1. 设$a,b$是方程$x^2 + x - 100 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值是（
A.298
B.299
C.$-1$
D.$-2$
B
）A.298
B.299
C.$-1$
D.$-2$
答案：1. B
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：①利用方程根的定义降次：因为a是方程的根，将x=a代入方程，可得到a²+a的取值，实现二次项降次；②利用韦达定理求两根和：a、b是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可直接求出a+b的值；③整体代入求值：将所求代数式a²+2a+b拆分为(a²+a)+(a+b)的形式，代入前两步得到的数值即可算出结果，无需计算a、b的具体值，简化运算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 300 = 0$的实数根，
∴把x=a代入方程得：$a^2 + a - 300 = 0$，即$a^2 + a = 300$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 300 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2+a=300$、$a+b=-1$代入得：
原式$= 300 + (-1) = 299$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式整体变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常考题型，核心考察整体代入思想，避免了求解方程根的复杂运算，掌握根的定义和韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①利用方程根的定义降次：因为a是方程的根，将x=a代入方程，可得到a²+a的取值，实现二次项降次；②利用韦达定理求两根和：a、b是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可直接求出a+b的值；③整体代入求值：将所求代数式a²+2a+b拆分为(a²+a)+(a+b)的形式，代入前两步得到的数值即可算出结果，无需计算a、b的具体值，简化运算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 300 = 0$的实数根，
∴把x=a代入方程得：$a^2 + a - 300 = 0$，即$a^2 + a = 300$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 300 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2+a=300$、$a+b=-1$代入得：
原式$= 300 + (-1) = 299$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式整体变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常考题型，核心考察整体代入思想，避免了求解方程根的复杂运算，掌握根的定义和韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根为$x_1, x_2$，则$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2$的值是（
A.10
B.9
C.8
D.7
D
）A.10
B.9
C.8
D.7
答案：2. D
解析：
【分析】
观察所求代数式含$x_1$的二次项，解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程，把$x_1^2$转化为含$x_1$的一次式，实现降次；第二步，把降次后的式子代入所求代数式，合并整理后会出现$x_1+x_2$、$x_1x_2$的结构；第三步，利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，整体代入整理后的式子即可算出结果，该方法避免了直接求根的繁琐计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根
∴ 代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2&= 3x_1 -1 + 3x_2 + x_1x_2 - 2\\&=3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 3\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，$a=1,b=-3,c=1$：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 1$
将上述值代入整理后的式子：
$3×3 + 1 - 3 = 9 + 1 - 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系应用的典型题型，核心是通过根的定义对高次项降次，将待求式转化为可整体代入根与系数关系的形式，有效简化计算过程，考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式含$x_1$的二次项，解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程，把$x_1^2$转化为含$x_1$的一次式，实现降次；第二步，把降次后的式子代入所求代数式，合并整理后会出现$x_1+x_2$、$x_1x_2$的结构；第三步，利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，整体代入整理后的式子即可算出结果，该方法避免了直接求根的繁琐计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根
∴ 代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2&= 3x_1 -1 + 3x_2 + x_1x_2 - 2\\&=3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 3\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，$a=1,b=-3,c=1$：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 1$
将上述值代入整理后的式子：
$3×3 + 1 - 3 = 9 + 1 - 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系应用的典型题型，核心是通过根的定义对高次项降次，将待求式转化为可整体代入根与系数关系的形式，有效简化计算过程，考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 设$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的两个根，则$x_1 + x_2 =$
4
，$x_1x_2 =$2
，$x_1^2 + x_2^2 =$12
。答案：3. 4;2;12.
解析：
【分析】
看到题目要求一元二次方程两根的和、积以及平方和，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入对应公式可直接求出两根之和与两根之积；对于两根平方和，需将其转化为用两根和、两根积表示的形式，联想完全平方公式的变形即可得到对应表达式，代入已求出的和与积计算就能得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - 4x + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$。
根据根与系数的关系：若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数计算得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$。
再根据完全平方公式变形求$x_1^2+x_2^2$：
由$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将$x_1+x_2=4$、$x_1x_2=2$代入得：
$x_1^2+x_2^2=4^2-2×2=16-4=12$。
【答案】
4；2；12
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础题型，既考查了韦达定理的直接应用，也考查了代数式的恒等变形能力，熟练掌握常见的代数式变形技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
看到题目要求一元二次方程两根的和、积以及平方和，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入对应公式可直接求出两根之和与两根之积；对于两根平方和，需将其转化为用两根和、两根积表示的形式，联想完全平方公式的变形即可得到对应表达式，代入已求出的和与积计算就能得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - 4x + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$。
根据根与系数的关系：若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数计算得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$。
再根据完全平方公式变形求$x_1^2+x_2^2$：
由$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将$x_1+x_2=4$、$x_1x_2=2$代入得：
$x_1^2+x_2^2=4^2-2×2=16-4=12$。
【答案】
4；2；12
【知识点】
根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础题型，既考查了韦达定理的直接应用，也考查了代数式的恒等变形能力，熟练掌握常见的代数式变形技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx + 3 = 0$的两实数根之和为5，则$m=$
10
答案：4. 10.
解析：
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确对于有两个实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，接着找到题目方程中对应$a$、$b$的取值，代入两根和的公式列方程即可求出$m$的值，最后验证所求$m$是否满足方程有两个实根的条件即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^2 - mx + 3 = 0$中，$a=2$，$b=-m$，已知两实数根之和为5，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}=5$
解得$m=10$。
验证：当$m=10$时，判别式$\Delta = b^2-4ac=(-10)^2-4×2×3=100-24=76＞0$，方程确实有两个实数根，符合题意。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是准确记忆韦达定理的公式，尤其要注意方程各项系数的符号，避免代入时符号出错，同时要养成验证所求参数是否满足方程有实根的习惯，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确对于有两个实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，接着找到题目方程中对应$a$、$b$的取值，代入两根和的公式列方程即可求出$m$的值，最后验证所求$m$是否满足方程有两个实根的条件即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^2 - mx + 3 = 0$中，$a=2$，$b=-m$，已知两实数根之和为5，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}=5$
解得$m=10$。
验证：当$m=10$时，判别式$\Delta = b^2-4ac=(-10)^2-4×2×3=100-24=76＞0$，方程确实有两个实数根，符合题意。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是准确记忆韦达定理的公式，尤其要注意方程各项系数的符号，避免代入时符号出错，同时要养成验证所求参数是否满足方程有实根的习惯，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
5. 设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ 3x^2 - 19x + m = 0 $ 的两个根，且 $ x_1 = \frac{m}{3} $，则 $ m $ 的值为
16
。答案：5. 16.
解析：
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根的定义，将已知根$x_1=\frac{m}{3}$直接代入原方程，得到关于$m$的方程后求解；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合两根之和、两根之积的公式联立计算。两种方法都符合学段知识要求，其中韦达定理求解更简便。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵$x_1$是方程$3x^2 - 19x + m = 0$的根，将$x_1=\frac{m}{3}$代入方程得：
$3×(\frac{m}{3})^2 - 19×\frac{m}{3} + m = 0$
化简：
$\frac{m^2}{3} - \frac{19m}{3} + \frac{3m}{3} = 0$
两边同乘3消去分母：
$m^2 - 16m = 0$
因式分解得$m(m-16)=0$，解得$m=0$或$m=16$，结合题意取合理值$m=16$。
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=3,b=-19,c=m$，因此：
$x_1+x_2=\frac{19}{3}$，$x_1x_2=\frac{m}{3}$
已知$x_1=\frac{m}{3}$，代入$x_1x_2=\frac{m}{3}$得：
$\frac{m}{3}· x_2=\frac{m}{3}$
当$m≠0$时，两边同时除以$\frac{m}{3}$得$x_2=1$，将$x_2=1$代入$x_1+x_2=\frac{19}{3}$得$x_1=\frac{19}{3}-1=\frac{16}{3}$，又$x_1=\frac{m}{3}$，因此$\frac{m}{3}=\frac{16}{3}$，解得$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的性质的理解，两种解题方法都属于常用解法，解题时注意对解的合理性进行判断即可。
【难度系数】
0.7
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根的定义，将已知根$x_1=\frac{m}{3}$直接代入原方程，得到关于$m$的方程后求解；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合两根之和、两根之积的公式联立计算。两种方法都符合学段知识要求，其中韦达定理求解更简便。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵$x_1$是方程$3x^2 - 19x + m = 0$的根，将$x_1=\frac{m}{3}$代入方程得：
$3×(\frac{m}{3})^2 - 19×\frac{m}{3} + m = 0$
化简：
$\frac{m^2}{3} - \frac{19m}{3} + \frac{3m}{3} = 0$
两边同乘3消去分母：
$m^2 - 16m = 0$
因式分解得$m(m-16)=0$，解得$m=0$或$m=16$，结合题意取合理值$m=16$。
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=3,b=-19,c=m$，因此：
$x_1+x_2=\frac{19}{3}$，$x_1x_2=\frac{m}{3}$
已知$x_1=\frac{m}{3}$，代入$x_1x_2=\frac{m}{3}$得：
$\frac{m}{3}· x_2=\frac{m}{3}$
当$m≠0$时，两边同时除以$\frac{m}{3}$得$x_2=1$，将$x_2=1$代入$x_1+x_2=\frac{19}{3}$得$x_1=\frac{19}{3}-1=\frac{16}{3}$，又$x_1=\frac{m}{3}$，因此$\frac{m}{3}=\frac{16}{3}$，解得$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的性质的理解，两种解题方法都属于常用解法，解题时注意对解的合理性进行判断即可。
【难度系数】
0.7
6. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+k-1=0$的两个实数根，且$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=13$，则$k$的值为
-2
。答案：6. -2.
解析：
【分析】
解题首先要回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及根的判别式的要求。第一步，先根据给定的一元二次方程，写出两根之和、两根之积关于参数k的表达式；第二步，利用完全平方公式将已知条件$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含有两根之和、两根之积的形式；第三步，将韦达定理得到的式子代入变形后的等式，求解k的值；第四步，根据方程有两个实数根的条件（判别式Δ≥0），检验求得的k是否符合要求，最终确定k的取值。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x+k-1=0$的两个实数根
∴首先满足根的判别式要求：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(k-1) = 8 - 4k ≥ 0$，解得$k≤2$
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k-1$
对所求代数式变形：
$x_1^2+x_2^2-x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=k-1$代入已知等式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=13$得：
$(-2)^2 - 3(k-1) = 13$
计算得：$4 - 3k + 3 = 13$
即：$7 - 3k = 13$
移项求解得：$-3k = 6$，$k = -2$
检验：$k=-2$满足$k≤2$，符合要求。
【答案】
-2
【知识点】
韦达定理；完全平方公式变形；根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是将含两根平方的代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，同时要注意结合方程有实根的条件对参数结果进行检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
解题首先要回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及根的判别式的要求。第一步，先根据给定的一元二次方程，写出两根之和、两根之积关于参数k的表达式；第二步，利用完全平方公式将已知条件$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含有两根之和、两根之积的形式；第三步，将韦达定理得到的式子代入变形后的等式，求解k的值；第四步，根据方程有两个实数根的条件（判别式Δ≥0），检验求得的k是否符合要求，最终确定k的取值。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x+k-1=0$的两个实数根
∴首先满足根的判别式要求：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(k-1) = 8 - 4k ≥ 0$，解得$k≤2$
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k-1$
对所求代数式变形：
$x_1^2+x_2^2-x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=k-1$代入已知等式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=13$得：
$(-2)^2 - 3(k-1) = 13$
计算得：$4 - 3k + 3 = 13$
即：$7 - 3k = 13$
移项求解得：$-3k = 6$，$k = -2$
检验：$k=-2$满足$k≤2$，符合要求。
【答案】
-2
【知识点】
韦达定理；完全平方公式变形；根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是将含两根平方的代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，同时要注意结合方程有实根的条件对参数结果进行检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
7. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有实数根.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若两根为$x_1, x_2$且$x_1^2 + x_2^2 = 7$，求$m$的值.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若两根为$x_1, x_2$且$x_1^2 + x_2^2 = 7$，求$m$的值.
答案：7. (1) $m≤\frac{1}{4}$；(2) $m=-1$.
解析：
【分析】
（1）题目明确给出是有实数根的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，只需代入对应系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围；
（2）已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积，代入变形后的等式得到关于m的方程，求解后结合第一问得到的m取值范围进行取舍，即可得到符合要求的m值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=2m-1$，$c=m^2$
代入得：$\Delta = (2m-1)^2 - 4 × 1 × m^2 ≥ 0$
展开计算：$4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 ≥ 0$
化简得：$-4m + 1 ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{1}{4}$
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m - 1) = 1 - 2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2$
由完全平方公式变形可得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
已知$x_1^2 + x_2^2 =7$，代入得：
$(1 - 2m)^2 - 2m^2 =7$
展开左边：$1 - 4m + 4m^2 - 2m^2 = 7$
整理得：$2m^2 - 4m - 6 = 0$
两边同时除以2化简：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$
解得：$m_1 = 3$，$m_2 = -1$
由（1）知$m ≤ \frac{1}{4}$，故$m=3$不符合取值范围，舍去
∴ $m = -1$
【答案】
(1) $m ≤ \frac{1}{4}$；(2) $m = -1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，解题的易错点在于求解第二问时，容易忽略第一问中m的取值范围，未对所求的m值进行取舍导致出错。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确给出是有实数根的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，只需代入对应系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围；
（2）已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积，代入变形后的等式得到关于m的方程，求解后结合第一问得到的m取值范围进行取舍，即可得到符合要求的m值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=2m-1$，$c=m^2$
代入得：$\Delta = (2m-1)^2 - 4 × 1 × m^2 ≥ 0$
展开计算：$4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 ≥ 0$
化简得：$-4m + 1 ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{1}{4}$
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m - 1) = 1 - 2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2$
由完全平方公式变形可得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
已知$x_1^2 + x_2^2 =7$，代入得：
$(1 - 2m)^2 - 2m^2 =7$
展开左边：$1 - 4m + 4m^2 - 2m^2 = 7$
整理得：$2m^2 - 4m - 6 = 0$
两边同时除以2化简：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$
解得：$m_1 = 3$，$m_2 = -1$
由（1）知$m ≤ \frac{1}{4}$，故$m=3$不符合取值范围，舍去
∴ $m = -1$
【答案】
(1) $m ≤ \frac{1}{4}$；(2) $m = -1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，解题的易错点在于求解第二问时，容易忽略第一问中m的取值范围，未对所求的m值进行取舍导致出错。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 = 2(1 - m)x - m^2 $ 的两实数根为 $ x_1, x_2 $。
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）设 $ y = x_1x_2 + x_1 + x_2 $，当 $ y $ 取最小值时，求相应 $ m $ 的值，并求出最小值。
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）设 $ y = x_1x_2 + x_1 + x_2 $，当 $ y $ 取最小值时，求相应 $ m $ 的值，并求出最小值。
答案：8. (1) 将原方程整理为$x^2+2(m-1)x+m^2=0$. $\because$ 原方程有两个实数根，$\therefore \Delta=[2(m-1)]^2-4m^2=-8m+4≥0$,得$m≤\frac{1}{2}$.
(2) 当$m=1$时，$y$取最小值1.
(2) 当$m=1$时，$y$取最小值1.
解析：
【分析】
（1）求参数m的取值范围时，先把一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，已知方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$列不等式，解不等式就能得到m的取值范围。
（2）求y的最小值时，先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积的表达式，将y转化为关于m的函数，再根据函数性质求最小值和对应的m值即可。
【解析】
（1）将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - 2(1-m)x + m^2 = 0$，即$x^2 + 2(m-1)x + m^2 = 0$
$\because$ 原方程有两个实数根，$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$
代入$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2$得：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4×1× m^2$
$=4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2$
$=-8m + 4$
令$-8m + 4 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{2}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(1 - m)$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2$
代入$y = x_1x_2 + x_1 + x_2$得：
$y = m^2 + 2(1 - m) = m^2 - 2m + 2$
配方得$y = (m - 1)^2 + 1$，该二次函数开口向上，顶点处取得最小值，因此当$m=1$时，y取最小值1。
【答案】
（1）$m ≤ \frac{1}{2}$；（2）当$m=1$时，y的最小值为1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质与二次函数最值的求解，需要熟练掌握根的判别式、韦达定理的应用，二次函数求最值可通过配方快速得到结果。
【难度系数】
0.65
（1）求参数m的取值范围时，先把一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，已知方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$列不等式，解不等式就能得到m的取值范围。
（2）求y的最小值时，先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积的表达式，将y转化为关于m的函数，再根据函数性质求最小值和对应的m值即可。
【解析】
（1）将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - 2(1-m)x + m^2 = 0$，即$x^2 + 2(m-1)x + m^2 = 0$
$\because$ 原方程有两个实数根，$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$
代入$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2$得：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4×1× m^2$
$=4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2$
$=-8m + 4$
令$-8m + 4 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{2}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(1 - m)$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2$
代入$y = x_1x_2 + x_1 + x_2$得：
$y = m^2 + 2(1 - m) = m^2 - 2m + 2$
配方得$y = (m - 1)^2 + 1$，该二次函数开口向上，顶点处取得最小值，因此当$m=1$时，y取最小值1。
【答案】
（1）$m ≤ \frac{1}{2}$；（2）当$m=1$时，y的最小值为1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质与二次函数最值的求解，需要熟练掌握根的判别式、韦达定理的应用，二次函数求最值可通过配方快速得到结果。
【难度系数】
0.65
已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$的两个实数根.
(1) 若$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28$，求$m$的值；
(2) 已知等腰$△ ABC$的一边长为7，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
(1) 若$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28$，求$m$的值；
(2) 已知等腰$△ ABC$的一边长为7，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
答案：(1) $m=6$；(2) 周长为17.
解析：
【分析】
（1）首先明确一元二次方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，先求出$m$的取值范围；再利用韦达定理写出两根之和与两根之积，将已知等式$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28$展开后代入韦达定理的表达式求解$m$，最后结合$m$的取值范围舍去不符合的解。
（2）已知等腰三角形一边长为7，分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求$m$，再解出另一个根，检验三边是否满足三角形三边关系，计算符合条件的周长；②若7为底边长，则方程两根相等即$\Delta=0$，求出$m$后解方程得到两根，再检验三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，最终得到周长。
【解析】
（1）
∵ 方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 8m -16 ≥ 0$，解得$m ≥ 2$
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = 2(m+1)$，$x_1x_2 = m^2 + 5$
∵ $(x_1 -1)(x_2 -1) = 28$
展开得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 28$
代入韦达定理表达式：
$m^2 +5 - 2(m+1) + 1 = 28$
化简得：$m^2 - 2m -24 = 0$
因式分解得：$(m-6)(m+4)=0$
解得$m=6$或$m=-4$
结合$m≥2$的范围，舍去$m=-4$，故$m=6$
（2）分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，$x=7$是方程的一个根，代入方程得：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 +5 = 0$
化简得：$m^2 -14m +40 = 0$
因式分解得：$(m-4)(m-10)=0$
解得$m=4$或$m=10$
当$m=4$时，原方程为$x^2 -10x +21 =0$，解得$x_1=3, x_2=7$
三角形三边长为7、7、3，满足$3+7＞7$，可构成三角形，周长为$7+7+3=17$
当$m=10$时，原方程为$x^2 -22x +105=0$，解得$x_1=7, x_2=15$
三角形三边长为7、7、15，$7+7=14＜15$，不能构成三角形，舍去
② 当7为等腰三角形的底边长时，方程两根相等，即$\Delta=8m-16=0$，解得$m=2$
此时原方程为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$
三角形三边长为3、3、7，$3+3=6＜7$，不能构成三角形，舍去
综上，三角形周长为17
【答案】
(1) $m=6$；(2) 周长为$\boxed{17}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根的判别式；3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题时需注意两个检验环节：一是一元二次方程有实根需满足判别式非负，二是三角形三边需满足两边之和大于第三边，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.6
（1）首先明确一元二次方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，先求出$m$的取值范围；再利用韦达定理写出两根之和与两根之积，将已知等式$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28$展开后代入韦达定理的表达式求解$m$，最后结合$m$的取值范围舍去不符合的解。
（2）已知等腰三角形一边长为7，分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求$m$，再解出另一个根，检验三边是否满足三角形三边关系，计算符合条件的周长；②若7为底边长，则方程两根相等即$\Delta=0$，求出$m$后解方程得到两根，再检验三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，最终得到周长。
【解析】
（1）
∵ 方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 8m -16 ≥ 0$，解得$m ≥ 2$
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = 2(m+1)$，$x_1x_2 = m^2 + 5$
∵ $(x_1 -1)(x_2 -1) = 28$
展开得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 28$
代入韦达定理表达式：
$m^2 +5 - 2(m+1) + 1 = 28$
化简得：$m^2 - 2m -24 = 0$
因式分解得：$(m-6)(m+4)=0$
解得$m=6$或$m=-4$
结合$m≥2$的范围，舍去$m=-4$，故$m=6$
（2）分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，$x=7$是方程的一个根，代入方程得：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 +5 = 0$
化简得：$m^2 -14m +40 = 0$
因式分解得：$(m-4)(m-10)=0$
解得$m=4$或$m=10$
当$m=4$时，原方程为$x^2 -10x +21 =0$，解得$x_1=3, x_2=7$
三角形三边长为7、7、3，满足$3+7＞7$，可构成三角形，周长为$7+7+3=17$
当$m=10$时，原方程为$x^2 -22x +105=0$，解得$x_1=7, x_2=15$
三角形三边长为7、7、15，$7+7=14＜15$，不能构成三角形，舍去
② 当7为等腰三角形的底边长时，方程两根相等，即$\Delta=8m-16=0$，解得$m=2$
此时原方程为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$
三角形三边长为3、3、7，$3+3=6＜7$，不能构成三角形，舍去
综上，三角形周长为17
【答案】
(1) $m=6$；(2) 周长为$\boxed{17}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根的判别式；3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题时需注意两个检验环节：一是一元二次方程有实根需满足判别式非负，二是三角形三边需满足两边之和大于第三边，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.6