22. 方程思想解密数学魔术:魔术师请观众心想一个数,然后将这个数按如图所示的步骤操作,魔术师能立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小玲想的数是－2,那么她告诉魔术师的结果应该是
(2)如果小明想了一个数计算后,告诉魔术师的结果为73,那么魔术师立刻说出小明想的那个数是
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数.若设观众心想的数为a,请通过计算解密这个魔术的奥妙.
(1)如果小玲想的数是－2,那么她告诉魔术师的结果应该是
3
；(2)如果小明想了一个数计算后,告诉魔术师的结果为73,那么魔术师立刻说出小明想的那个数是
68
；(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数.若设观众心想的数为a,请通过计算解密这个魔术的奥妙.
答案：22.(1)3 [解析]$(-2×3-6)÷3+7=3$.
(2)68 [解析]设这个数为$x$,则$(3x-6)÷3+7=73$,解得$x=68$.
(3)设观众想的数为$a$,则$\dfrac{3a-6}{3}+7=a+5$.因此,魔术师只要将最终结果减去5,就能得到观众想的数了.
(2)68 [解析]设这个数为$x$,则$(3x-6)÷3+7=73$,解得$x=68$.
(3)设观众想的数为$a$,则$\dfrac{3a-6}{3}+7=a+5$.因此,魔术师只要将最终结果减去5,就能得到观众想的数了.
解析：
【分析】
本题围绕指定运算流程设置三个问题，解题思路如下：(1)已知初始数，直接按照流程图的运算顺序逐步计算即可得到结果；(2)已知最终结果求初始数，运用方程思想，设初始数为未知数，根据运算流程列出一元一次方程，求解即可得到原数；(3)设初始数为a，将a代入运算流程，对得到的代数式进行化简，找到最终结果和初始数a的固定数量关系，即可解密魔术奥妙。
【解析】
(1) 将小玲想的数-2按流程计算：
$\begin{split}&(-2×3-6)÷3+7\\=&(-6-6)÷3+7\\=&(-12)÷3+7\\=&-4+7\\=&3\end{split}$
(2) 设小明想的数为$x$，根据运算流程列方程：
$\dfrac{3x-6}{3}+7=73$
化简得：$x-2+7=73$，即$x+5=73$
解得：$x=73-5=68$
(3) 设观众心想的数为$a$，按流程运算得：
$\begin{split}&\dfrac{3a-6}{3}+7\\=&a-2+7\\=&a+5\end{split}$
由此可知最终运算结果比观众心想的数大5，因此魔术师只要将观众告知的结果减去5，就能得到观众心想的数。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{68}$；(3) 魔术师将最终结果减去5，即可得到观众心想的数。
【知识点】
代数式求值、一元一次方程应用、整式化简
【点评】
本题以趣味数学魔术为载体，考查运算能力与方程思想的应用，通过化简即可发现运算结果与原数的固定关系，计算时注意运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题围绕指定运算流程设置三个问题，解题思路如下：(1)已知初始数，直接按照流程图的运算顺序逐步计算即可得到结果；(2)已知最终结果求初始数，运用方程思想，设初始数为未知数，根据运算流程列出一元一次方程，求解即可得到原数；(3)设初始数为a，将a代入运算流程，对得到的代数式进行化简，找到最终结果和初始数a的固定数量关系，即可解密魔术奥妙。
【解析】
(1) 将小玲想的数-2按流程计算：
$\begin{split}&(-2×3-6)÷3+7\\=&(-6-6)÷3+7\\=&(-12)÷3+7\\=&-4+7\\=&3\end{split}$
(2) 设小明想的数为$x$，根据运算流程列方程：
$\dfrac{3x-6}{3}+7=73$
化简得：$x-2+7=73$，即$x+5=73$
解得：$x=73-5=68$
(3) 设观众心想的数为$a$，按流程运算得：
$\begin{split}&\dfrac{3a-6}{3}+7\\=&a-2+7\\=&a+5\end{split}$
由此可知最终运算结果比观众心想的数大5，因此魔术师只要将观众告知的结果减去5，就能得到观众心想的数。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{68}$；(3) 魔术师将最终结果减去5，即可得到观众心想的数。
【知识点】
代数式求值、一元一次方程应用、整式化简
【点评】
本题以趣味数学魔术为载体，考查运算能力与方程思想的应用，通过化简即可发现运算结果与原数的固定关系，计算时注意运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.8
23. 新考法 新定义问题 定义一种新运算“※”，其规则为$x※y=xy - x + y$（等式右边的运算为平常的加、减、乘法运算）。例如，$2※3=2×3 - 2 + 3=7$，$(2a)※3=(2a)×3 - 2a + 3=4a + 3$。
(1)根据规则计算$3※(-2)$的值为
(2)已知$ab=1,a - b=2$，试求$(2a)※b + a※(2b)$的值。
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，那么“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明。
(1)根据规则计算$3※(-2)$的值为
-11
。(2)已知$ab=1,a - b=2$，试求$(2a)※b + a※(2b)$的值。
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，那么“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明。
答案：23.(1)$-11$ [解析]$3※(-2)=3×(-2)-3+(-2)=-11$.
(2)$(2a)※b + a※(2b)=2ab-2a + b + 2ab -a + 2b=4ab-3a+3b$.
当$ab=1,a-b=2$时,$原式=4ab-3(a-b)=4×1-3×2=-2$.
(3)“※”运算不满足交换律.举例如下：
$2※3=2×3-2+3=7$,$3※2=3×2-3+2=5$,
则$2※3≠3※2$.故“※”运算不满足交换律.
(2)$(2a)※b + a※(2b)=2ab-2a + b + 2ab -a + 2b=4ab-3a+3b$.
当$ab=1,a-b=2$时,$原式=4ab-3(a-b)=4×1-3×2=-2$.
(3)“※”运算不满足交换律.举例如下：
$2※3=2×3-2+3=7$,$3※2=3×2-3+2=5$,
则$2※3≠3※2$.故“※”运算不满足交换律.
解析：
【分析】
1. 第(1)问：直接套用新运算“※”的规则$x※y=xy - x + y$，把$x=3$、$y=-2$代入等式右侧，按常规有理数四则运算计算即可。
2. 第(2)问：先分别按新运算规则将$(2a)※b$和$a※(2b)$展开，合并同类项化简后，观察式子结构，将已知条件$ab=1$、$a-b=2$整体代入求值，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
3. 第(3)问：交换律的本质是交换两个运算对象的位置后运算结果不变，即判断$x※y$和$y※x$是否恒相等，若不相等只需举1个反例即可说明不满足交换律。
【解析】
(1) 代入新运算规则计算：
$3※(-2)=3×(-2)-3+(-2)=-6-3-2=-11$
(2) 先展开化简再整体代入：
$(2a)※b + a※(2b)=(2ab-2a + b)+(2ab -a + 2b)$
$=2ab-2a + b + 2ab -a + 2b$
$=4ab-3a+3b$
$=4ab-3(a-b)$
将$ab=1$，$a-b=2$代入得：
原式$=4×1 - 3×2=4-6=-2$
(3) “※”运算不满足交换律，举例说明：
计算得$2※3=2×3-2+3=7$，$3※2=3×2-3+2=5$，显然$7≠5$，即$2※3≠3※2$，因此“※”运算不满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-11}$；(2) $\boldsymbol{-2}$；(3) 不满足交换律，举例见解析
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，运算律辨析
【点评】
本题属于新定义类常规题型，解题核心是准确理解给定的运算规则，将新运算转化为熟悉的四则运算求解。第二问用到的整体代入思想是整式求值的常用技巧，第三题判断运算律不成立时，举反例是最简单高效的证明方法。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：直接套用新运算“※”的规则$x※y=xy - x + y$，把$x=3$、$y=-2$代入等式右侧，按常规有理数四则运算计算即可。
2. 第(2)问：先分别按新运算规则将$(2a)※b$和$a※(2b)$展开，合并同类项化简后，观察式子结构，将已知条件$ab=1$、$a-b=2$整体代入求值，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
3. 第(3)问：交换律的本质是交换两个运算对象的位置后运算结果不变，即判断$x※y$和$y※x$是否恒相等，若不相等只需举1个反例即可说明不满足交换律。
【解析】
(1) 代入新运算规则计算：
$3※(-2)=3×(-2)-3+(-2)=-6-3-2=-11$
(2) 先展开化简再整体代入：
$(2a)※b + a※(2b)=(2ab-2a + b)+(2ab -a + 2b)$
$=2ab-2a + b + 2ab -a + 2b$
$=4ab-3a+3b$
$=4ab-3(a-b)$
将$ab=1$，$a-b=2$代入得：
原式$=4×1 - 3×2=4-6=-2$
(3) “※”运算不满足交换律，举例说明：
计算得$2※3=2×3-2+3=7$，$3※2=3×2-3+2=5$，显然$7≠5$，即$2※3≠3※2$，因此“※”运算不满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-11}$；(2) $\boldsymbol{-2}$；(3) 不满足交换律，举例见解析
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，运算律辨析
【点评】
本题属于新定义类常规题型，解题核心是准确理解给定的运算规则，将新运算转化为熟悉的四则运算求解。第二问用到的整体代入思想是整式求值的常用技巧，第三题判断运算律不成立时，举反例是最简单高效的证明方法。
【难度系数】
0.7