如图(1)、(2)、(3)、…、(n),M,N 分别是$\odot O$ 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDEFG…的边 AB,BC 上的点,且 $BM=CN$ ,连接 OM,ON.
（1）求图(1)中$∠ MON$ 的度数；
（2）图(2)中$∠ MON$ 的度数是
（3）试探究$∠ MON$ 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案).
（1）求图(1)中$∠ MON$ 的度数；
（2）图(2)中$∠ MON$ 的度数是
90
°,图(3)中$∠ MON$ 的度数是72
°；（3）试探究$∠ MON$ 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案).
答案：（1）$120°$；（2）90;72；（3）$\frac{360°}{n}$.
解析：
【分析】
解题时先连接正多边形的中心与相邻顶点OB、OC，利用正多边形的性质可得OB=OC，∠OBM=∠OCN，结合已知BM=CN可证明△OBM≌△OCN，推导得∠BOM=∠CON，进而将∠MON转化为正多边形的中心角∠BOC，再代入正n边形中心角公式$\frac{360°}{n}$即可求解对应角度。
【解析】
（1）连接OB、OC。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$，$∠ OBM=∠ OCN=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$△ OBM$和$△ OCN$中：
$\{\begin{array}{l}OB=OC\\∠ OBM=∠ OCN\\BM=CN\end{array} $
∴$△ OBM≌△ OCN$（SAS），
∴$∠ BOM=∠ CON$，
∴$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC=120°$。
（2）图(2)为正方形，同理可证$△ OBM≌△ OCN$，正四边形中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，故$∠ MON=90°$；
图(3)为正五边形，同理可证$△ OBM≌△ OCN$，正五边形中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，故$∠ MON=72°$。
（3）对正n边形，同理可证$∠ MON$等于正n边形的中心角，故$∠ MON=\frac{360°}{n}$。
【答案】
（1）$120°$；（2）90；72；（3）$∠ MON=\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，正多边形中心角
【点评】
本题通过从特殊正多边形到一般正多边形的探究，考查正多边形和圆的核心性质，解题关键是通过全等三角形将未知角转化为正多边形的中心角，渗透了转化思想和从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7
解题时先连接正多边形的中心与相邻顶点OB、OC，利用正多边形的性质可得OB=OC，∠OBM=∠OCN，结合已知BM=CN可证明△OBM≌△OCN，推导得∠BOM=∠CON，进而将∠MON转化为正多边形的中心角∠BOC，再代入正n边形中心角公式$\frac{360°}{n}$即可求解对应角度。
【解析】
（1）连接OB、OC。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$，$∠ OBM=∠ OCN=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$△ OBM$和$△ OCN$中：
$\{\begin{array}{l}OB=OC\\∠ OBM=∠ OCN\\BM=CN\end{array} $
∴$△ OBM≌△ OCN$（SAS），
∴$∠ BOM=∠ CON$，
∴$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC=120°$。
（2）图(2)为正方形，同理可证$△ OBM≌△ OCN$，正四边形中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，故$∠ MON=90°$；
图(3)为正五边形，同理可证$△ OBM≌△ OCN$，正五边形中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，故$∠ MON=72°$。
（3）对正n边形，同理可证$∠ MON$等于正n边形的中心角，故$∠ MON=\frac{360°}{n}$。
【答案】
（1）$120°$；（2）90；72；（3）$∠ MON=\frac{360°}{n}$
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，正多边形中心角
【点评】
本题通过从特殊正多边形到一般正多边形的探究，考查正多边形和圆的核心性质，解题关键是通过全等三角形将未知角转化为正多边形的中心角，渗透了转化思想和从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7