10. 如图,在正方形$ABCD$中,$F$是$DC$边的中点,$E$为$BC$边上的一点,且$EC=\frac{1}{4}BC$.连接$AF$,$EF$,请猜想$AF$与$EF$的关系,并说明理由.
答案：10.解:AF=2EF,AF⊥EF.
理由:连接AE.设EC=a,则DC=DA=AB=BC=4a,
∴BE=3a,CF=DF=2a.
由勾股定理得AE=5a,EF=$\sqrt{5}a$,AF=$2\sqrt{5}a$,
∴AF=2EF.
∵$(\sqrt{5}a)^{2}+(2\sqrt{5}a)^{2}=(5a)^{2}$,即$EF^{2}+AF^{2}=AE^{2}$,
∴△AEF为直角三角形,斜边为AE,
故∠AFE=90°,即AF⊥EF.
理由:连接AE.设EC=a,则DC=DA=AB=BC=4a,
∴BE=3a,CF=DF=2a.
由勾股定理得AE=5a,EF=$\sqrt{5}a$,AF=$2\sqrt{5}a$,
∴AF=2EF.
∵$(\sqrt{5}a)^{2}+(2\sqrt{5}a)^{2}=(5a)^{2}$,即$EF^{2}+AF^{2}=AE^{2}$,
∴△AEF为直角三角形,斜边为AE,
故∠AFE=90°,即AF⊥EF.
11. 我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.
观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数:
(2)若第一个数用字母$n$($n$为奇数,且$n≥3$)表示,那么后两个数用含$n$的代数式分别表示为$\frac{n^{2}-1}{2}$和$\frac{n^{2}+1}{2}$,请用所学知识说明它们是一组勾股数.
观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数:
11,60,61
;(2)若第一个数用字母$n$($n$为奇数,且$n≥3$)表示,那么后两个数用含$n$的代数式分别表示为$\frac{n^{2}-1}{2}$和$\frac{n^{2}+1}{2}$,请用所学知识说明它们是一组勾股数.
答案：11.(1)11,60,61
(2)解:
∵$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=$
$\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4},(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,
∴$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$.又
∵n≥3,且n为奇数,
∴n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$三个数是一组勾股数.
(2)解:
∵$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=$
$\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4},(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,
∴$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$.又
∵n≥3,且n为奇数,
∴n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$三个数是一组勾股数.
12. (2025·湖南)已知$a$,$b$,$c$是$△ ABC$的三边长,记$t=(\frac{a}{c})^{k}+(\frac{b}{c})^{k}$,其中$k$为整数.
(1)若$△ ABC$为等边三角形,则$t=$
(2)下列结论正确的是
①若$k=2$,$t=1$,则$△ ABC$为直角三角形;
②若$k=1$,$a=\frac{1}{2}b+2$,$c=1$,则$5＜ t＜11$;
③若$k=1$,$t≤\frac{5}{3}$,$a$,$b$,$c$为三个连续整数,且$a＜ b＜ c$,则满足条件的$△ ABC$的个数为7.
(1)若$△ ABC$为等边三角形,则$t=$
2
;(2)下列结论正确的是
①②
.(写出所有正确结论的序号)①若$k=2$,$t=1$,则$△ ABC$为直角三角形;
②若$k=1$,$a=\frac{1}{2}b+2$,$c=1$,则$5＜ t＜11$;
③若$k=1$,$t≤\frac{5}{3}$,$a$,$b$,$c$为三个连续整数,且$a＜ b＜ c$,则满足条件的$△ ABC$的个数为7.
答案：12.(1)2 (2)①②