【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质相关知识，解题思路是先回忆$y=ax^2$的图象形状、开口方向、对称轴、顶点特点、对称规律等基础性质，再逐一判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 所有二次函数的图象都是抛物线，因此$y=3x^2$的图象是一条抛物线，该选项说法正确，不符合题意；
B. 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴为y轴，本题中$a=3＞0$，因此它的开口向上，且关于y轴对称，该选项说法正确，不符合题意；
C. 开口向上的抛物线，顶点是整个图象的最低点，而非最高点，因此该选项说法错误，符合题意；
D. 对于相同的x取值，$y=3x^2$和$y=-3x^2$的函数值互为相反数，因此两个图象上的对应点关于x轴对称，即两个图象关于x轴对称，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质；二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对$y=ax^2$类二次函数核心性质的辨析能力，只要熟记相关基础性质就能快速判断正误，是二次函数入门阶段的常考题。
【难度系数】
0.85

【分析】
解决本题需牢牢掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质：①开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②开口大小由$|a|$决定：$|a|$越小，开口越大；③增减性：开口向上时，$y$随$x$的增大先减小后增大；开口向下时，$y$随$x$的增大先增大后减小。解题时先确定每个抛物线的$a$值，再结合上述性质逐一分析三个问题即可。
【解析】
首先列出6个抛物线对应的二次项系数$a$：
①中$a=-1$；②中$a=\frac{5}{3}$；③中$a=13$；④中$a=-6$；⑤中$a=-\frac{7}{9}$；⑥中$a=4$。
(1) 开口向上的抛物线满足$a＞0$，符合条件的是②③⑥；
(2) 开口向下的抛物线满足$a＜0$，即①④⑤，三者的$|a|$分别为$1、6、\frac{7}{9}$，因为$\frac{7}{9}＜1＜6$，$|a|$越小开口越大，所以开口向下且开口最大的是⑤；
(3) 函数值先随自变量增大而变大、后逐渐变小，说明抛物线有最高点即开口向下，符合条件的是①④⑤。
【答案】
(1) ②③⑥；(2) ⑤；(3) ①④⑤
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口判断；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型应用题，只要熟记二次项系数$a$对抛物线开口方向、开口大小、增减性的影响，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含有1个未知参数$a$，将已知点$A$的坐标代入解析式，即可列方程求出$a$的值，进而确定抛物线的函数解析式；
（2）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入已求出的解析式，计算得到对应的纵坐标，和该点给出的纵坐标比较，若二者相等则点在抛物线上，反之则不在；
（3）已知抛物线上点的纵坐标求对应点坐标，只需将$y=-6$代入解析式，解关于$x$的一元二次方程，得到$x$的取值后即可写出对应的点坐标。
【解析】
(1) 把点$A(2, -8)$代入$y=ax^2$，得
$-8 = a· 2^2$，
即$4a = -8$，
解得$a = -2$，
所以此抛物线的函数解析式为$y = -2x^2$。
(2) 当$x=-2$时，代入$y=-2x^2$，得
$y = -2×(-2)^2 = -8$，
因为$-8 ≠ -4$，
所以点$B(-2, -4)$不在此抛物线上。
(3) 令$y=-6$，代入$y=-2x^2$，得
$-6 = -2x^2$，
整理得$x^2 = 3$，
解得$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$，
所以此抛物线上纵坐标为$-6$的点的坐标为$(\sqrt{3}, -6)$和$(-\sqrt{3}, -6)$。
【答案】
(1) $y=-2x^2$；(2) 点$B(-2,-4)$不在此抛物线上；(3) $(\sqrt{3}, -6)$和$(-\sqrt{3}, -6)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕$y=ax^2$类二次函数的核心考点设置问题，解题逻辑清晰，只要熟练掌握点与函数图象的关系、基本解方程方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先明确抛物线的开口大小仅和$|a|$有关，与$a$的正负无关，因此可先排除提及“$a$的值”影响开口大小的A、B选项；接下来结合图象特征判断$|a|$对开口的影响：$|a|$越大，相同x对应的y值增长越快，抛物线越陡，开口越小，由此就能选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$：
1. $a$的正负仅决定抛物线的开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），和开口大小无关，因此A、B选项错误；
2. 抛物线的开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，相同自变量x对应的函数值y的绝对值增长速度越快，抛物线越陡峭，开口越小；$|a|$越小，开口越大。因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 抛物线开口与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是区分$a$和$|a|$对抛物线的不同作用，牢记开口大小仅与$|a|$的大小负相关即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决本题，首先需明确：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。因此我们可以先将P、Q两点的横坐标代入抛物线解析式，求出a、b的值，得到两点完整坐标，再根据两点坐标的特征计算线段PQ的长度即可。
【解析】
1. 求a、b的值：
将点P(1,a)代入抛物线$y=-4x^2$，得：
$a = -4×1^2 = -4$，即点P坐标为$(1,-4)$；
将点Q(-1,b)代入抛物线$y=-4x^2$，得：
$b = -4×(-1)^2 = -4$，即点Q坐标为$(-1,-4)$。
2. 计算PQ的长度：
观察P、Q两点坐标，纵坐标均为-4，说明线段PQ平行于x轴，因此PQ的长度等于两点横坐标差的绝对值：
$PQ = |1 - (-1)| = |2| = 2$。
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的特征；平面内两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，考查对二次函数性质的基础应用，只要掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及平行于坐标轴的线段长度计算方法，就能快速解题。
【难度系数】
0.85