【分析】
这是一道求解一元二次方程的基础题，可采用因式分解法求解。解题思路是先对等式左边的多项式提取公因式进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后即可得到原方程的解，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础求解方法，掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题要求选出没有实数根的方程，解题需逐一分析每个选项的方程类型，结合对应方程的根的判定方法求解或判断：一元一次方程直接移项求解，一元二次方程可通过根的判别式判断根的情况，分式方程求解后需验根，最终筛选出无实根的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$2x+3=0$是一元一次方程，移项得$2x=-3$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$，有实数根，不符合题意；
B. 方程$x^2-3=0$是一元二次方程，移项得$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 方程$\dfrac{2}{x+1}=1$是分式方程，去分母得$2=x+1$，解得$x=1$，检验：将$x=1$代入原方程分母，$x+1=2≠0$，故$x=1$是原方程的根，有实数根，不符合题意；
D. 方程$x^2+x+1=0$是一元二次方程，其中$a=1,b=1,c=1$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×1=-3＜0$，因此该方程没有实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；一元二次方程根的判别式；分式方程的解
【点评】
本题属于基础类题型，综合考查了常见方程的实数根判断方法，熟练掌握各类方程的求解规则、一元二次方程判别式的用法是解题的核心。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题的核心是利用反比例函数图象上点的坐标特征：所有在反比例函数图象上的点，其横、纵坐标的乘积等于反比例函数的比例系数k（k为定值）。解题思路可分为两步：第一步，将已知点A的坐标代入反比例函数表达式，求出比例系数k；第二步，将点B的坐标代入含k的反比例函数表达式，即可求出m的值。也可直接利用两个点的横纵坐标乘积相等列等式求解，省略求k的步骤。
【解析】
解法一：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 点$A(3,-4)$在反比例函数图象上
∴ 将$x=3$，$y=-4$代入解析式得：$-4=\frac{k}{3}$，解得$k=3×(-4)=-12$
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{-12}{x}$
又
∵ 点$B(-2,m)$也在该反比例函数图象上
∴ 将$x=-2$，$y=m$代入得：$m=\frac{-12}{-2}=6$
解法二：
∵ 点A、B在同一个反比例函数的图象上
∴ 两点的横、纵坐标乘积相等，即$3×(-4)=(-2)× m$
整理得：$-12=-2m$，解得$m=6$
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，解题关键是掌握反比例函数图象上点的横纵坐标乘积恒等于比例系数k，两种解题方法都较为简便，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用方程的解的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出常数c的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为-b/a，已知方程的二次项系数、一次项系数和其中一个根，可直接计算出另一根，该方法计算更简便。
【解析】
方法1：代入求参法
将x=2代入方程$x^2 -6x +c=0$，得：
$2^2 -6×2 +c=0$
$4-12+c=0$
解得$c=8$
原方程为$x^2 -6x +8=0$
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即另一根为4。
方法2：韦达定理法
设方程的另一根为$x_1$，对于方程$x^2 -6x +c=0$，$a=1$，$b=-6$
根据根与系数的关系，两根之和满足：$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = 6$
解得$x_1=6-2=4$，即另一根为4。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都属于核心考点，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时首先明确原正方形边长为x m，分析边长变化：一边减少1m后长度为(x-1)m，另一边减少2m后长度为(x-2)m，剩余空地为长方形，根据长方形面积=长×宽，结合已知剩余面积为18 m²，即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m。
由题意可知，剩余空地为长方形，其两条邻边的长度分别为(x-1)m和(x-2)m。
根据长方形面积公式，结合剩余空地面积为18 m²，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$
与选项对比，C选项符合该方程。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，正方形性质
【点评】
本题是基础的几何类方程应用题，解题关键是准确梳理图形边长的变化关系，结合面积公式建立等量关系，难度较低，只要注意是边长减少做减法，就不容易出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道抛物线平移求解析式的问题，首先回忆二次函数图象平移的核心规律：平移过程中二次项系数a不变，遵循“左加右减，上加下减”的原则，其中“左加右减”是针对自变量x进行变换，“上加下减”是针对函数整体的常数项进行变换。我们按照题目给出的平移顺序，逐步对原解析式进行变换即可得到平移后的解析式。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=3x^2$
1. 第一步向上平移5个单位长度，根据“上加下减”原则，给函数整体加5，可得平移后的解析式为：
$y=3x^2 + 5$
2. 第二步向左平移3个单位长度，根据“左加右减”原则，将解析式中的$x$替换为$x+3$，可得最终的抛物线解析式为：
$y=3(x+3)^2 + 5$
对比选项，结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象平移
2.函数平移规律
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是准确掌握平移口诀，尤其注意“左加右减”是对自变量x本身进行变换，若x前有系数，需要先给x加/减平移单位后再乘系数，避免符号混淆。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断二次函数相关说法的正误，需结合二次函数的基本性质逐一分析选项：首先从一般式$y=ax^2+bx+c$中提取$a、b、c$的值，先判断开口方向，再计算对称轴、最值，分析增减性，最后通过判别式判断图象和$x$轴的交点个数即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x-3$，其中$a=-1$，$b=2$，$c=-3$：
1. 分析A选项：
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线图象开口向下，A错误。
2. 分析B选项：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
$\because$ 开口向下，$\therefore$ 顶点处$y$取最大值，
将$x=1$代入函数得$y=-1^2+2×1-3=-2$，即$x=1$时$y$有最大值$-2$，B正确。
3. 分析C选项：
抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此当$x＜1$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，并非$x＞0$时$y$就随$x$增大而增大，C错误。
4. 分析D选项：
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×(-3)=4-12=-8＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值、增减性、与坐标轴交点的判断方法，牢记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时我们按以下思路逐步推导：①先求直线$y=-x+5$与x轴交点C的坐标，得到OC的长度；②结合$△ BOC$的面积求出点B的纵坐标，代入直线解析式得到B点坐标，再将B点代入反比例函数求出k值，确定反比例函数解析式；③求出直线向下平移1个单位后的新解析式，将新直线与反比例函数解析式联立，转化为一元二次方程，通过判别式判断方程根的个数，即可得到交点个数。
【解析】
1. 求点C坐标：
对于直线$y=-x+5$，令$y=0$，得$0=-x+5$，解得$x=5$，故$C(5,0)$，$OC=5$。
2. 求点B坐标：
已知$S_{△ BOC}=\frac{5}{2}$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为OC，高为B点的纵坐标$y_B$，因此：
$\frac{1}{2}× OC× y_B=\frac{5}{2}$，代入$OC=5$，得$\frac{1}{2}×5× y_B=\frac{5}{2}$，解得$y_B=1$。
因为点B在直线$y=-x+5$上，将$y=1$代入得$1=-x+5$，解得$x=4$，故$B(4,1)$。
3. 求反比例函数解析式：
将$B(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{4}$，解得$k=4$，即双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
4. 求平移后直线与双曲线的交点个数：
直线$y=-x+5$向下平移1个单位，根据平移规律“上加下减”，得新直线解析式为$y=-x+5-1=-x+4$。
联立新直线与双曲线解析式：
$\begin{cases}y=-x+4\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$
消去y得：$-x+4=\frac{4}{x}$，两边同乘$x$（$x＞0$，不为0）整理得$x^2-4x+4=0$。
计算判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×4=16-16=0$，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即平移后直线与双曲线只有1个交点。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图象平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的函数综合类题型，将三角形面积、函数平移、方程与函数的关系结合考察，解题的核心是先通过已知条件确定反比例函数的解析式，再利用“联立函数解析式转化为一元二次方程，通过判别式判断交点个数”的方法求解，思路清晰，技巧性适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
二次函数的图象是轴对称图形，纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半，且二次函数的顶点就在对称轴上。因此我们可以先通过表格中y值相等的点求出对称轴，再找到对称轴对应的函数值，即可得到顶点坐标。
【解析】
观察表格数据可知：当$x=-3$和$x=-1$时，对应的函数值$y$都为$-3$，
∴点$(-3,-3)$和点$(-1,-3)$关于二次函数的对称轴对称，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，
∵二次函数的顶点在其对称轴上，结合表格可得$x=-2$时，$y=-2$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(-2,-2)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点特征
【点评】
本题无需推导二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速定位顶点坐标，解题关键是找到纵坐标相同的对称点确定对称轴，能够有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7