10. 整体思想阅读下列材料再解方程：
解方程$|x+2|=3$时，我们可以将$x+2$视为一个整体，由于绝对值为3的数有两个，所以$x+2=3$或$x+2=-3$，解得$x=1$或$-5$。
请按照上面解法解方程$x - \left| \frac{2}{3}x +1 \right| =1$。
解方程$|x+2|=3$时，我们可以将$x+2$视为一个整体，由于绝对值为3的数有两个，所以$x+2=3$或$x+2=-3$，解得$x=1$或$-5$。
请按照上面解法解方程$x - \left| \frac{2}{3}x +1 \right| =1$。
答案：10. 当$\frac{2}{3}x+1$是非负数时,$x-\frac{2}{3}x-1=1$,
解得$x=6$,符合题意;
当$\frac{2}{3}x+1$是负数时,$x+\frac{2}{3}x+1=1$,
解得$x=0$,不符合题意.
所以$x=6$.故原方程的解为$x=6$.
解得$x=6$,符合题意;
当$\frac{2}{3}x+1$是负数时,$x+\frac{2}{3}x+1=1$,
解得$x=0$,不符合题意.
所以$x=6$.故原方程的解为$x=6$.
11. 新考法 新定义问题（2026·宿迁沭阳期中）若新规定一种运算法则：$a※b = a^2 + 2ab$，如$3※(-2)=3^2 + 2×3×(-2)= -3$。
（1）试求$(-2)※3$的值；
（2）若$4※x = -x -2$，求$x$的值。
（1）试求$(-2)※3$的值；
（2）若$4※x = -x -2$，求$x$的值。
答案：11.(1)根据题中新定义,得$(-2)※3=(-2)^2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8$.
(2)根据题意,得$4※x=4^2+2×4x=-x-2$,
整理,得$16+8x=-x-2$,解得$x=-2$.
解后反思 本题考查新定义运算和一元一次方程的解,理解定义,根据定义列出一元一次方程,并能准确求解一元一次方程是解题的关键.
(2)根据题意,得$4※x=4^2+2×4x=-x-2$,
整理,得$16+8x=-x-2$,解得$x=-2$.
解后反思 本题考查新定义运算和一元一次方程的解,理解定义,根据定义列出一元一次方程,并能准确求解一元一次方程是解题的关键.
12. 换元思想(2025·湖南长沙望城区期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x +3=2x +k$和$\frac{1}{2024}x +1=0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y +1)=2y +k -1$的解.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x +3=2x +k$和$\frac{1}{2024}x +1=0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y +1)=2y +k -1$的解.
答案：12.(1)解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.
因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,
所以关于$x$的方程$3x+m=0$的解为$x=1-4=-3$,
所以$-3×3+m=0$,所以$m=9$.
(2)由题意,得另一个解为$1-n$.
因为“美好方程”的两个解的差为8,
所以$n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,
解得$n=4.5$或$n=-3.5$.
(3)解方程$\frac{1}{2024}x+1=0$,得$x=-2024$.
因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2024)=2025$,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x=2x+k-3$的解为$x=2025$,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x=2(x-1)+k-1$的解为$x=2025$.
令$x=y+1=2025$,则原方程等价为$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$,
→利用换元思想得到方程的解
所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解为$y=2025-1=2024$.
因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,
所以关于$x$的方程$3x+m=0$的解为$x=1-4=-3$,
所以$-3×3+m=0$,所以$m=9$.
(2)由题意,得另一个解为$1-n$.
因为“美好方程”的两个解的差为8,
所以$n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,
解得$n=4.5$或$n=-3.5$.
(3)解方程$\frac{1}{2024}x+1=0$,得$x=-2024$.
因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2024)=2025$,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x=2x+k-3$的解为$x=2025$,
所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x=2(x-1)+k-1$的解为$x=2025$.
令$x=y+1=2025$,则原方程等价为$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$,
→利用换元思想得到方程的解
所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解为$y=2025-1=2024$.