1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=70°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$70°$,B,C旋转后的对应点分别是$B'$和$C'$,连接$BB'$,则$∠ ABB'$的度数是 （
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$55°$
（第1题）
D
）A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$55°$
（第1题）答案：1. D.
解析：
【分析】
解题时首先从已知的旋转条件出发，回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先确定AB与旋转后的对应边AB'长度相等，且旋转角∠BAB'等于70°，由此可判断△ABB'为等腰三角形，顶角为70°，接下来结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和为180°，即可计算出底角∠ABB'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转70°得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=70°，
∴△ABB'为等腰三角形，
根据三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质，可得：
$∠ ABB' = \frac{180° - ∠ BAB'}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是准确找到旋转后的对应边和旋转角，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的旋转条件出发，回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先确定AB与旋转后的对应边AB'长度相等，且旋转角∠BAB'等于70°，由此可判断△ABB'为等腰三角形，顶角为70°，接下来结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和为180°，即可计算出底角∠ABB'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转70°得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=70°，
∴△ABB'为等腰三角形，
根据三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质，可得：
$∠ ABB' = \frac{180° - ∠ BAB'}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是准确找到旋转后的对应边和旋转角，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：
① $AB⊥MN$；② $∠BMN=30°$；③ $MN=AM$；④ $BN// AM$。
其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① $AB⊥MN$；② $∠BMN=30°$；③ $MN=AM$；④ $BN// AM$。
其中正确的有 （
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：2. A.
解析：
【分析】
解题思路：首先结合旋转的性质和等边三角形的性质推导核心结论，再逐个验证4个结论是否对BC上任意点M都成立。
步骤1：回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AN=AM，∠NAB=∠MAC，∠ABN=∠C；
步骤2：结合等边△ABC中∠BAC=60°，推导得∠NAM=∠BAC=60°，即可判定△AMN是等边三角形，先判断结论③；
步骤3：对剩余3个结论，通过分析“仅当M为特殊点时结论成立，任意点时不成立”，即可判断其错误。
【解析】
解：
∵△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，
∴AN=AM，∠NAB=∠MAC，∠ABN=∠C。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∴∠NAM=∠NAB+∠BAM=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
又
∵AN=AM，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AM，故③正确。
分析其余结论：
①AB⊥MN：仅当M是BC中点时，AB平分∠NAM，才有AB⊥MN，M为任意点时不成立，故①错误；
②∠BMN=30°：设∠BAM=α，可得∠BMN=60°-α，仅当α=30°（即M为BC中点）时∠BMN=30°，M为任意点时不成立，故②错误；
④BN//AM：若BN//AM则需∠BAM=∠ABN=60°，仅当M与C重合时成立，M为任意点时不成立，故④错误。
综上，仅1个结论正确。
【答案】A
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与等边三角形的综合应用题，解题核心是先推导出△AMN为等边三角形，需注意“M是BC上任意一点”，结论需要对所有情况都成立才算正确，可通过举特殊点反例快速排除错误结论。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合旋转的性质和等边三角形的性质推导核心结论，再逐个验证4个结论是否对BC上任意点M都成立。
步骤1：回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AN=AM，∠NAB=∠MAC，∠ABN=∠C；
步骤2：结合等边△ABC中∠BAC=60°，推导得∠NAM=∠BAC=60°，即可判定△AMN是等边三角形，先判断结论③；
步骤3：对剩余3个结论，通过分析“仅当M为特殊点时结论成立，任意点时不成立”，即可判断其错误。
【解析】
解：
∵△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，
∴AN=AM，∠NAB=∠MAC，∠ABN=∠C。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∴∠NAM=∠NAB+∠BAM=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
又
∵AN=AM，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AM，故③正确。
分析其余结论：
①AB⊥MN：仅当M是BC中点时，AB平分∠NAM，才有AB⊥MN，M为任意点时不成立，故①错误；
②∠BMN=30°：设∠BAM=α，可得∠BMN=60°-α，仅当α=30°（即M为BC中点）时∠BMN=30°，M为任意点时不成立，故②错误；
④BN//AM：若BN//AM则需∠BAM=∠ABN=60°，仅当M与C重合时成立，M为任意点时不成立，故④错误。
综上，仅1个结论正确。
【答案】A
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与等边三角形的综合应用题，解题核心是先推导出△AMN为等边三角形，需注意“M是BC上任意一点”，结论需要对所有情况都成立才算正确，可通过举特殊点反例快速排除错误结论。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在正方形网格中,线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C,D均为格点,A的对应点是点C),若点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3),则旋转中心O点的坐标为 (
A.(1,1)
B.(4,4)
C.(2,1)
D.(1,1)或(4,4)
A
)A.(1,1)
B.(4,4)
C.(2,1)
D.(1,1)或(4,4)
答案：3. A.
解析：
【分析】
要确定旋转中心，依据旋转的性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。本题已知A的对应点是C，AB旋转后与CD重合，因此B的对应点是D，我们先结合已知点坐标确定C、D的坐标，再分别求AC、BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O的坐标。
【解析】
由点A(-1,5)、B(3,3)可知网格的单位长度为1，结合网格可得C点坐标为(5,3)，D点坐标为(3,-1)。
1. 求BD的垂直平分线：
B(3,3)、D(3,-1)的横坐标相同，线段BD为竖直线，其中点坐标为$(3,\frac{3+(-1)}{2})=(3,1)$，因此BD的垂直平分线是过中点且垂直于BD的水平线，解析式为$y=1$。
2. 求AC的垂直平分线：
A(-1,5)、C(5,3)的中点坐标为$(\frac{-1+5}{2},\frac{5+3}{2})=(2,4)$，
线段AC的斜率$k_{AC}=\frac{3-5}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}$，因此其垂直平分线的斜率为$3$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$）。
由点斜式可得AC的垂直平分线解析式：$y-4=3(x-2)$，整理得$y=3x-2$。
3. 求交点：
将$y=1$代入$y=3x-2$，得$1=3x-2$，解得$x=1$，即交点坐标为$(1,1)$，也就是旋转中心O的坐标。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，垂直平分线的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题解题的核心是掌握旋转中心的确定方法，需要注意题目明确给出了对应点关系，避免误算另一组对应点的情况，结合坐标计算垂直平分线时要细心，不要算错中点和斜率。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，依据旋转的性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。本题已知A的对应点是C，AB旋转后与CD重合，因此B的对应点是D，我们先结合已知点坐标确定C、D的坐标，再分别求AC、BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O的坐标。
【解析】
由点A(-1,5)、B(3,3)可知网格的单位长度为1，结合网格可得C点坐标为(5,3)，D点坐标为(3,-1)。
1. 求BD的垂直平分线：
B(3,3)、D(3,-1)的横坐标相同，线段BD为竖直线，其中点坐标为$(3,\frac{3+(-1)}{2})=(3,1)$，因此BD的垂直平分线是过中点且垂直于BD的水平线，解析式为$y=1$。
2. 求AC的垂直平分线：
A(-1,5)、C(5,3)的中点坐标为$(\frac{-1+5}{2},\frac{5+3}{2})=(2,4)$，
线段AC的斜率$k_{AC}=\frac{3-5}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}$，因此其垂直平分线的斜率为$3$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$）。
由点斜式可得AC的垂直平分线解析式：$y-4=3(x-2)$，整理得$y=3x-2$。
3. 求交点：
将$y=1$代入$y=3x-2$，得$1=3x-2$，解得$x=1$，即交点坐标为$(1,1)$，也就是旋转中心O的坐标。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，垂直平分线的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题解题的核心是掌握旋转中心的确定方法，需要注意题目明确给出了对应点关系，避免误算另一组对应点的情况，结合坐标计算垂直平分线时要细心，不要算错中点和斜率。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，B'C'交AB于点E，则B'E=
3√3−3
。答案：4. 3√3−3.
解析：
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC、BC的长度以及∠BAC的度数；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，计算出∠C'AE的度数，判断出△AC'E为等腰直角三角形，求出C'E的长度；最后用B'C'的长度减去C'E的长度即可得到B'E的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，
∴ ∠BAC=90°-∠B=60°，$AC=\frac{1}{2}AB=3$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
由旋转的性质可知：$AC'=AC=3$，$B'C'=BC=3\sqrt{3}$，∠C'=∠C=90°，旋转角∠CAC'=15°，
∴ ∠C'AE=∠BAC - ∠CAC'=60°-15°=45°，
∴ △AC'E是等腰直角三角形，
∴ $C'E=AC'=3$，
∴ $B'E=B'C'-C'E=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与特殊直角三角形结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后图形全等的性质，通过角度推导得到特殊三角形，进而计算线段长度，有助于巩固旋转和直角三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC、BC的长度以及∠BAC的度数；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，计算出∠C'AE的度数，判断出△AC'E为等腰直角三角形，求出C'E的长度；最后用B'C'的长度减去C'E的长度即可得到B'E的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，
∴ ∠BAC=90°-∠B=60°，$AC=\frac{1}{2}AB=3$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
由旋转的性质可知：$AC'=AC=3$，$B'C'=BC=3\sqrt{3}$，∠C'=∠C=90°，旋转角∠CAC'=15°，
∴ ∠C'AE=∠BAC - ∠CAC'=60°-15°=45°，
∴ △AC'E是等腰直角三角形，
∴ $C'E=AC'=3$，
∴ $B'E=B'C'-C'E=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与特殊直角三角形结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后图形全等的性质，通过角度推导得到特殊三角形，进而计算线段长度，有助于巩固旋转和直角三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
5. 如图,等腰 Rt△ABC 中,BA=BC,∠ABC=90°,点 D 在 AC 上,将△ABD 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°后,得到△CBE.
(1) 求∠DCE 的度数;
(2) 若 AB=4,CD=3AD,求 DE 的长.
(1) 求∠DCE 的度数;
(2) 若 AB=4,CD=3AD,求 DE 的长.
答案：5. (1) 90°；(2) 2√5.
解析：
【分析】
(1) 解题思路：先根据等腰直角三角形的性质得到∠A和∠ACB的度数，再利用旋转前后图形全等的性质，得到∠BCE与∠A相等，最后将∠ACB和∠BCE相加即可求出∠DCE的度数。
(2) 解题思路：先利用勾股定理求出等腰Rt△ABC的斜边AC的长度，再结合CD=3AD的条件求出AD、CD的长度，根据旋转性质可得AD=CE，最后在Rt△DCE中利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=45°+45°=90°。
(2) 解：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∵CD=3AD，AD+CD=AC，
∴$AD=\frac{1}{4}AC=\sqrt{2}$，$CD=\frac{3}{4}AC=3\sqrt{2}$，
由旋转的性质可得：CE=AD=$\sqrt{2}$，
由(1)知∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE中，$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，解题的核心是抓住旋转前后图形全等、对应边对应角相等的特征，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，是旋转章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先根据等腰直角三角形的性质得到∠A和∠ACB的度数，再利用旋转前后图形全等的性质，得到∠BCE与∠A相等，最后将∠ACB和∠BCE相加即可求出∠DCE的度数。
(2) 解题思路：先利用勾股定理求出等腰Rt△ABC的斜边AC的长度，再结合CD=3AD的条件求出AD、CD的长度，根据旋转性质可得AD=CE，最后在Rt△DCE中利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=45°+45°=90°。
(2) 解：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∵CD=3AD，AD+CD=AC，
∴$AD=\frac{1}{4}AC=\sqrt{2}$，$CD=\frac{3}{4}AC=3\sqrt{2}$，
由旋转的性质可得：CE=AD=$\sqrt{2}$，
由(1)知∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE中，$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，解题的核心是抓住旋转前后图形全等、对应边对应角相等的特征，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，是旋转章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7