4. 过点 $ P $ 画已知直线 $ l $ 的垂线和平行线，两条平行线间的距离是(
3
)厘米。答案：4. 3
解析：
【分析】
我们可以按照先作图、再测量的思路解题：首先回忆尺规作图的规则，第一步先画过点P垂直于直线l的垂线，得到点P到直线l的垂线段，这条线段就是两条平行线的公垂线段；第二步画过点P且平行于直线l的平行线；最后用刻度尺测量两条平行线之间的公垂线段的长度，就能得到最终结果。具体操作时，画垂线要让三角板的直角边先对齐已知直线，平移后让另一条直角边经过点P再画线；画平行线要借助直尺固定平移方向，保证平移过程中三角板的边始终和原直线对齐。
【解析】
1. 绘制垂线：将三角板的一条直角边与已知直线l完全重合，沿直线l平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点P，沿该直角边画出直线，即为直线l的垂线，得到点P到直线l的垂线段。
2. 绘制平行线：将三角板的一条直角边与直线l重合，用直尺紧贴三角板的另一条直角边，沿直尺平移三角板，使原本和l重合的直角边经过点P，沿该直角边画出直线，即为过点P且平行于l的直线。
3. 用刻度尺测量两条平行线之间的公垂线段的长度，读数得到长度为3厘米。
【答案】
3
【知识点】
作垂线，作平行线，平行线间距离
【点评】
本题是几何基础操作题，重点考察垂线、平行线的标准作图方法，同时明确平行线间的距离就是二者公垂线段的长度，测量时注意将刻度尺零刻度线对齐线段端点，避免读数误差。
【难度系数】
0.7
我们可以按照先作图、再测量的思路解题：首先回忆尺规作图的规则，第一步先画过点P垂直于直线l的垂线，得到点P到直线l的垂线段，这条线段就是两条平行线的公垂线段；第二步画过点P且平行于直线l的平行线；最后用刻度尺测量两条平行线之间的公垂线段的长度，就能得到最终结果。具体操作时，画垂线要让三角板的直角边先对齐已知直线，平移后让另一条直角边经过点P再画线；画平行线要借助直尺固定平移方向，保证平移过程中三角板的边始终和原直线对齐。
【解析】
1. 绘制垂线：将三角板的一条直角边与已知直线l完全重合，沿直线l平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点P，沿该直角边画出直线，即为直线l的垂线，得到点P到直线l的垂线段。
2. 绘制平行线：将三角板的一条直角边与直线l重合，用直尺紧贴三角板的另一条直角边，沿直尺平移三角板，使原本和l重合的直角边经过点P，沿该直角边画出直线，即为过点P且平行于l的直线。
3. 用刻度尺测量两条平行线之间的公垂线段的长度，读数得到长度为3厘米。
【答案】
3
【知识点】
作垂线，作平行线，平行线间距离
【点评】
本题是几何基础操作题，重点考察垂线、平行线的标准作图方法，同时明确平行线间的距离就是二者公垂线段的长度，测量时注意将刻度尺零刻度线对齐线段端点，避免读数误差。
【难度系数】
0.7
5. 过点 $ O $ 画 $ ∠ A $ 的边 $ AB $ 的垂直线段，画 $ ∠ A $的边 $ AC $ 的平行线。点 $ O $ 到边 $ AB $ 的距离是(
1
)厘米，到边 $ AC $ 的距离是(1
)厘米。答案：5. 1,1
解析：
【分析】
这道题需要先完成指定的作图操作，再通过测量得到点到边的距离。首先梳理解题思路：第一步要画点O到AB的垂线段，利用三角板的直角特性，让一条直角边和AB重合，平移三角板让另一条直角边过O点，画出从O到AB的垂线段，这条垂线段的长度就是O到AB的距离。第二步画AC的平行线，借助三角板和直尺的平移法，对齐AC后平移三角板过O点画出平行线。最后用刻度尺分别测量点O到AB的垂线段长度、点O到AC的垂线段长度，就能得到两个距离的数值。
【解析】
1. 作点O到AB的垂线段：
将三角板的一条直角边与边AB完全重合，沿AB方向平移三角板，使三角板的另一条直角边恰好经过点O，沿该直角边从点O向AB作线段，线段的另一端落在AB上，该线段就是点O到AB的垂线段。
2. 作过点O且平行于AC的直线：
将三角板的一条边与边AC完全重合，把直尺紧贴三角板的另一条边，固定直尺后平移三角板，使原本与AC重合的边经过点O，沿该边画出直线，即为AC的平行线。
3. 测量距离：
使用刻度尺分别测量点O到AB的垂线段的长度，读数得到长度为1厘米；再测量点O到AC的垂线段的长度，读数得到长度为1厘米。
【答案】
1，1
【知识点】
垂线的画法；平行线的画法；点到直线的距离
【点评】
本题综合考察了基础几何作图能力和长度测量能力，核心要明确“点到直线的距离”指的是点到直线的垂线段的长度，而非垂线段本身，测量时注意刻度尺与线段对齐，读数时视线与尺面垂直即可得到准确结果。
【难度系数】
0.7
这道题需要先完成指定的作图操作，再通过测量得到点到边的距离。首先梳理解题思路：第一步要画点O到AB的垂线段，利用三角板的直角特性，让一条直角边和AB重合，平移三角板让另一条直角边过O点，画出从O到AB的垂线段，这条垂线段的长度就是O到AB的距离。第二步画AC的平行线，借助三角板和直尺的平移法，对齐AC后平移三角板过O点画出平行线。最后用刻度尺分别测量点O到AB的垂线段长度、点O到AC的垂线段长度，就能得到两个距离的数值。
【解析】
1. 作点O到AB的垂线段：
将三角板的一条直角边与边AB完全重合，沿AB方向平移三角板，使三角板的另一条直角边恰好经过点O，沿该直角边从点O向AB作线段，线段的另一端落在AB上，该线段就是点O到AB的垂线段。
2. 作过点O且平行于AC的直线：
将三角板的一条边与边AC完全重合，把直尺紧贴三角板的另一条边，固定直尺后平移三角板，使原本与AC重合的边经过点O，沿该边画出直线，即为AC的平行线。
3. 测量距离：
使用刻度尺分别测量点O到AB的垂线段的长度，读数得到长度为1厘米；再测量点O到AC的垂线段的长度，读数得到长度为1厘米。
【答案】
1，1
【知识点】
垂线的画法；平行线的画法；点到直线的距离
【点评】
本题综合考察了基础几何作图能力和长度测量能力，核心要明确“点到直线的距离”指的是点到直线的垂线段的长度，而非垂线段本身，测量时注意刻度尺与线段对齐，读数时视线与尺面垂直即可得到准确结果。
【难度系数】
0.7
6. 画出与直线 $ l $ 距离 $ 2 $ 厘米的直线，这样的直线有几条？
答案：6. 略,2条
解析：
【分析】
我们可以从平行线间距离的定义出发思考：首先，若一条直线上所有点到已知直线$l$的距离都等于2厘米，那么这条直线必然和$l$互相平行。接下来观察直线$l$，它有两个完全相反的分布侧，在其中任意一侧，都可以作出1条和$l$平行、间距为2厘米的直线，不存在其他位置的直线能保证整条直线到$l$的距离恒为2厘米，因此我们只需要分别在$l$的两侧作出符合要求的平行线，再统计总数量即可。
【解析】
1. 作图步骤：
① 在直线$l$上任意选取一点$P$，过点$P$作直线$l$的垂线；
② 在这条垂线上，从点$P$出发分别向垂线的两个方向截取长度为2cm的线段，得到两个不同的点$M$、$N$；
③ 分别过点$M$、$N$作直线$l$的平行线，得到的两条直线就是所有满足“与直线$l$距离为2厘米”的直线。
2. 数量统计：符合要求的直线总共有2条。
【答案】
作图略，这样的直线有2条
【知识点】
平行线间的距离，作平行线
【点评】
本题的易错点是容易遗漏直线$l$另一侧的符合要求的直线，不少同学会误以为只有1条满足条件的直线，要明确：和已知直线距离为定值的直线，一定是和已知直线平行的，且在已知直线的两侧各存在一条，总数为2。
【难度系数】
0.7
我们可以从平行线间距离的定义出发思考：首先，若一条直线上所有点到已知直线$l$的距离都等于2厘米，那么这条直线必然和$l$互相平行。接下来观察直线$l$，它有两个完全相反的分布侧，在其中任意一侧，都可以作出1条和$l$平行、间距为2厘米的直线，不存在其他位置的直线能保证整条直线到$l$的距离恒为2厘米，因此我们只需要分别在$l$的两侧作出符合要求的平行线，再统计总数量即可。
【解析】
1. 作图步骤：
① 在直线$l$上任意选取一点$P$，过点$P$作直线$l$的垂线；
② 在这条垂线上，从点$P$出发分别向垂线的两个方向截取长度为2cm的线段，得到两个不同的点$M$、$N$；
③ 分别过点$M$、$N$作直线$l$的平行线，得到的两条直线就是所有满足“与直线$l$距离为2厘米”的直线。
2. 数量统计：符合要求的直线总共有2条。
【答案】
作图略，这样的直线有2条
【知识点】
平行线间的距离，作平行线
【点评】
本题的易错点是容易遗漏直线$l$另一侧的符合要求的直线，不少同学会误以为只有1条满足条件的直线，要明确：和已知直线距离为定值的直线，一定是和已知直线平行的，且在已知直线的两侧各存在一条，总数为2。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$ ∠ 1 = 35° $，$ ∠ 2 = 55° $。直线 $ a $ 与直线 $ b $是什么位置关系？用计算来验证。
答案：7. $∠ 3=180°-35°-55°=90°$,互相垂直
解析：
【分析】
首先观察图形可以发现，∠1、∠2、∠3三个角共同组成一个平角，平角的度数固定为180°。我们已知∠1和∠2的具体度数，就可以通过平角的性质计算出∠3的度数，而∠3恰好是直线a和直线b的夹角，若计算得到夹角为90°，就可以根据垂直的定义直接判定两条直线的位置关系，整个解题逻辑清晰，先求夹角再判定位置。
【解析】
解：由图可知，∠1、∠2、∠3共同构成平角，因此三个角的和为180°。
将∠1=35°，∠2=55°代入计算∠3的度数：
∠3 = 180° - ∠1 - ∠2
= 180° - 35° - 55°
= 90°
根据垂直的定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线互相垂直，因此直线a和直线b互相垂直。
【答案】
∠3=180°-35°-55°=90°,互相垂直
【知识点】
平角性质，垂直定义
【点评】
本题是相交线章节的基础判定题，核心思路是利用平角为180°求出两直线的夹角，再结合垂直的定义完成位置关系判断，能够帮助学生巩固相交线相关的基础概念，解题门槛低，需要明确牢记垂直的判定条件是两直线夹角为直角。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可以发现，∠1、∠2、∠3三个角共同组成一个平角，平角的度数固定为180°。我们已知∠1和∠2的具体度数，就可以通过平角的性质计算出∠3的度数，而∠3恰好是直线a和直线b的夹角，若计算得到夹角为90°，就可以根据垂直的定义直接判定两条直线的位置关系，整个解题逻辑清晰，先求夹角再判定位置。
【解析】
解：由图可知，∠1、∠2、∠3共同构成平角，因此三个角的和为180°。
将∠1=35°，∠2=55°代入计算∠3的度数：
∠3 = 180° - ∠1 - ∠2
= 180° - 35° - 55°
= 90°
根据垂直的定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线互相垂直，因此直线a和直线b互相垂直。
【答案】
∠3=180°-35°-55°=90°,互相垂直
【知识点】
平角性质，垂直定义
【点评】
本题是相交线章节的基础判定题，核心思路是利用平角为180°求出两直线的夹角，再结合垂直的定义完成位置关系判断，能够帮助学生巩固相交线相关的基础概念，解题门槛低，需要明确牢记垂直的判定条件是两直线夹角为直角。
【难度系数】
0.9