三、解答题(共52分)
9. (14分)(2025·嘉兴期末)如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,BC$上,$AE=CF$.求证:四边形$BFDE$是平行四边形.
9. (14分)(2025·嘉兴期末)如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,BC$上,$AE=CF$.求证:四边形$BFDE$是平行四边形.
答案：9.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC.$
$\because AE=CF,\therefore AD-AE=BC-CF$,即$DE=BF.$
又$\because DE// BF$,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC.$
$\because AE=CF,\therefore AD-AE=BC-CF$,即$DE=BF.$
又$\because DE// BF$,
∴四边形BFDE是平行四边形.
10. (18分)(2025·广东)如图,$CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的中线,过点$A,C$分别作$AE// DC$,$CE// AB$,$AE$与$CE$相交于点$E$.现有以下命题:
命题1:若连接$BE$交$CA$于点$F$,则$S_{△ CFB}=2S_{△ CEF}$.
命题2:若连接$ED$,则$ED⊥ AC$.
命题3:若连接$ED$,则$ED=BC$.
任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例.
命题1:若连接$BE$交$CA$于点$F$,则$S_{△ CFB}=2S_{△ CEF}$.
命题2:若连接$ED$,则$ED⊥ AC$.
命题3:若连接$ED$,则$ED=BC$.
任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例.
答案：
10.解:命题1是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,
如答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形.
$\because DA=DC$,
∴四边形ADCE是菱形,
$\therefore AC⊥ DE$,且$OA=OC,OE=OD.$
$\because D$为AB的中点,
∴DO是$△ ABC$的中位线,则$OD=$
$\frac{1}{2}BC,\therefore S_{△ CFB}=\frac{1}{2}CF· BC,S_{△ CEF}=\frac{1}{2}CF· OE,$
则$S_{△ CFB}=2S_{△ CEF}.$
命题2是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,如
答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形.
$\because DA=DC$,
∴四边形ADCE是菱形,$\therefore AC⊥ DE.$
命题3是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,如
答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形,
$\therefore CE=AD,\therefore CE=DB.$
$\because CE// AB$,
∴四边形BCED是平行四边形,
$\therefore ED=BC.$
10.解:命题1是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,
如答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形.
$\because DA=DC$,
∴四边形ADCE是菱形,
$\therefore AC⊥ DE$,且$OA=OC,OE=OD.$
$\because D$为AB的中点,
∴DO是$△ ABC$的中位线,则$OD=$
$\frac{1}{2}BC,\therefore S_{△ CFB}=\frac{1}{2}CF· BC,S_{△ CEF}=\frac{1}{2}CF· OE,$
则$S_{△ CFB}=2S_{△ CEF}.$
命题2是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,如
答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形.
$\because DA=DC$,
∴四边形ADCE是菱形,$\therefore AC⊥ DE.$
命题3是真命题,证明如下:连接DE,交AC于点O,如
答图.
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac{1}{2}AB.$
$\because AE// DC,CE// AB$,
∴四边形ADCE是平行四边形,
$\therefore CE=AD,\therefore CE=DB.$
$\because CE// AB$,
∴四边形BCED是平行四边形,
$\therefore ED=BC.$
11. (20分)如图,正方形$ABCD$的边长是2,$M$是$AD$的中点.点$E$从点$A$出发,沿$AB$运动到点$B$停止.连接$EM$并延长交射线$CD$于点$F$,过点$M$作$EF$的垂线交射线$BC$于点$G$,连接$EG,FG$.
(1)求证:$EF=MG$;
(2)$P$是$MG$的中点,求点$P$的运动路线的长.
(1)求证:$EF=MG$;
(2)$P$是$MG$的中点,求点$P$的运动路线的长.
答案：
11.(1)证明:如答图①,过点E作$EH⊥ CD$于点H,过点M
作$MN⊥ BC$于点N,MN与EH交于点O.
∵四边形ABCD是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD,$
$∠ A=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°.$
$\because EH⊥ CD,MN⊥ BC,$
∴四边形ADHE是矩形,四边形MDCN是矩形,
$\therefore AD=EH,MN=DC,MN// CD,EH// AD,$
$\therefore MN⊥ EH,MN=EH,\therefore ∠ MEO+∠ EMO=90°.$
$\because MG⊥ EF,\therefore ∠ EMO+∠ GMN=90°,$
$\therefore ∠ GMN=∠ MEO,$
又$∠ EHF=∠ MNG=90°,MN=EH,$
$\therefore △ EFH≌△ MGN(\mathrm{ASA}),\therefore EF=MG.$
(2)解:如答图②,$PP'$即为点P运动的路线.
当点E在A点时,$MG⊥ BC$且$MG=2;$
当点E在B点时,设$GG'=x$,根据勾股定理得$BM^{2}+$
$MG'^{2}=BG'^{2}.$
$\because BM^{2}=1^{2}+2^{2}=5,MG'^{2}=2^{2}+x^{2}=4+x^{2},$
$\therefore 5+4+x^{2}=(1+x)^{2}$,解得$x=4$,即$GG'=4.$
$\because P,P'$分别是$MG,MG'$的中点,$\therefore PP'=\frac{1}{2}GG'=2,$
即点P的运动路线的长为2.
11.(1)证明:如答图①,过点E作$EH⊥ CD$于点H,过点M
作$MN⊥ BC$于点N,MN与EH交于点O.
∵四边形ABCD是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD,$
$∠ A=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°.$
$\because EH⊥ CD,MN⊥ BC,$
∴四边形ADHE是矩形,四边形MDCN是矩形,
$\therefore AD=EH,MN=DC,MN// CD,EH// AD,$
$\therefore MN⊥ EH,MN=EH,\therefore ∠ MEO+∠ EMO=90°.$
$\because MG⊥ EF,\therefore ∠ EMO+∠ GMN=90°,$
$\therefore ∠ GMN=∠ MEO,$
又$∠ EHF=∠ MNG=90°,MN=EH,$
$\therefore △ EFH≌△ MGN(\mathrm{ASA}),\therefore EF=MG.$
(2)解:如答图②,$PP'$即为点P运动的路线.
当点E在A点时,$MG⊥ BC$且$MG=2;$
当点E在B点时,设$GG'=x$,根据勾股定理得$BM^{2}+$
$MG'^{2}=BG'^{2}.$
$\because BM^{2}=1^{2}+2^{2}=5,MG'^{2}=2^{2}+x^{2}=4+x^{2},$
$\therefore 5+4+x^{2}=(1+x)^{2}$,解得$x=4$,即$GG'=4.$
$\because P,P'$分别是$MG,MG'$的中点,$\therefore PP'=\frac{1}{2}GG'=2,$
即点P的运动路线的长为2.