9.(2025·巴中中考改编)如图,已知∠1=40°,∠B=50°,AB⊥AC.求证:AD//BC. 
(第9题)
(第9题)答案：9. 因为AB⊥AC,∠B=50°,
所以∠ACB=90°-50°=40°.
又∠1=40°,所以∠1=∠ACB,所以AD//BC.
所以∠ACB=90°-50°=40°.
又∠1=40°,所以∠1=∠ACB,所以AD//BC.
10. (2026·安徽安庆期中)如图,已知线段AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,交AC于点E,∠BOE+∠D=180°.
(1)求证:$AD// OE$;
(2)若$∠AEO=70°,∠B=∠D=50°$,求$∠ACD$的度数.
(1)求证:$AD// OE$;
(2)若$∠AEO=70°,∠B=∠D=50°$,求$∠ACD$的度数.
答案：10. (1)因为∠BOE+∠D=180°,∠BOE+∠AOE=180°,
所以∠D=∠AOE.
因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠EOC,
所以∠D=∠EOC,所以AD//OE.
(2)因为∠D=50°,∠D=∠EOC,
所以∠EOC=50°.
因为∠AEO=70°,
所以∠OEC=180°-∠AEO=180°-70°=110°,
所以∠ACD=180°-∠OEC-∠EOC=20°.
故∠ACD的度数为20°.
所以∠D=∠AOE.
因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠EOC,
所以∠D=∠EOC,所以AD//OE.
(2)因为∠D=50°,∠D=∠EOC,
所以∠EOC=50°.
因为∠AEO=70°,
所以∠OEC=180°-∠AEO=180°-70°=110°,
所以∠ACD=180°-∠OEC-∠EOC=20°.
故∠ACD的度数为20°.
11. 共顶点模型(2025·河南郑州中牟期末改编)[综合与实践]
学习完《平行线的判定》，我们积累了一定的研究经验，小凯和小芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°.
(1)[操作判断]
若∠DCB=55°，则∠ACE=
(2)[性质探究]
由(1)猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想；
(3)[拓展应用]
当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数(不必说明理由).
学习完《平行线的判定》，我们积累了一定的研究经验，小凯和小芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°.
(1)[操作判断]
若∠DCB=55°，则∠ACE=
125°
；若∠ACE=158°，则∠DCB=22°
；(2)[性质探究]
由(1)猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想；
(3)[拓展应用]
当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数(不必说明理由).
答案：11. (1)125° 22° [解析]因为∠DCB=55°,∠ACB=90°,
所以∠ACD=35°.
因为∠DCE=90°,所以∠ACE=90°+35°=125°.
因为∠ACE=158°,所以∠ACD=∠ACE-90°=158°-90°=68°,所以∠DCB=90°-68°=22°.
(2)猜想:∠ACE+∠DCB=180°.证明如下:
因为∠ACD=90°-∠DCB,∠BCE=90°-∠DCB,
所以∠ACE=∠ACD+∠BCE+∠DCB
=(90°-∠DCB)+(90°-∠DCB)+∠DCB
=180°-∠DCB,即∠ACE+∠DCB=180°.
(3)存在,30°,45°,120°,135°,165°.
理由:当CB//DE时,∠BCE=120°;
当AC//DE时,∠BCE=30°;
当AB//DE时,∠BCE=165°;
当AB//CD时,∠BCE=135°;
当AB//CE时,∠BCE=45°.
所以∠ACD=35°.
因为∠DCE=90°,所以∠ACE=90°+35°=125°.
因为∠ACE=158°,所以∠ACD=∠ACE-90°=158°-90°=68°,所以∠DCB=90°-68°=22°.
(2)猜想:∠ACE+∠DCB=180°.证明如下:
因为∠ACD=90°-∠DCB,∠BCE=90°-∠DCB,
所以∠ACE=∠ACD+∠BCE+∠DCB
=(90°-∠DCB)+(90°-∠DCB)+∠DCB
=180°-∠DCB,即∠ACE+∠DCB=180°.
(3)存在,30°,45°,120°,135°,165°.
理由:当CB//DE时,∠BCE=120°;
当AC//DE时,∠BCE=30°;
当AB//DE时,∠BCE=165°;
当AB//CD时,∠BCE=135°;
当AB//CE时,∠BCE=45°.