可。
(2) 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，先求出弧BD的长度，再根据周长公式列方程求解底面半径即可。
【解析】
(1) $\because$ AC是$\odot O$的直径，$AC\bot BD$，
$\therefore$ 由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore$ $∠ BOC=2∠ A=2×30°=60°$，则$∠ BOD=2∠ BOC=120°$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ A=30°$，$AB=4\sqrt{3}$，
$\therefore$ $BF=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$Rt△ BOF$中，$∠ BOF=60°$，则$∠ OBF=30°$，
$\therefore$ $OF=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}r$，
由勾股定理得$OB^2=OF^2+BF^2$，即$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(2\sqrt{3})^2$，
解得$r=4$（半径为正数）。
阴影部分面积等于扇形$OBD$的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
(2) 弧$BD$的长度为：$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120π×4}{180}=\frac{8}{3}π$。
设圆锥底面圆的半径为$R$，
$\because$ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，
$\therefore$ $2π R=\frac{8}{3}π$，
解得$R=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{16}{3}π$；(2) $\dfrac{4}{3}$
【知识点】
垂径定理；扇形弧长与面积计算；圆锥的性质
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质和扇形、圆锥的相关计算，解题关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理，以及圆锥展开图和底面圆的等量关系，属于中档常考题。
【难度系数】
0.65