问题 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=2x +n$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,与双曲线$y=\frac{4}{x}$在第一象限交于点$C(1,m)$.
(1) 求$m$和$n$的值;
(2) 过$x$轴上的点$D(3,0)$作平行于$y$轴的直线$l$,分别与直线$AB$和双曲线$y=\frac{4}{x}$交于点$P,Q$,求$△ APQ$的面积.
名师指导
(1) 由已知条件,根据点在双曲线上则点的坐标满足方程的关系,先将点$C$的坐标代入$y=\frac{4}{x}$,求出$m$的值;再将$C(1,m)$代入$y=2x +n$即可求出$n$的值.
(2) 求出点$A,P,Q$的坐标即可得到$△ APQ$的边$PQ$和$PQ$上的高$AD$的长,即可求得$△ APQ$的面积.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
(1) 求$m$和$n$的值;
(2) 过$x$轴上的点$D(3,0)$作平行于$y$轴的直线$l$,分别与直线$AB$和双曲线$y=\frac{4}{x}$交于点$P,Q$,求$△ APQ$的面积.
名师指导
(1) 由已知条件,根据点在双曲线上则点的坐标满足方程的关系,先将点$C$的坐标代入$y=\frac{4}{x}$,求出$m$的值;再将$C(1,m)$代入$y=2x +n$即可求出$n$的值.
(2) 求出点$A,P,Q$的坐标即可得到$△ APQ$的边$PQ$和$PQ$上的高$AD$的长,即可求得$△ APQ$的面积.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
(1) 将点$C(1,m)$代入双曲线$y=\frac{4}{x}$，
得$m=\frac{4}{1}=4$。
将$C(1,4)$代入直线$y=2x+n$，
得$4=2×1 + n$，
解得$n=2$。
(2) 对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，
因此点$A$的坐标为$(-1,0)$。
由题意知直线$l$的解析式为$x=3$，
将$x=3$代入$y=2x+2$，得$y=2×3+2=8$，即$P(3,8)$；
将$x=3$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{3}$，即$Q(3,\frac{4}{3})$。
因此$PQ=8-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$，
点$A$到直线$l$的水平距离$AD=3-(-1)=4$，
$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}· PQ· AD=\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4=\frac{40}{3}$。
综上，(1) $m=4$，$n=2$；(2) $△ APQ$的面积为$\frac{40}{3}$。
(1) 将点$C(1,m)$代入双曲线$y=\frac{4}{x}$，
得$m=\frac{4}{1}=4$。
将$C(1,4)$代入直线$y=2x+n$，
得$4=2×1 + n$，
解得$n=2$。
(2) 对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，
因此点$A$的坐标为$(-1,0)$。
由题意知直线$l$的解析式为$x=3$，
将$x=3$代入$y=2x+2$，得$y=2×3+2=8$，即$P(3,8)$；
将$x=3$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{3}$，即$Q(3,\frac{4}{3})$。
因此$PQ=8-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$，
点$A$到直线$l$的水平距离$AD=3-(-1)=4$，
$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}· PQ· AD=\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4=\frac{40}{3}$。
综上，(1) $m=4$，$n=2$；(2) $△ APQ$的面积为$\frac{40}{3}$。
解析：
【分析】
（1）求解m和n的值时，先利用“点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式”的性质，将点C(1,m)代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，即可算出m的值；再将求出的点C的完整坐标代入一次函数$y=2x+n$，解一元一次方程就能得到n的值。
（2）求△APQ的面积时，首先令一次函数的y=0，求出点A的坐标；再根据直线l过D(3,0)且平行于y轴，可知直线l的解析式为x=3，将x=3分别代入一次函数和反比例函数，得到P、Q两点的坐标，即可求出竖直方向上PQ的长度；点A到直线l的水平距离就是△APQ中PQ边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$C(1,m)$代入双曲线$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{1}=4$。
将$C(1,4)$代入直线$y=2x+n$，得$4=2×1 + n$，解得$n=2$。
(2) 对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此点$A$的坐标为$(-1,0)$。
由题意知直线$l$平行于$y$轴且过$D(3,0)$，故直线$l$的解析式为$x=3$。
将$x=3$代入$y=2x+2$，得$y=2×3+2=8$，即$P(3,8)$；
将$x=3$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{3}$，即$Q(3,\frac{4}{3})$。
因此$PQ=8-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$，
点$A$到直线$l$的距离为$3-(-1)=4$，
则$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}· PQ· 距离=\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4=\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) $m=4$，$n=2$；(2) $△ APQ$的面积为$\frac{40}{3}$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.一次函数图象上点的坐标特征
3.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是准确求出各交点坐标，灵活运用坐标计算线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）求解m和n的值时，先利用“点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式”的性质，将点C(1,m)代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，即可算出m的值；再将求出的点C的完整坐标代入一次函数$y=2x+n$，解一元一次方程就能得到n的值。
（2）求△APQ的面积时，首先令一次函数的y=0，求出点A的坐标；再根据直线l过D(3,0)且平行于y轴，可知直线l的解析式为x=3，将x=3分别代入一次函数和反比例函数，得到P、Q两点的坐标，即可求出竖直方向上PQ的长度；点A到直线l的水平距离就是△APQ中PQ边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$C(1,m)$代入双曲线$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{1}=4$。
将$C(1,4)$代入直线$y=2x+n$，得$4=2×1 + n$，解得$n=2$。
(2) 对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，因此点$A$的坐标为$(-1,0)$。
由题意知直线$l$平行于$y$轴且过$D(3,0)$，故直线$l$的解析式为$x=3$。
将$x=3$代入$y=2x+2$，得$y=2×3+2=8$，即$P(3,8)$；
将$x=3$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{3}$，即$Q(3,\frac{4}{3})$。
因此$PQ=8-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$，
点$A$到直线$l$的距离为$3-(-1)=4$，
则$S_{△ APQ}=\frac{1}{2}· PQ· 距离=\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4=\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) $m=4$，$n=2$；(2) $△ APQ$的面积为$\frac{40}{3}$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.一次函数图象上点的坐标特征
3.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是准确求出各交点坐标，灵活运用坐标计算线段长度。
【难度系数】
0.7
1. 点A是双曲线$y=\frac{k}{x}$上的一点，过点A作AB垂直x轴于点B，$△ ABO$的面积为2，则抛物线$y=-(x+1)^2 +k$的顶点坐标是（
A.$(-1,4)$
B.$(-1,-4)$
C.$(-1,4)$或$(1,4)$
D.$(-1,4)$或$(-1,-4)$
D
）A.$(-1,4)$
B.$(-1,-4)$
C.$(-1,4)$或$(1,4)$
D.$(-1,4)$或$(-1,-4)$
答案：1. D
解析：
【分析】
解题思路如下：首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，我们可以先利用△ABO的面积求出k的取值；其次回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将求得的k值代入即可得到抛物线的顶点坐标，注意k有正负两种可能，不要漏解。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $xy=k$，
∵ AB⊥x轴，△ABO是直角三角形，直角边$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∴ $S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OB × AB=\frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|k|$，
已知$S_{△ ABO}=2$，
∴ $\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$，即$k=4$或$k=-4$，
∵ 抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+k$，属于顶点式，其顶点坐标为$(-1,k)$，
∴ 当$k=4$时，顶点坐标为$(-1,4)$；当$k=-4$时，顶点坐标为$(-1,-4)$，
即抛物线顶点坐标为$(-1,4)$或$(-1,-4)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了反比例函数和二次函数的核心知识点，易错点是容易忽略反比例函数中k的正负两种取值，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，我们可以先利用△ABO的面积求出k的取值；其次回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将求得的k值代入即可得到抛物线的顶点坐标，注意k有正负两种可能，不要漏解。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $xy=k$，
∵ AB⊥x轴，△ABO是直角三角形，直角边$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∴ $S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OB × AB=\frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|k|$，
已知$S_{△ ABO}=2$，
∴ $\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$，即$k=4$或$k=-4$，
∵ 抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+k$，属于顶点式，其顶点坐标为$(-1,k)$，
∴ 当$k=4$时，顶点坐标为$(-1,4)$；当$k=-4$时，顶点坐标为$(-1,-4)$，
即抛物线顶点坐标为$(-1,4)$或$(-1,-4)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了反比例函数和二次函数的核心知识点，易错点是容易忽略反比例函数中k的正负两种取值，导致漏解。
【难度系数】
0.7