9. (2025·宿城区期中)如图,阴影部分表示以$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记作$S_{1}$和$S_{2}$.若$S_{1}+S_{2}=7,AB=6$,则$△ ABC$的周长为
14
.答案：9.14
10. 如图①,在$△ ABC$中,$AB=15,BC=14,AC=13$,求$△ ABC$的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了如图②的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
某学习小组经过合作交流,给出了如图②的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
答案：
解:如答图,过点A作$AD⊥ BC$于点D.
设$BD=x$,则$CD=14-x$.
由勾股定理,得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$,
$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,
$\therefore 15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,解得$x=9$,$\therefore AD=12$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}× 14× 12=84$.
解:如答图,过点A作$AD⊥ BC$于点D.
设$BD=x$,则$CD=14-x$.
由勾股定理,得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$,
$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,
$\therefore 15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,解得$x=9$,$\therefore AD=12$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}× 14× 12=84$.
11. (2025·兴化期中)如图,小明在"探索"勾股定理时,把一个直立的火柴盒$ABCD$放倒后变成$AB'C'D'$,通过不同的方法计算梯形$B'C'CD$的面积,可以验证勾股定理.请写出验证过程.
模型积累
"赵爽弦图"模型
[条件]四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.
[结论]$S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{△ ABF};AB^{2}=AF^{2}+BF^{2};AF-BF=EF$.
模型积累
"赵爽弦图"模型
[条件]四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.
[结论]$S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{△ ABF};AB^{2}=AF^{2}+BF^{2};AF-BF=EF$.
答案：
解:如答图,连接$AC,AC'$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,设直角边
$AD=a,CD=b$,斜边$AC=c$,则$∠ CAC'=90°$.
$\because S_{梯形CDB'C'}=2S_{△ ACD}+S_{△ ACC'}$,
$\therefore \frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2× \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$.
$\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即直角三角形的两直角边的平方和等于
斜边的平方.
解:如答图,连接$AC,AC'$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,设直角边
$AD=a,CD=b$,斜边$AC=c$,则$∠ CAC'=90°$.
$\because S_{梯形CDB'C'}=2S_{△ ACD}+S_{△ ACC'}$,
$\therefore \frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2× \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$.
$\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即直角三角形的两直角边的平方和等于
斜边的平方.