3. (2026·无锡惠山区期末)我们知道,从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.类似地,我们给出一些新的概念:从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个角的射线,叫作这个角的三分线;从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3的两个角的射线,叫作这个角的四分线.显然,一个角的三分线、四分线都有两条.例如:如图(1),若∠BOC=2∠AOB,则OB是∠AOC的一条三分线;若∠AOD=2∠COD,则OD是∠AOC的另一条三分线.
(1)如图(2),OB是∠AOC的三分线,∠BOC＞∠AOB,若∠AOC=60°,则∠AOB=
(2)如图(3),∠DOF=120°,OE是∠DOF的四分线,∠DOE＞∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好为∠DOE的三分线时,求∠GOF的度数;
(3)如图(4),∠AOD=120°,射线OB,OC是∠AOD的两条三分线,将射线OB,OC同时绕点O沿顺时针方向旋转α(0°≤α≤180°),在旋转的过程中,若射线OB,OC,OD中恰好有一条射线是其他两条射线组成夹角的四分线,请直接写出α的值.
(1)如图(2),OB是∠AOC的三分线,∠BOC＞∠AOB,若∠AOC=60°,则∠AOB=
20°
;(2)如图(3),∠DOF=120°,OE是∠DOF的四分线,∠DOE＞∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好为∠DOE的三分线时,求∠GOF的度数;
(3)如图(4),∠AOD=120°,射线OB,OC是∠AOD的两条三分线,将射线OB,OC同时绕点O沿顺时针方向旋转α(0°≤α≤180°),在旋转的过程中,若射线OB,OC,OD中恰好有一条射线是其他两条射线组成夹角的四分线,请直接写出α的值.
答案：
(1)$20°$
[解析]因为OB是$∠AOC$的三分线,$∠BOC＞∠AOB,∠AOC=60°$,
所以$∠AOB=\frac{1}{3}∠AOC=\frac{1}{3}×60°=20°$.
(2)因为$∠DOF=120°$,OE是$∠DOF$的四分线,$∠DOE＞∠EOF$,所以$∠DOE=\frac{3}{4}∠DOF=90°$.
因为OG是$∠DOE$的三分线,
①
,当$∠DOG＞∠GOE$时,$∠DOG=\frac{2}{3}∠DOE=60°$,所以$∠GOF=∠DOF-∠DOG=60°$;
②,当$∠DOG＜∠GOE$时,$∠DOG=\frac{1}{3}∠DOE=30°$,所以$∠GOF=∠DOF-∠DOG=90°$.
综上所述,$∠GOF$的度数为$60°$或$90°$.
(3)$α$为$\frac{80°}{3}$或$50°$或$70°$或$\frac{280°}{3}$.理由如下:
因为$∠AOD=120°$,射线OB,OC是$∠AOD$的两条三分线,
所以$∠AOB=∠COD=\frac{1}{3}∠AOD=40°$,$∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=40°$.
①
,当OC是$∠BOD$的四分线时,此时,$∠COD=40°-α＜∠BOC$,所以$∠BOC=\frac{3}{4}∠BOD$,
所以$40°=\frac{3}{4}∠BOD$,所以$∠BOD=\frac{160°}{3}$,
所以$∠COD=∠BOD-∠BOC=\frac{40°}{3}$,
所以$α=40°-\frac{40°}{3}=\frac{80°}{3}$;
②
,当OD是$∠BOC$的四分线且$∠BOD＞∠COD$时,
$∠COD=\frac{1}{4}∠BOC=10°$,所以$α=40°+10°=50°$;
③
,当OD是$∠BOC$的四分线且$∠BOD＜∠COD$时,
$∠COD=\frac{3}{4}∠BOC=30°$,所以$α=40°+30°=70°$;
④[图6],当OB是$∠COD$的四分线且$∠BOC＞∠BOD$时,$∠BOC=\frac{3}{4}∠COD$,
所以$40°=\frac{3}{4}∠COD$,所以$∠COD=\frac{160°}{3}$,
所以$α=40°+\frac{160°}{3}=\frac{280°}{3}$,
当OB是$∠COD$的四分线且$∠BOD＞∠BOC$时,$∠BOC=\frac{1}{4}∠COD$,所以$40°=\frac{1}{4}∠COD$,所以$∠COD=160°$,所以$α=40°+160°=200°＞180°$,不符合题意,舍去.
综上所述,$α$的值为$\frac{80°}{3}$或$50°$或$70°$或$\frac{280°}{3}$.
(1)$20°$
[解析]因为OB是$∠AOC$的三分线,$∠BOC＞∠AOB,∠AOC=60°$,
所以$∠AOB=\frac{1}{3}∠AOC=\frac{1}{3}×60°=20°$.
(2)因为$∠DOF=120°$,OE是$∠DOF$的四分线,$∠DOE＞∠EOF$,所以$∠DOE=\frac{3}{4}∠DOF=90°$.
因为OG是$∠DOE$的三分线,
①
,当$∠DOG＞∠GOE$时,$∠DOG=\frac{2}{3}∠DOE=60°$,所以$∠GOF=∠DOF-∠DOG=60°$;②
,当$∠DOG＜∠GOE$时,$∠DOG=\frac{1}{3}∠DOE=30°$,所以$∠GOF=∠DOF-∠DOG=90°$.综上所述,$∠GOF$的度数为$60°$或$90°$.
(3)$α$为$\frac{80°}{3}$或$50°$或$70°$或$\frac{280°}{3}$.理由如下:
因为$∠AOD=120°$,射线OB,OC是$∠AOD$的两条三分线,
所以$∠AOB=∠COD=\frac{1}{3}∠AOD=40°$,$∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=40°$.
①
,当OC是$∠BOD$的四分线时,此时,$∠COD=40°-α＜∠BOC$,所以$∠BOC=\frac{3}{4}∠BOD$,所以$40°=\frac{3}{4}∠BOD$,所以$∠BOD=\frac{160°}{3}$,
所以$∠COD=∠BOD-∠BOC=\frac{40°}{3}$,
所以$α=40°-\frac{40°}{3}=\frac{80°}{3}$;
②
,当OD是$∠BOC$的四分线且$∠BOD＞∠COD$时,$∠COD=\frac{1}{4}∠BOC=10°$,所以$α=40°+10°=50°$;
③
,当OD是$∠BOC$的四分线且$∠BOD＜∠COD$时,$∠COD=\frac{3}{4}∠BOC=30°$,所以$α=40°+30°=70°$;
④[图6],当OB是$∠COD$的四分线且$∠BOC＞∠BOD$时,$∠BOC=\frac{3}{4}∠COD$,
所以$40°=\frac{3}{4}∠COD$,所以$∠COD=\frac{160°}{3}$,
所以$α=40°+\frac{160°}{3}=\frac{280°}{3}$,
当OB是$∠COD$的四分线且$∠BOD＞∠BOC$时,$∠BOC=\frac{1}{4}∠COD$,所以$40°=\frac{1}{4}∠COD$,所以$∠COD=160°$,所以$α=40°+160°=200°＞180°$,不符合题意,舍去.
综上所述,$α$的值为$\frac{80°}{3}$或$50°$或$70°$或$\frac{280°}{3}$.