【例】某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是$120°$，他做完作业后还是当天晚上6点多钟，且时针和分针的夹角还是$120°$，此同学做作业大约用了（）。
A.40分钟
B.42分钟
C.44分钟
D.46分钟
解析：设开始做作业时的时间是6点$x$分，
所以$6x - 0.5x = 180 - 120$，解得$x \approx 10.9$。
设做完作业后的时间是6点$y$分，
所以$6y - 0.5y = 180 + 120$，解得$y \approx 54.5$，
所以此同学做作业大约用了$54.5 - 10.9 \approx 44$（分钟）。
答案：C
A.40分钟
B.42分钟
C.44分钟
D.46分钟
解析：设开始做作业时的时间是6点$x$分，
所以$6x - 0.5x = 180 - 120$，解得$x \approx 10.9$。
设做完作业后的时间是6点$y$分，
所以$6y - 0.5y = 180 + 120$，解得$y \approx 54.5$，
所以此同学做作业大约用了$54.5 - 10.9 \approx 44$（分钟）。
答案：C
答案：C
解析：
时钟的分针每分钟转$6°$，时针每分钟转$0.5°$，6点整时，时针与分针夹角为$180°$。设开始做作业时是6点$x$分，此时分针在时针后方，夹角为$120°$，列方程得$6x - 0.5x = 180 - 120$，解得$x\approx10.9$；设做完作业时是6点$y$分，此时分针超过时针，夹角为$120°$，列方程得$6y - 0.5y = 180 + 120$，解得$y\approx54.5$。因此做作业用时约为$54.5 - 10.9\approx44$分钟。
1.（全国初中数学联赛江西南昌竞赛试卷）直线a上有四个不同的点，依次为点A,B,C,D，则到点A，B,C,D的距离之和最小的点(
A.可以是直线AD外的某一点
B.只是点B和点C
C.只是线段AD的中点
D.有无数多个
D
).A.可以是直线AD外的某一点
B.只是点B和点C
C.只是线段AD的中点
D.有无数多个
答案：1.D
2.（第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试）在数轴上，表示整数的点称为“整点”.设数轴的单位长度是1 cm，若在这条数轴上随意画出一条长为2 008 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有（
A.2 006个
B.2 007个
C.2 008个
D.2 009个
C
）.A.2 006个
B.2 007个
C.2 008个
D.2 009个
答案：2.C
3. 已知$n(n≥2)$个点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上。设$S_n$表示过这$n$个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，$S_2=1,S_3=3,S_4=6,S_5=10,\dots$,由此推断，$S_n=$
$\frac{n(n-1)}{2}$
。答案：3.$\frac{n(n-1)}{2}$
[解析]因为$S_2=1=\frac{2×1}{2}$，
$S_3=3=1+2=\frac{2×3}{2},S_4=6=1+2+3=\frac{3×4}{2}$，
所以$S_n=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$
[解析]因为$S_2=1=\frac{2×1}{2}$，
$S_3=3=1+2=\frac{2×3}{2},S_4=6=1+2+3=\frac{3×4}{2}$，
所以$S_n=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$
4.给出如下定义:如果$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$，且$∠ AOC = k∠ BOC$（$k$为正整数），那么称$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”.
(1)已知$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$，下列三个条件中，能判断$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”的是
①$∠ BOC = 15°$；②$∠ AOC = 70°$；③$OC$是$∠ AOB$的平分线.
(2)如图(1)，当$∠ BOC = 30°$时，在图中画出$∠ BOC$的一个“倍锐角”$∠ AOC$；
(3)如图(2)，当$∠ BOC = 60°$时，射线$OB$绕点$O$旋转，每次旋转$10°$，可得它的“倍锐角”$∠ AOC =$
(4)当$∠ BOC = m°$且存在它的“倍锐角”$∠ AOC$时，则$∠ AOB =$
(1)已知$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$，下列三个条件中，能判断$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”的是
①③
（填写序号）；①$∠ BOC = 15°$；②$∠ AOC = 70°$；③$OC$是$∠ AOB$的平分线.
(2)如图(1)，当$∠ BOC = 30°$时，在图中画出$∠ BOC$的一个“倍锐角”$∠ AOC$；
(3)如图(2)，当$∠ BOC = 60°$时，射线$OB$绕点$O$旋转，每次旋转$10°$，可得它的“倍锐角”$∠ AOC =$
80°或60°
；(4)当$∠ BOC = m°$且存在它的“倍锐角”$∠ AOC$时，则$∠ AOB =$
90°或$(90-2m)°$
.答案：
4.(1)①③
[解析]①由$∠BOC=15°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠AOC=75°=5∠BOC$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”；
②由$∠AOC=70°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠BOC=20°$,两个角不是整数倍关系,所以$∠AOC$不是$∠BOC$的“倍锐角”；
③因为$OC$平分$∠AOB,∠AOC+∠BOC=90°$,
所以$∠AOC=∠BOC=45°$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”.
综上所述,能判断$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”的是①③.
(2)由$∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=90°$,
得$∠AOC=60°=2∠BOC$.
有两种情况,如图(1)和图(2)所示.
(3)80°或60°
[解析]因为$∠BOC=60°$,且射线$OB$绕点$O$每次旋转$10°$,所以$∠BOC$的取值有$0°,10°,20°,30°,40°$,$50°,60°,70°,80°,90°$,对每个可能的值进行分析可知,只有两种情况下,$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”:
①当$∠BOC=10°$时,$∠AOC=80°=8∠BOC$;
②当$∠BOC=30°$时,$∠AOC=60°=2∠BOC$,
所以$∠AOC=80°$或$60°$.
(4)$90°$或$(90-2m)°$
[解析]若$∠BOC$存在它的“倍锐角”$∠AOC$时,有两种情况,如图(3)和图(4)所示.
①如图(3),当$OA$在$OC$的上方时,
$∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°$;
②如图(4),当$OA$在$OC$的下方时,$∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC-∠BOC=(90-2m)°$,
所以$∠AOB=90°$或$(90-2m)°$.
4.(1)①③
[解析]①由$∠BOC=15°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠AOC=75°=5∠BOC$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”；
②由$∠AOC=70°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠BOC=20°$,两个角不是整数倍关系,所以$∠AOC$不是$∠BOC$的“倍锐角”；
③因为$OC$平分$∠AOB,∠AOC+∠BOC=90°$,
所以$∠AOC=∠BOC=45°$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”.
综上所述,能判断$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”的是①③.
(2)由$∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=90°$,
得$∠AOC=60°=2∠BOC$.
有两种情况,如图(1)和图(2)所示.
(3)80°或60°
[解析]因为$∠BOC=60°$,且射线$OB$绕点$O$每次旋转$10°$,所以$∠BOC$的取值有$0°,10°,20°,30°,40°$,$50°,60°,70°,80°,90°$,对每个可能的值进行分析可知,只有两种情况下,$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”:
①当$∠BOC=10°$时,$∠AOC=80°=8∠BOC$;
②当$∠BOC=30°$时,$∠AOC=60°=2∠BOC$,
所以$∠AOC=80°$或$60°$.
(4)$90°$或$(90-2m)°$
[解析]若$∠BOC$存在它的“倍锐角”$∠AOC$时,有两种情况,如图(3)和图(4)所示.
①如图(3),当$OA$在$OC$的上方时,
$∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°$;
②如图(4),当$OA$在$OC$的下方时,$∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC-∠BOC=(90-2m)°$,
所以$∠AOB=90°$或$(90-2m)°$.