6. (2026·宿迁泗洪期中)课堂上,老师出了一道计算题:$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})$,小明和小丽同学的解法如下:
(1)小明和小丽的解法中,正确的是
(2)请你运用上述正确的方法计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14}).$
(1)小明和小丽的解法中,正确的是
小丽
的解法(填“小明”或“小丽”);(2)请你运用上述正确的方法计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14}).$
答案：(1)小丽
(2)原式的倒数为:$(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)$
$=-7+12-28+9=-14$,所以原式$=-\frac{1}{14}$.
(2)原式的倒数为:$(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)$
$=-7+12-28+9=-14$,所以原式$=-\frac{1}{14}$.
7. 一题多问(2025·重庆綦江区期中)当$x＞0$时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1$；当$x＜0$时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1$. 用这个结论解决下列问题：
(1)已知$a,b$是有理数，当$ab≠0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值；
(2)已知$a,b,c$是有理数，当$abc≠0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值；
(3)已知$a,b,c$是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值.
(1)已知$a,b$是有理数，当$ab≠0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值；
(2)已知$a,b,c$是有理数，当$abc≠0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值；
(3)已知$a,b,c$是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值.
答案：(1)因为$ab≠0$,所以有以下两种情况：
①当$ab＞0$时,(ⅰ)$a＞0,b＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$；
(ⅱ)$a＜0,b＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}=-1-1=-2$；
②当$ab＜0$时,(ⅰ)$a＞0,b＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}=1-1=0$；
(ⅱ)$a＜0,b＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$.
综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值为2或−2或0.
(2)当$abc≠0$时,有以下两种情况：
①当$abc＞0$时,(ⅰ)$a＞0,b＞0,c＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$；
(ⅱ)$a,b,c$中任意两个为负,另一个为正时,不妨假设$a＜0,b＜0,c＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}=-1-1+1=-1$；
②当$abc＜0$时,(ⅰ)$a＜0,b＜0,c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1-1-1=-3$；
(ⅱ)当$a,b,c$中任意两个为正,另一个为负时,不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{-c}=1+1-1=1$.
综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为3或−1或−3或1.
(3)因为$a+b+c=0$,
所以$b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$.
→由此判断出$a,b,c$中存在异号
因为$abc＜0$,
所以$a,b,c$中两正一负,不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$,
所以$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{-c}=-1-1+1=-1$.
所以$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值为−1.
易错警示 本题主要考查了绝对值的意义,理解绝对值的意义是解答本题的关键,需分类讨论,避免漏解.
①当$ab＞0$时,(ⅰ)$a＞0,b＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$；
(ⅱ)$a＜0,b＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}=-1-1=-2$；
②当$ab＜0$时,(ⅰ)$a＞0,b＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}=1-1=0$；
(ⅱ)$a＜0,b＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$.
综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值为2或−2或0.
(2)当$abc≠0$时,有以下两种情况：
①当$abc＞0$时,(ⅰ)$a＞0,b＞0,c＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$；
(ⅱ)$a,b,c$中任意两个为负,另一个为正时,不妨假设$a＜0,b＜0,c＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}=-1-1+1=-1$；
②当$abc＜0$时,(ⅰ)$a＜0,b＜0,c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1-1-1=-3$；
(ⅱ)当$a,b,c$中任意两个为正,另一个为负时,不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{-c}=1+1-1=1$.
综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为3或−1或−3或1.
(3)因为$a+b+c=0$,
所以$b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$.
→由此判断出$a,b,c$中存在异号
因为$abc＜0$,
所以$a,b,c$中两正一负,不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$,
所以$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{-c}=-1-1+1=-1$.
所以$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值为−1.
易错警示 本题主要考查了绝对值的意义,理解绝对值的意义是解答本题的关键,需分类讨论,避免漏解.