拓展4.1 某商场将进货价为35元的台灯以50元销售价售出，平均每月能售出500个，市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个，若设每个台灯的销售价上涨a元.
(1)试用含a的代数式填空：涨价后，每个台灯的销售价为
(2)如果商场要想使销售利润平均每月至少达到10 000元，商场经理甲说：“在原售价每台50元的基础上再上涨25元，可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨15元就可以了.”为减少库存，应该采取谁的意见？
(1)试用含a的代数式填空：涨价后，每个台灯的销售价为
(50+a)
元，利润为(15+a)
元，商场的台灯平均每月的销售量为(500-10a)
台.(2)如果商场要想使销售利润平均每月至少达到10 000元，商场经理甲说：“在原售价每台50元的基础上再上涨25元，可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨15元就可以了.”为减少库存，应该采取谁的意见？
答案：(1)(50+a) (15+a) (500-10a)
(2)经理甲:当$a=25$时，
销售利润:$(15+25)×(500-10×25)=10 000$(元)；
经理乙:当$a=15$时，
销售利润:$(15+15)×(500-10×15)=10 500$(元).
因为要减少库存,所以应该采取经理乙的意见.
(2)经理甲:当$a=25$时，
销售利润:$(15+25)×(500-10×25)=10 000$(元)；
经理乙:当$a=15$时，
销售利润:$(15+15)×(500-10×15)=10 500$(元).
因为要减少库存,所以应该采取经理乙的意见.
5. (2026·泰州靖江期中)观察以下等式：
第1个等式：$\frac{4^2 - 1^2}{6} = 2 + \frac{1}{2}$；第2个等式：$\frac{5^2 - 2^2}{6} = 3 + \frac{1}{2}$；第3个等式：$\frac{6^2 - 3^2}{6} = 4 + \frac{1}{2}$；
第4个等式：$\frac{7^2 - 4^2}{6} = 5 + \frac{1}{2}$；….
请根据上述规律完成下列问题：
(1)第6个等式为
(2)写出你猜想的第$n$个等式：
(3)利用上述规律，直接写出结果：
$\frac{4^2 - 1^2 - 3}{6} + \frac{5^2 - 2^2 - 3}{6} + \frac{6^2 - 3^2 - 3}{6} + \dots + \frac{100^2 - 97^2 - 3}{6} =$
第1个等式：$\frac{4^2 - 1^2}{6} = 2 + \frac{1}{2}$；第2个等式：$\frac{5^2 - 2^2}{6} = 3 + \frac{1}{2}$；第3个等式：$\frac{6^2 - 3^2}{6} = 4 + \frac{1}{2}$；
第4个等式：$\frac{7^2 - 4^2}{6} = 5 + \frac{1}{2}$；….
请根据上述规律完成下列问题：
(1)第6个等式为
$\frac{9^2 - 6^2}{6} = 7 + \frac{1}{2}$
；(2)写出你猜想的第$n$个等式：
$\frac{(n+3)^2 - n^2}{6} = n+1 + \frac{1}{2}$
(用含$n$的式子表示)；(3)利用上述规律，直接写出结果：
$\frac{4^2 - 1^2 - 3}{6} + \frac{5^2 - 2^2 - 3}{6} + \frac{6^2 - 3^2 - 3}{6} + \dots + \frac{100^2 - 97^2 - 3}{6} =$
4850
.答案：(1)$\frac{9^2 - 6^2}{6} = 7 + \frac{1}{2}$
(2)$\frac{(n+3)^2 - n^2}{6} = n+1 + \frac{1}{2}$
(3)4850
解析:由上述规律可知，
原式$=\frac{4^2 - 1^2}{6}-\frac{1}{2}+\frac{5^2 - 2^2}{6}-\frac{1}{2}+\dots+\frac{100^2 - 97^2}{6}-\frac{1}{2}$
$=2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+3+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\dots+98+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$
$=2+3+\dots+98=\frac{97×100}{2}=4850$.
(2)$\frac{(n+3)^2 - n^2}{6} = n+1 + \frac{1}{2}$
(3)4850
解析:由上述规律可知，
原式$=\frac{4^2 - 1^2}{6}-\frac{1}{2}+\frac{5^2 - 2^2}{6}-\frac{1}{2}+\dots+\frac{100^2 - 97^2}{6}-\frac{1}{2}$
$=2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+3+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\dots+98+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$
$=2+3+\dots+98=\frac{97×100}{2}=4850$.
拓展5.1 观察图形，解答问题.
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个小圆圈，第三层有5个小圆圈，…，第六层有11个小圆圈.如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
(2)某一层上有65个圆圈，这是第几层？
(3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法.比如:前两层的圆圈个数和为$(1+3)$或$2^2$，由此得$1+3=2^2$.同样，由前三层的圆圈个数和，得$1+3+5=3^2$；由前四层的圆圈个数和，得$1+3+5+7=4^2$；由前五层的圆圈个数和，得$1+3+5+7+9=5^2$；….
根据上述规律请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来.
(4)计算:$1+3+5+…+99$.
(5)计算:$101+103+105+…+199$.
(拓展5.1)
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个小圆圈，第三层有5个小圆圈，…，第六层有11个小圆圈.如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
(2)某一层上有65个圆圈，这是第几层？
(3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法.比如:前两层的圆圈个数和为$(1+3)$或$2^2$，由此得$1+3=2^2$.同样，由前三层的圆圈个数和，得$1+3+5=3^2$；由前四层的圆圈个数和，得$1+3+5+7=4^2$；由前五层的圆圈个数和，得$1+3+5+7+9=5^2$；….
根据上述规律请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来.
(4)计算:$1+3+5+…+99$.
(5)计算:$101+103+105+…+199$.
(拓展5.1)
答案：(1)由题中规律,得第八层有15个小圆圈,第$n$层有$(2n-1)$个小圆圈.
(2)这是第33层.
(3)从1开始的$n$个连续奇数之和是$n^2$.公式表示为$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$.
(4)$2n-1=99$,解得$n=50$,所以$1+3+5+\dots+99=50^2=2500$.
(5)原式$=(100+1)+(100+3)+\dots+(100+99)=50×100+(1+3+\dots+99)=5000+2500=7500$.
(2)这是第33层.
(3)从1开始的$n$个连续奇数之和是$n^2$.公式表示为$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$.
(4)$2n-1=99$,解得$n=50$,所以$1+3+5+\dots+99=50^2=2500$.
(5)原式$=(100+1)+(100+3)+\dots+(100+99)=50×100+(1+3+\dots+99)=5000+2500=7500$.