8. (2025·娄底一模)如图,点$A,D,C,B$在同一条直线上,$AD=BC,AE=BF,CE=DF$.求证:
(1)$AE// FB$;
(2)四边形$CFDE$是平行四边形.
(1)$AE// FB$;
(2)四边形$CFDE$是平行四边形.
答案：8.证明:(1)
∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,即
AC=BD.
又
∵AE=BF,CE=DF,
∴△AEC≅△BFD(SSS).
∴∠A=∠B,
∴AE//FB.
(2)
∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BF,
∴△AED≅△BFC(SAS).
∴DE=CF.
又
∵CE=DF,
∴四边形CFDE是平行四边形.
∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,即
AC=BD.
又
∵AE=BF,CE=DF,
∴△AEC≅△BFD(SSS).
∴∠A=∠B,
∴AE//FB.
(2)
∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BF,
∴△AED≅△BFC(SAS).
∴DE=CF.
又
∵CE=DF,
∴四边形CFDE是平行四边形.
9. (2025·泰安期末)如图,$□ ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,$E,F$分别是$OB,OD$的中点,连接$AE,AF,CE,CF$.
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;
(2)若$AB⊥ AC,AB=4,BD=10$,求$BC$的长.
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;
(2)若$AB⊥ AC,AB=4,BD=10$,求$BC$的长.
答案：9.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=$\frac{1}{2}OB$,OF=$\frac{1}{2}OD$.
∴OE=OF.
又
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BD=10,OB=OD,
∴OB=5.
∵AB⊥AC,
∴OA=$\sqrt{OB^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
∴AC=2OA=6.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=$\frac{1}{2}OB$,OF=$\frac{1}{2}OD$.
∴OE=OF.
又
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BD=10,OB=OD,
∴OB=5.
∵AB⊥AC,
∴OA=$\sqrt{OB^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
∴AC=2OA=6.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$.
10. 如图,$△ ABD,△ ACE,△ BCF$是分别以$△ ABC$的$AB,AC,BC$边为一边的等边三角形.
(1)求证:四边形$ADFE$是平行四边形;
(2)若$∠ BAC=90°,AB=4,AC=3$,求四边形$ADFE$的面积.
(1)求证:四边形$ADFE$是平行四边形;
(2)若$∠ BAC=90°,AB=4,AC=3$,求四边形$ADFE$的面积.
答案：
10.(1)证明:
∵△BCF和△ABD都是等边三角形,
∴BF=BC,BD=BA.又
∵∠DBF=60°-∠ABF,
∠ABC=60°-∠ABF,
∴∠DBF=∠ABC.
在△BDF和△BAC中,$\{\begin{array}{l} BF=BC,\\ ∠DBF=∠ABC,\\ BD=BA,\end{array} $
∴△BDF≅△BAC(SAS).
∴DF=AC.
∵在等边三角形ACE中,AC=AE,
∴DF=AE.
同理易得DA=EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)解:
∵∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
∴BC=5.
又
∵∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAE=360°-90°-60°-60°=150°,
∴∠FDA=30°.
过点F作FM⊥AD于点M,如答图,
则FM=$\frac{1}{2}FD=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}AC=1.5$,
又AD=AB=4,
∴$S_{四边形ADFE}=AD· FM=4×1.5=6$.
10.(1)证明:
∵△BCF和△ABD都是等边三角形,
∴BF=BC,BD=BA.又
∵∠DBF=60°-∠ABF,
∠ABC=60°-∠ABF,
∴∠DBF=∠ABC.
在△BDF和△BAC中,$\{\begin{array}{l} BF=BC,\\ ∠DBF=∠ABC,\\ BD=BA,\end{array} $
∴△BDF≅△BAC(SAS).
∴DF=AC.
∵在等边三角形ACE中,AC=AE,
∴DF=AE.
同理易得DA=EF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)解:
∵∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
∴BC=5.
又
∵∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAE=360°-90°-60°-60°=150°,
∴∠FDA=30°.
过点F作FM⊥AD于点M,如答图,
则FM=$\frac{1}{2}FD=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}AC=1.5$,
又AD=AB=4,
∴$S_{四边形ADFE}=AD· FM=4×1.5=6$.