19. (8分)如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.
(1) 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2) 当$-3≤x≤0$时,求该二次函数的函数值$y$的取值范围.
(1) 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2) 当$-3≤x≤0$时,求该二次函数的函数值$y$的取值范围.
答案：19. 解:(1) 将点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$ 二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$. $\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,$\therefore$ 顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2) $\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,$\therefore x=-1$时,函数有最小值$-6$,把$x=-3$代入可得$y=(-3+1)^2-6=-2$,$\therefore$ 当$-3≤ x≤0$时,$-6≤ y≤-2$.
(2) $\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$,$\therefore x=-1$时,函数有最小值$-6$,把$x=-3$代入可得$y=(-3+1)^2-6=-2$,$\therefore$ 当$-3≤ x≤0$时,$-6≤ y≤-2$.
解析：
【分析】
第(1)问求二次函数表达式，已知函数图象经过两个定点，可采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，解方程组即可求出未知系数，确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，就能直接得到顶点坐标。第(2)问求指定区间内y的取值范围，首先明确二次函数开口向上，对称轴为x=-1，且对称轴落在给定区间[-3,0]内，因此函数在对称轴处取得最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到区间内的最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。
对解析式配方得：$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，因此图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2) 由$y=(x+1)^2-6$可知，二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
因为$x=-1$在$-3≤x≤0$范围内，所以当$x=-1$时，y取得最小值$-6$。
分别计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=(-3+1)^2-6=-2$；当$x=0$时，$y=(0+1)^2-6=-5$。
比较得$-2＞-5$，即区间内y的最大值为$-2$。
因此当$-3≤x≤0$时，y的取值范围为$-6≤y≤-2$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；
(2) y的取值范围为$\boldsymbol{-6≤y≤-2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问是待定系数法的常规应用，第二问需要结合二次函数的开口方向、对称轴位置判断区间内的最值，解题时结合函数图象分析更直观，要避免直接仅代入区间端点求最值的错误。
【难度系数】
0.75
第(1)问求二次函数表达式，已知函数图象经过两个定点，可采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，解方程组即可求出未知系数，确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，就能直接得到顶点坐标。第(2)问求指定区间内y的取值范围，首先明确二次函数开口向上，对称轴为x=-1，且对称轴落在给定区间[-3,0]内，因此函数在对称轴处取得最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到区间内的最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。
对解析式配方得：$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，因此图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2) 由$y=(x+1)^2-6$可知，二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
因为$x=-1$在$-3≤x≤0$范围内，所以当$x=-1$时，y取得最小值$-6$。
分别计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=(-3+1)^2-6=-2$；当$x=0$时，$y=(0+1)^2-6=-5$。
比较得$-2＞-5$，即区间内y的最大值为$-2$。
因此当$-3≤x≤0$时，y的取值范围为$-6≤y≤-2$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；
(2) y的取值范围为$\boldsymbol{-6≤y≤-2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问是待定系数法的常规应用，第二问需要结合二次函数的开口方向、对称轴位置判断区间内的最值，解题时结合函数图象分析更直观，要避免直接仅代入区间端点求最值的错误。
【难度系数】
0.75
20. (8分)如图是一个抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽6 m.以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.已知点P的坐标为$(4,\dfrac{8}{3})$.
(1) 求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2) 因降暴雨水位上升1 m，此时水面宽为多少？
(1) 求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2) 因降暴雨水位上升1 m，此时水面宽为多少？
答案：20. 解:(1) 设拱桥所在抛物线的函数表达式为$y=ax(x-6)$,$\because$ 点$P(4,\dfrac{8}{3})$在该函数图象上,$\therefore \dfrac{8}{3}=4a(4-6)$,解得$a=-\dfrac{1}{3}$,$\therefore y=-\dfrac{1}{3}x(x-6)=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$,即拱桥所在抛物线的函数表达式是$y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$.
(2) 当$y=1$时,$1=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$,解得$x_1=3+\sqrt{6}$,$x_2=3-\sqrt{6}$. $\because 3+\sqrt{6}-(3-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$,$\therefore$ 因降暴雨水位上升1 m,此时水面宽为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$.
(2) 当$y=1$时,$1=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$,解得$x_1=3+\sqrt{6}$,$x_2=3-\sqrt{6}$. $\because 3+\sqrt{6}-(3-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$,$\therefore$ 因降暴雨水位上升1 m,此时水面宽为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$.
解析：
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于O(0,0)、A(6,0)两个交点，选择设交点式求解析式更简便，先设解析式为$y=ax(x-6)$，再将点P的坐标代入式子求出a的值，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 水位上升1m意味着此时水面所在位置的纵坐标为$y=1$，将$y=1$代入已求得的抛物线解析式，解对应的一元二次方程得到两个x的值，两个x值的差就是此时水面的宽度。
【解析】
(1) 设拱桥所在抛物线的函数表达式为$y=ax(x-6)$，
$\because$ 点$P(4,\dfrac{8}{3})$在该函数图象上，
$\therefore \dfrac{8}{3}=4a(4-6)$，
解得$a=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore y=-\dfrac{1}{3}x(x-6)=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$。
(2) 水位上升1m时，水面对应纵坐标$y=1$，将$y=1$代入解析式得：
$1=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$，
整理得$x^2-6x+3=0$，
解得$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$，
此时水面宽为$3+\sqrt{6}-(3-\sqrt{6})=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$
(2) $2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题型，解题核心是合理选择解析式形式简化计算，结合函数与方程的对应关系求解实际问题，属于二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴交于O(0,0)、A(6,0)两个交点，选择设交点式求解析式更简便，先设解析式为$y=ax(x-6)$，再将点P的坐标代入式子求出a的值，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 水位上升1m意味着此时水面所在位置的纵坐标为$y=1$，将$y=1$代入已求得的抛物线解析式，解对应的一元二次方程得到两个x的值，两个x值的差就是此时水面的宽度。
【解析】
(1) 设拱桥所在抛物线的函数表达式为$y=ax(x-6)$，
$\because$ 点$P(4,\dfrac{8}{3})$在该函数图象上，
$\therefore \dfrac{8}{3}=4a(4-6)$，
解得$a=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore y=-\dfrac{1}{3}x(x-6)=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$。
(2) 水位上升1m时，水面对应纵坐标$y=1$，将$y=1$代入解析式得：
$1=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$，
整理得$x^2-6x+3=0$，
解得$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$，
此时水面宽为$3+\sqrt{6}-(3-\sqrt{6})=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$
(2) $2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题型，解题核心是合理选择解析式形式简化计算，结合函数与方程的对应关系求解实际问题，属于二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7