9. 已知$\odot O$的半径为5 cm，点O到直线l的距离OP为7 cm，把直线l向上平移
2或12
cm，才能使l与$\odot O$相切.答案：9. 2或12
解析：
【分析】
解题首先要明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线l平移时方向不变，始终与OP垂直，因此平移后圆心O到直线l的距离仍沿OP线段方向测量。需分两种情况讨论：直线平移到圆的下方和圆的上方时分别与圆相切，对应两种不同的平移距离，不要漏解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，初始状态下圆心$O$到直线$l$的距离为$7\mathrm{cm}$。
直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即平移后$O$到直线$l$的距离应为$5\mathrm{cm}$：
① 当直线$l$向上平移至$\odot O$下方与圆相切时，平移距离 = 初始距离 - 半径 = $7-5=2\mathrm{cm}$；
② 当直线$l$向上平移至$\odot O$上方与圆相切时，平移距离 = 初始距离 + 半径 = $7+5=12\mathrm{cm}$。
因此直线$l$平移的距离为$2\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$。
【答案】
2或12
【知识点】
直线与圆相切的判定；平移的性质
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系和平移的结合，易错点是仅考虑直线在圆下方相切的情况，忽略直线平移到圆另一侧也可相切，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线l平移时方向不变，始终与OP垂直，因此平移后圆心O到直线l的距离仍沿OP线段方向测量。需分两种情况讨论：直线平移到圆的下方和圆的上方时分别与圆相切，对应两种不同的平移距离，不要漏解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，初始状态下圆心$O$到直线$l$的距离为$7\mathrm{cm}$。
直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即平移后$O$到直线$l$的距离应为$5\mathrm{cm}$：
① 当直线$l$向上平移至$\odot O$下方与圆相切时，平移距离 = 初始距离 - 半径 = $7-5=2\mathrm{cm}$；
② 当直线$l$向上平移至$\odot O$上方与圆相切时，平移距离 = 初始距离 + 半径 = $7+5=12\mathrm{cm}$。
因此直线$l$平移的距离为$2\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$。
【答案】
2或12
【知识点】
直线与圆相切的判定；平移的性质
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系和平移的结合，易错点是仅考虑直线在圆下方相切的情况，忽略直线平移到圆另一侧也可相切，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.7
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，则$△ ABC$的内切圆半径为________.
答案：10. 2
解析：
【分析】
要计算直角三角形的内切圆半径，首先可以通过勾股定理求出斜边的长度，再选择对应方法计算内切圆半径：既可以用直角三角形内切圆半径的专用公式求解，也可以用等面积法，利用大三角形面积等于三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和求解，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
第一步：求斜边$AB$的长度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
第二步：计算内切圆半径$r$
方法1：用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）计算
代入数值可得：$r=\frac{5+12-13}{2}=\frac{4}{2}=2$
方法2：用等面积法计算
设内切圆半径为$r$，大三角形面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时大三角形面积也等于三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，即$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)× r$
代入得$30=\frac{1}{2}×(5+12+13)× r$，化简得$30=15r$，解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；等面积法
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形内切圆半径的计算，熟练掌握勾股定理和内切圆的相关计算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形的内切圆半径，首先可以通过勾股定理求出斜边的长度，再选择对应方法计算内切圆半径：既可以用直角三角形内切圆半径的专用公式求解，也可以用等面积法，利用大三角形面积等于三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和求解，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
第一步：求斜边$AB$的长度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
第二步：计算内切圆半径$r$
方法1：用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）计算
代入数值可得：$r=\frac{5+12-13}{2}=\frac{4}{2}=2$
方法2：用等面积法计算
设内切圆半径为$r$，大三角形面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时大三角形面积也等于三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，即$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)× r$
代入得$30=\frac{1}{2}×(5+12+13)× r$，化简得$30=15r$，解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；等面积法
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形内切圆半径的计算，熟练掌握勾股定理和内切圆的相关计算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11. 已知$\odot O$是正五边形$ABCDE$的外接圆，点$P$在$\overset{\frown}{BC}$上，则$∠ APB$的度数为________°。
答案：11. 36°
解析：
【分析】
解题时首先结合正多边形外接圆的性质：正n边形的外接圆被n个顶点平均分成n段等弧，每段弧的度数为$\frac{360°}{n}$，先求出正五边形中劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，即可求出$∠ APB$的度数。
【解析】
$\because \odot O$是正五边形$ABCDE$的外接圆
$\therefore$ 正五边形的顶点将$\odot O$的圆周平均分为5等份，劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为$360° ÷ 5 = 72°$
$\because ∠ APB$是圆周角，且所对的弧为劣弧$\overset{\frown}{AB}$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
$\therefore ∠ APB = \frac{1}{2} × 72° = 36°$
【答案】
$36$
【知识点】
正多边形和圆、圆周角定理
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是结合正多边形外接圆的性质得到对应弧的度数，再利用圆周角定理求解，熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合正多边形外接圆的性质：正n边形的外接圆被n个顶点平均分成n段等弧，每段弧的度数为$\frac{360°}{n}$，先求出正五边形中劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，即可求出$∠ APB$的度数。
【解析】
$\because \odot O$是正五边形$ABCDE$的外接圆
$\therefore$ 正五边形的顶点将$\odot O$的圆周平均分为5等份，劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为$360° ÷ 5 = 72°$
$\because ∠ APB$是圆周角，且所对的弧为劣弧$\overset{\frown}{AB}$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
$\therefore ∠ APB = \frac{1}{2} × 72° = 36°$
【答案】
$36$
【知识点】
正多边形和圆、圆周角定理
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是结合正多边形外接圆的性质得到对应弧的度数，再利用圆周角定理求解，熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，连接$DE,FE$.
若$∠ B=60°,∠ C=70°$,则$∠ DEF=$
若$∠ B=60°,∠ C=70°$,则$∠ DEF=$
65
$°$.答案：12. 65
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数；2. 连接内切圆圆心与AB、AC边上的切点OD、OF，根据内切圆的性质可得OD⊥AB、OF⊥AC；3. 在四边形ADOF中计算出圆心角∠DOF的度数；4. 最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
解：
1. 计算∠A的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
2. 连接$OD$、$OF$：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$、$F$分别是$AB$、$AC$边上的切点
∴$OD⊥ AB$，$OF⊥ AC$，即$∠ ADO = ∠ AFO = 90°$
3. 计算圆心角$∠ DOF$的度数：
在四边形$ADOF$中，内角和为$360°$，因此
$∠ DOF = 360° - ∠ ADO - ∠ AFO - ∠ A = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°$
4. 计算$∠ DEF$的度数：
∵$∠ DEF$是弧$DF$所对的圆周角，$∠ DOF$是弧$DF$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴$∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DOF = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
【答案】
65
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内切圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合圆周角定理建立角度关系，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数；2. 连接内切圆圆心与AB、AC边上的切点OD、OF，根据内切圆的性质可得OD⊥AB、OF⊥AC；3. 在四边形ADOF中计算出圆心角∠DOF的度数；4. 最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
解：
1. 计算∠A的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
2. 连接$OD$、$OF$：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$、$F$分别是$AB$、$AC$边上的切点
∴$OD⊥ AB$，$OF⊥ AC$，即$∠ ADO = ∠ AFO = 90°$
3. 计算圆心角$∠ DOF$的度数：
在四边形$ADOF$中，内角和为$360°$，因此
$∠ DOF = 360° - ∠ ADO - ∠ AFO - ∠ A = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°$
4. 计算$∠ DEF$的度数：
∵$∠ DEF$是弧$DF$所对的圆周角，$∠ DOF$是弧$DF$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴$∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DOF = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
【答案】
65
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内切圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合圆周角定理建立角度关系，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13. 如图,正六边形ABCDEF的半径为4 cm,若P为CD的中点,连接AP,则AP的长为
$2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
.答案：13. $2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
解析：
【分析】
解题时首先利用正六边形的性质：正六边形的半径等于边长，每个内角为120°。我们可以先通过等腰三角形的性质求出线段AC的长度，再证明△ACP为直角三角形，结合P是CD中点得到CP的长度，最后用勾股定理计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的半径为4 cm，
∴正六边形的边长AB=BC=CD=4 cm，每个内角均为120°，即∠ABC=∠BCD=120°。
过点B作BM⊥AC于点M，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，AM=MC。
在Rt△ABM中，BM=$\frac{1}{2}$AB=2 cm，由勾股定理得AM=$\sqrt{AB^2-BM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$ cm，
∴AC=2AM=4$\sqrt{3}$ cm。
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°，
∴∠BCA=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠ACP=∠BCD - ∠BCA=120°-30°=90°，即△ACP是直角三角形。
∵P为CD的中点，
∴CP=$\frac{1}{2}$CD=2 cm。
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{AC^2 + CP^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 2^2}$=$\sqrt{48+4}$=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正六边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题侧重考查正六边形相关性质的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中结合勾股定理求解，需要熟练掌握特殊多边形的性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用正六边形的性质：正六边形的半径等于边长，每个内角为120°。我们可以先通过等腰三角形的性质求出线段AC的长度，再证明△ACP为直角三角形，结合P是CD中点得到CP的长度，最后用勾股定理计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF的半径为4 cm，
∴正六边形的边长AB=BC=CD=4 cm，每个内角均为120°，即∠ABC=∠BCD=120°。
过点B作BM⊥AC于点M，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，AM=MC。
在Rt△ABM中，BM=$\frac{1}{2}$AB=2 cm，由勾股定理得AM=$\sqrt{AB^2-BM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$ cm，
∴AC=2AM=4$\sqrt{3}$ cm。
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°，
∴∠BCA=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠ACP=∠BCD - ∠BCA=120°-30°=90°，即△ACP是直角三角形。
∵P为CD的中点，
∴CP=$\frac{1}{2}$CD=2 cm。
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{AC^2 + CP^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 2^2}$=$\sqrt{48+4}$=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正六边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题侧重考查正六边形相关性质的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中结合勾股定理求解，需要熟练掌握特殊多边形的性质。
【难度系数】
0.6
14. 如图, 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AC=3$,$BC=4$, 以边$AB$上一点$O$为圆心, 作$\odot O$与边$AC$相切, 若$\odot O$与边$BC$只有一个公共点, 则$OA$的取值范围是________。
答案：14. $OA=\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}＜OA≤5$
解析：
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度为5。⊙O与AC相切，则圆心O到AC的距离等于半径r；⊙O与BC只有一个公共点，分两种情况讨论：①⊙O与BC相切，此时O到BC的距离也等于r，可通过相似三角形求出对应OA的长度；②⊙O与BC相交但仅一个交点在线段BC上，先求出圆过点B这一临界状态下的OA，再结合端点情况确定取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点$O$作$OD⊥ AC$于$D$，$OE⊥ BC$于$E$，
∵$\odot O$与$AC$相切，
∴$OD=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
∵$OD// BC$，
∴$△ AOD ∽ △ ABC$，
∴$\frac{OA}{AB}=\frac{OD}{BC}$，即$\frac{OA}{5}=\frac{r}{4}$，得$r=\frac{4}{5}OA$。
同理$OE// AC$，$△ BOE ∽ △ BAC$，且$OB=AB-OA=5-OA$，
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即$OE=\frac{3(5-OA)}{5}$。
分两种情况讨论：
1. 当$\odot O$与$BC$相切时，$OE=r$，
即$\frac{3(5-OA)}{5}=\frac{4OA}{5}$，
$3(5-OA)=4OA$，解得$OA=\frac{15}{7}$，此时$\odot O$与$BC$只有1个公共点（切点），符合要求。
2. 当$\odot O$与$BC$相交，且仅1个交点在线段$BC$上时，临界状态为$\odot O$过点$B$，此时$r=OB$：
即$\frac{4OA}{5}=5-OA$，
$4OA=25-5OA$，解得$OA=\frac{25}{9}$，此时$\odot O$与$BC$有2个交点，不符合要求，故$OA＞\frac{25}{9}$。
当$OA=5$时，$O$与$A$重合，半径$r=4$，$\odot O$与$BC$仅交于1点，符合要求，故$OA≤5$。
综上第二种情况取值范围为$\frac{25}{9}＜OA≤5$。
综上，$OA$的取值范围是$OA=\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}＜OA≤5$。
【答案】
$OA=\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}＜OA≤5$
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【点评】
解题的关键是对“圆与BC只有一个公共点”分两种情况讨论，结合相似三角形建立边长关系求解，要注意判断临界值是否可取，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度为5。⊙O与AC相切，则圆心O到AC的距离等于半径r；⊙O与BC只有一个公共点，分两种情况讨论：①⊙O与BC相切，此时O到BC的距离也等于r，可通过相似三角形求出对应OA的长度；②⊙O与BC相交但仅一个交点在线段BC上，先求出圆过点B这一临界状态下的OA，再结合端点情况确定取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点$O$作$OD⊥ AC$于$D$，$OE⊥ BC$于$E$，
∵$\odot O$与$AC$相切，
∴$OD=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
∵$OD// BC$，
∴$△ AOD ∽ △ ABC$，
∴$\frac{OA}{AB}=\frac{OD}{BC}$，即$\frac{OA}{5}=\frac{r}{4}$，得$r=\frac{4}{5}OA$。
同理$OE// AC$，$△ BOE ∽ △ BAC$，且$OB=AB-OA=5-OA$，
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即$OE=\frac{3(5-OA)}{5}$。
分两种情况讨论：
1. 当$\odot O$与$BC$相切时，$OE=r$，
即$\frac{3(5-OA)}{5}=\frac{4OA}{5}$，
$3(5-OA)=4OA$，解得$OA=\frac{15}{7}$，此时$\odot O$与$BC$只有1个公共点（切点），符合要求。
2. 当$\odot O$与$BC$相交，且仅1个交点在线段$BC$上时，临界状态为$\odot O$过点$B$，此时$r=OB$：
即$\frac{4OA}{5}=5-OA$，
$4OA=25-5OA$，解得$OA=\frac{25}{9}$，此时$\odot O$与$BC$有2个交点，不符合要求，故$OA＞\frac{25}{9}$。
当$OA=5$时，$O$与$A$重合，半径$r=4$，$\odot O$与$BC$仅交于1点，符合要求，故$OA≤5$。
综上第二种情况取值范围为$\frac{25}{9}＜OA≤5$。
综上，$OA$的取值范围是$OA=\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}＜OA≤5$。
【答案】
$OA=\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}＜OA≤5$
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【点评】
解题的关键是对“圆与BC只有一个公共点”分两种情况讨论，结合相似三角形建立边长关系求解，要注意判断临界值是否可取，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共7小题,共58分)
15. (6分)已知:点P是$\odot O$外的一点.
(1)如图(1),PA,PB与$\odot O$相切于点A,B,求证:PO平分$∠ APB$;
(2)如图(2),PB,PD与$\odot O$分别相交于点A,B和C,D,且$AB=CD$.求证:PO平分$∠ BPD$.
15. (6分)已知:点P是$\odot O$外的一点.
(1)如图(1),PA,PB与$\odot O$相切于点A,B,求证:PO平分$∠ APB$;
(2)如图(2),PB,PD与$\odot O$分别相交于点A,B和C,D,且$AB=CD$.求证:PO平分$∠ BPD$.
答案：
15. (1) 证明:连接OA,OB，
由条件可知$OA⊥ PA,OB⊥ PB,\because OA=OB,\therefore PO$平分$∠ APB$；
(2) 证明:过点O作$OG⊥ CD$于点G，过点O作$OF⊥ AB$于点F，
$\because AB=CD,\therefore$ 由垂径定理得 $AF=\frac{1}{2}AB,CG=\frac{1}{2}CD,\therefore AF=CG. \because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG. \because OF⊥ AB,OG⊥ CD,\therefore PO$平分$∠ BPD$。
15. (1) 证明:连接OA,OB，
由条件可知$OA⊥ PA,OB⊥ PB,\because OA=OB,\therefore PO$平分$∠ APB$；
(2) 证明:过点O作$OG⊥ CD$于点G，过点O作$OF⊥ AB$于点F，
$\because AB=CD,\therefore$ 由垂径定理得 $AF=\frac{1}{2}AB,CG=\frac{1}{2}CD,\therefore AF=CG. \because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG. \because OF⊥ AB,OG⊥ CD,\therefore PO$平分$∠ BPD$。
解析：
【分析】
(1) 要证明PO平分∠APB，可利用角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA、OB可得到OA⊥PA、OB⊥PB，OA、OB都是半径长度相等，满足角平分线判定条件，即可得证。
(2) 要证明PO平分∠BPD，同样可转化为证明点O到PB、PD的距离相等。已知弦AB=CD，圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此过O分别作AB、CD的垂线OF、OG，结合垂径定理可证OF=OG，再利用角平分线判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：连接OA、OB，
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，
又
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
根据角平分线的判定定理，可得PO平分∠APB。
(2) 证明：过点O作OG⊥CD于点G，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AB=CD，根据垂径定理得$AF=\frac{1}{2}AB$，$CG=\frac{1}{2}CD$，
∴AF=CG，
在$\mathrm{Rt}△AOF$和$\mathrm{Rt}△COG$中，$\begin{cases} OA=OC \\ AF=CG \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△AOF≌\mathrm{Rt}△COG(\mathrm{HL})$，
∴OF=OG，
∵OF⊥AB，OG⊥CD，即点O到∠BPD两边的距离相等，
∴PO平分∠BPD。
【答案】
(1) 证明:连接OA,OB，
由条件可知$OA⊥ PA,OB⊥ PB,\because OA=OB,\therefore PO$平分$∠ APB$；
(2) 证明:过点O作$OG⊥ CD$于点G，过点O作$OF⊥ AB$于点F，
$\because AB=CD,\therefore$ 由垂径定理得 $AF=\frac{1}{2}AB,CG=\frac{1}{2}CD,\therefore AF=CG. \because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG. \because OF⊥ AB,OG⊥ CD,\therefore PO$平分$∠ BPD$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，角平分线的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题关键是明确角平分线的证明思路，合理添加辅助线，结合圆的相关性质得到点到角两边的距离相等即可完成证明，能有效巩固圆的基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明PO平分∠APB，可利用角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA、OB可得到OA⊥PA、OB⊥PB，OA、OB都是半径长度相等，满足角平分线判定条件，即可得证。
(2) 要证明PO平分∠BPD，同样可转化为证明点O到PB、PD的距离相等。已知弦AB=CD，圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此过O分别作AB、CD的垂线OF、OG，结合垂径定理可证OF=OG，再利用角平分线判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：连接OA、OB，
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，
又
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
根据角平分线的判定定理，可得PO平分∠APB。
(2) 证明：过点O作OG⊥CD于点G，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AB=CD，根据垂径定理得$AF=\frac{1}{2}AB$，$CG=\frac{1}{2}CD$，
∴AF=CG，
在$\mathrm{Rt}△AOF$和$\mathrm{Rt}△COG$中，$\begin{cases} OA=OC \\ AF=CG \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△AOF≌\mathrm{Rt}△COG(\mathrm{HL})$，
∴OF=OG，
∵OF⊥AB，OG⊥CD，即点O到∠BPD两边的距离相等，
∴PO平分∠BPD。
【答案】
(1) 证明:连接OA,OB，
由条件可知$OA⊥ PA,OB⊥ PB,\because OA=OB,\therefore PO$平分$∠ APB$；
(2) 证明:过点O作$OG⊥ CD$于点G，过点O作$OF⊥ AB$于点F，
$\because AB=CD,\therefore$ 由垂径定理得 $AF=\frac{1}{2}AB,CG=\frac{1}{2}CD,\therefore AF=CG. \because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG. \because OF⊥ AB,OG⊥ CD,\therefore PO$平分$∠ BPD$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，角平分线的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题关键是明确角平分线的证明思路，合理添加辅助线，结合圆的相关性质得到点到角两边的距离相等即可完成证明，能有效巩固圆的基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
16. (6分)如图，AB为$\odot O$的直径，AC为$\odot O$的弦，AD平分$∠ BAC$，交$\odot O$于点D，$DE⊥ AC$，交AC的延长线于点E.
(1) 求证:直线DE是$\odot O$的切线；
(2) 若$AE=8$，$\odot O$的半径为5，求DE的长.
(1) 求证:直线DE是$\odot O$的切线；
(2) 若$AE=8$，$\odot O$的半径为5，求DE的长.
答案：
16. (1) 证明:如图(1),连接OD，
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ EAD=∠ OAD. \because OA=OD,\therefore ∠ ODA=∠ OAD,\therefore ∠ ODA=∠ EAD,\therefore EA// OD. \because DE⊥ EA,\therefore DE⊥ OD. \because$ 点 D 在$\odot O$上，$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$相切.
(2) 如图(2),作$DF⊥ AB$,垂足为F,$\therefore ∠ DFA=∠ DEA=90°$. 在$△ EAD$ 和 $△ FAD$ 中，$\begin{cases}∠ DFA=∠ DEA,\\∠ EAD=∠ FAD,\\AD=AD,\end{cases}$ $\therefore △ EAD ≌△ FAD(\mathrm{AAS}),\therefore AF=AE=8,DF=DE. \because OA=OD=5,\therefore OF=3$. 在$\mathrm{Rt}△ DOF$ 中, $DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,\therefore DE=DF=4$。
16. (1) 证明:如图(1),连接OD，
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ EAD=∠ OAD. \because OA=OD,\therefore ∠ ODA=∠ OAD,\therefore ∠ ODA=∠ EAD,\therefore EA// OD. \because DE⊥ EA,\therefore DE⊥ OD. \because$ 点 D 在$\odot O$上，$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$相切.
(2) 如图(2),作$DF⊥ AB$,垂足为F,$\therefore ∠ DFA=∠ DEA=90°$. 在$△ EAD$ 和 $△ FAD$ 中，$\begin{cases}∠ DFA=∠ DEA,\\∠ EAD=∠ FAD,\\AD=AD,\end{cases}$ $\therefore △ EAD ≌△ FAD(\mathrm{AAS}),\therefore AF=AE=8,DF=DE. \because OA=OD=5,\therefore OF=3$. 在$\mathrm{Rt}△ DOF$ 中, $DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,\therefore DE=DF=4$。
解析：
【分析】
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过点D的半径，因此优先连接辅助线OD。首先利用角平分线性质得∠EAD=∠OAD，再结合同圆半径相等OA=OD，推出∠ODA=∠OAD，等量代换可得∠ODA=∠EAD，进而得到EA//OD，结合DE⊥EA的条件即可推出DE⊥OD，满足切线判定要求。
(2) 求DE的长度时，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，因此作DF⊥AB于F，可证△EAD和△FAD全等，将AE转化为AF=8，同时得到DE=DF。结合⊙O半径为5，可算出OF的长度，最后在Rt△DOF中用勾股定理求出DF，即可得到DE的长。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD。
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴EA//OD。
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD。
又
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切。
(2) 解：如图(2)，作DF⊥AB，垂足为F，
∴∠DFA=∠DEA=90°。
在△EAD和△FAD中，
$\begin{cases}∠DFA=∠DEA, \\∠EAD=∠FAD, \\AD=AD,\end{cases}$
∴△EAD≌△FAD(AAS)，
∴AF=AE=8，DF=DE。
∵OA=OD=5，
∴OF=AF-OA=8-5=3。
在Rt△DOF中，$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴DE=DF=4。
【答案】
(1) 直线DE是$\odot O$的切线，证明见上述过程；
(2) $DE=4$
【知识点】
切线的判定；全等三角形判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了圆相关性质、三角形全等和勾股定理的综合运用，解题关键是掌握切线判定的常规辅助线作法（连半径证垂直），以及利用角平分线性质构造全等转化线段，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过点D的半径，因此优先连接辅助线OD。首先利用角平分线性质得∠EAD=∠OAD，再结合同圆半径相等OA=OD，推出∠ODA=∠OAD，等量代换可得∠ODA=∠EAD，进而得到EA//OD，结合DE⊥EA的条件即可推出DE⊥OD，满足切线判定要求。
(2) 求DE的长度时，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，因此作DF⊥AB于F，可证△EAD和△FAD全等，将AE转化为AF=8，同时得到DE=DF。结合⊙O半径为5，可算出OF的长度，最后在Rt△DOF中用勾股定理求出DF，即可得到DE的长。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD。
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴EA//OD。
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD。
又
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切。
(2) 解：如图(2)，作DF⊥AB，垂足为F，
∴∠DFA=∠DEA=90°。
在△EAD和△FAD中，
$\begin{cases}∠DFA=∠DEA, \\∠EAD=∠FAD, \\AD=AD,\end{cases}$
∴△EAD≌△FAD(AAS)，
∴AF=AE=8，DF=DE。
∵OA=OD=5，
∴OF=AF-OA=8-5=3。
在Rt△DOF中，$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴DE=DF=4。
【答案】
(1) 直线DE是$\odot O$的切线，证明见上述过程；
(2) $DE=4$
【知识点】
切线的判定；全等三角形判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了圆相关性质、三角形全等和勾股定理的综合运用，解题关键是掌握切线判定的常规辅助线作法（连半径证垂直），以及利用角平分线性质构造全等转化线段，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7