8. 传统文化（2026·无锡江阴期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头. 在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格，下列说法错误的是(
A.五个空白方格中的数字之和等于 $5m$
B.这九个数字中最小的数是 $6m$
C.每条对角线上三个数字之和等于 $3m$
D.这九个数字之和等于 $9m$
A
).A.五个空白方格中的数字之和等于 $5m$
B.这九个数字中最小的数是 $6m$
C.每条对角线上三个数字之和等于 $3m$
D.这九个数字之和等于 $9m$
答案：8.A [解析]第二行三个数为$-4,m,-2$,和为$-4+m-2=m-6$,
因为每行和相等,所以每行、每列、对角线的和均为$3m$(九宫格中心数为$m$,和为$3×$中心数),因此$m-6=3m$,解得$m=-3$,所以得出九宫格的数据如下:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$-10$ & $12$ & $-11$ \\
\hline
$-4$ & $-3$ & $-2$ \\
\hline
$5$ & $-18$ & $4$ \\
\hline
\end{tabular}
A选项,五个空白方格中的数字之和等于$-8≠5m$,错误,符合题意;
B选项,九个数中最小的数是$-18$,$6m=6×(-3)=-18$,所以选项B正确,不符合题意;
C选项,每条对角线上三个数字之和等于$3m=-9$,正确,不符合题意;
D选项,这九个数字之和等于$9m$,正确,不符合题意.故选A.
因为每行和相等,所以每行、每列、对角线的和均为$3m$(九宫格中心数为$m$,和为$3×$中心数),因此$m-6=3m$,解得$m=-3$,所以得出九宫格的数据如下:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$-10$ & $12$ & $-11$ \\
\hline
$-4$ & $-3$ & $-2$ \\
\hline
$5$ & $-18$ & $4$ \\
\hline
\end{tabular}
A选项,五个空白方格中的数字之和等于$-8≠5m$,错误,符合题意;
B选项,九个数中最小的数是$-18$,$6m=6×(-3)=-18$,所以选项B正确,不符合题意;
C选项,每条对角线上三个数字之和等于$3m=-9$,正确,不符合题意;
D选项,这九个数字之和等于$9m$,正确,不符合题意.故选A.
解析：
【分析】
本题是三阶幻方问题，解题思路如下：第一步，先利用已知的第二行三个数，表示出第二行的和；第二步，根据三阶幻方“幻和（每行、每列、对角线的和）等于中心数的3倍”这一性质，列一元一次方程求出m的值；第三步，根据幻和依次计算出其余空白方格的数值；第四步，逐一验证四个选项，找出说法错误的选项。
【解析】
首先计算第二行三个数的和：$-4 + m + (-2) = m - 6$。
根据三阶幻方的性质，每行、每列、每条对角线的和（幻和）等于中心数的3倍，即幻和为$3m$。
因此列方程：$m - 6 = 3m$，解得$m = -3$，则幻和为$3×(-3) = -9$。
接下来根据幻和计算所有空白方格的数值：
1. 主对角线（左上到右下）：$-10 + m + 第三行第三列 = -9$，代入$m=-3$，得第三行第三列$= -9 +10 +3 =4$；
2. 第一列：$-10 + (-4) + 第三行第一列 = -9$，得第三行第一列$= -9 +10 +4 =5$；
3. 第三列：第一行第三列$+ (-2) +4 = -9$，得第一行第三列$= -9 +2 -4 = -11$；
4. 第一行：$-10 + 第一行第二列 + (-11) = -9$，得第一行第二列$= -9 +10 +11 =12$；
5. 第二列：$12 + (-3) + 第三行第二列 = -9$，得第三行第二列$= -9 -12 +3 = -18$。
因此九宫格所有数字为：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline-10 & 12 & -11 \\\hline-4 & -3 & -2 \\\hline5 & -18 & 4 \\\hline\end{array}$
逐一判断选项：
A. 五个空白方格数字之和为$12 + (-11) +5 + (-18) +4 = -8$，$5m=5×(-3)=-15$，$-8≠-15$，该说法错误，符合题意；
B. 九个数字中最小的数是$-18$，$6m=6×(-3)=-18$，该说法正确，不符合题意；
C. 每条对角线的和为$-9$，$3m=3×(-3)=-9$，该说法正确，不符合题意；
D. 九个数字之和为$3×(-9)=-27$，$9m=9×(-3)=-27$，该说法正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
有理数加减运算；三阶幻方性质；一元一次方程应用
【点评】
本题结合我国传统文化中的九宫格幻方设计题目，既考查了三阶幻方的基本性质，也融合了有理数运算、一元一次方程求解的知识点，需要先求出中心数的值，再逐步推导其余位置的数值验证选项，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
本题是三阶幻方问题，解题思路如下：第一步，先利用已知的第二行三个数，表示出第二行的和；第二步，根据三阶幻方“幻和（每行、每列、对角线的和）等于中心数的3倍”这一性质，列一元一次方程求出m的值；第三步，根据幻和依次计算出其余空白方格的数值；第四步，逐一验证四个选项，找出说法错误的选项。
【解析】
首先计算第二行三个数的和：$-4 + m + (-2) = m - 6$。
根据三阶幻方的性质，每行、每列、每条对角线的和（幻和）等于中心数的3倍，即幻和为$3m$。
因此列方程：$m - 6 = 3m$，解得$m = -3$，则幻和为$3×(-3) = -9$。
接下来根据幻和计算所有空白方格的数值：
1. 主对角线（左上到右下）：$-10 + m + 第三行第三列 = -9$，代入$m=-3$，得第三行第三列$= -9 +10 +3 =4$；
2. 第一列：$-10 + (-4) + 第三行第一列 = -9$，得第三行第一列$= -9 +10 +4 =5$；
3. 第三列：第一行第三列$+ (-2) +4 = -9$，得第一行第三列$= -9 +2 -4 = -11$；
4. 第一行：$-10 + 第一行第二列 + (-11) = -9$，得第一行第二列$= -9 +10 +11 =12$；
5. 第二列：$12 + (-3) + 第三行第二列 = -9$，得第三行第二列$= -9 -12 +3 = -18$。
因此九宫格所有数字为：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline-10 & 12 & -11 \\\hline-4 & -3 & -2 \\\hline5 & -18 & 4 \\\hline\end{array}$
逐一判断选项：
A. 五个空白方格数字之和为$12 + (-11) +5 + (-18) +4 = -8$，$5m=5×(-3)=-15$，$-8≠-15$，该说法错误，符合题意；
B. 九个数字中最小的数是$-18$，$6m=6×(-3)=-18$，该说法正确，不符合题意；
C. 每条对角线的和为$-9$，$3m=3×(-3)=-9$，该说法正确，不符合题意；
D. 九个数字之和为$3×(-9)=-27$，$9m=9×(-3)=-27$，该说法正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
有理数加减运算；三阶幻方性质；一元一次方程应用
【点评】
本题结合我国传统文化中的九宫格幻方设计题目，既考查了三阶幻方的基本性质，也融合了有理数运算、一元一次方程求解的知识点，需要先求出中心数的值，再逐步推导其余位置的数值验证选项，具有一定的综合性。
【难度系数】
0.6
9.若关于$x$的方程$(a-1)x^{|a|}-2=0$是一元一次方程，则$a=$
-1
。答案：9.$-1$ [解析]因为关于$x$的方程$(a-1)x^{|a|}-2=0$是一元一次方程,所以$|a|=1$,且$a-1≠0$,解得$a=-1$.
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③含有未知数的项的系数不为0。结合本题的方程，我们只需根据后两个条件列关系式求解即可：先根据未知数次数为1得到关于a的绝对值方程，再结合系数不为0的要求排除不符合的取值，就能得到a的正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(a-1)x^{|a|}-2=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
2. 含$x$的项的系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$。
结合两个条件，舍去不符合要求的$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程判定类的基础易错题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制，错误得出$a=\pm1$的结果，牢记一元一次方程的三个判定条件需同时满足、缺一不可，即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③含有未知数的项的系数不为0。结合本题的方程，我们只需根据后两个条件列关系式求解即可：先根据未知数次数为1得到关于a的绝对值方程，再结合系数不为0的要求排除不符合的取值，就能得到a的正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(a-1)x^{|a|}-2=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
2. 含$x$的项的系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$。
结合两个条件，舍去不符合要求的$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程判定类的基础易错题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制，错误得出$a=\pm1$的结果，牢记一元一次方程的三个判定条件需同时满足、缺一不可，即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
10.已知$x=5$是方程$ax-8=20+a$的解，则$a=$
7
.答案：10.7 [解析]把$x=5$代入方程$ax-8=20+a$,得$5a-8=20+a$,解得$a=7$.
解析：
【分析】
根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将x=5代入原方程，可得到仅含未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=5是方程$ax-8=20+a$的解
∴将x=5代入方程，可得：
$5a - 8 = 20 + a$
移项，得：$5a - a = 20 + 8$
合并同类项，得：$4a = 28$
系数化为1，得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查方程解的应用，解题关键是将已知解代入原方程，将问题转化为解一元一次方程，运算难度低，掌握基础运算规则即可得分。
【难度系数】
0.85
根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将x=5代入原方程，可得到仅含未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=5是方程$ax-8=20+a$的解
∴将x=5代入方程，可得：
$5a - 8 = 20 + a$
移项，得：$5a - a = 20 + 8$
合并同类项，得：$4a = 28$
系数化为1，得：$a = 7$
【答案】
7
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查方程解的应用，解题关键是将已知解代入原方程，将问题转化为解一元一次方程，运算难度低，掌握基础运算规则即可得分。
【难度系数】
0.85
11.(2026·无锡梁溪区期中)已知关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+\frac{3}{4}=2x+b$的解为$x=2$，那么关于y的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y-3)+\frac{3}{4}=2y-6+b$的解为$y=$
5
。答案：11.5
解析：
【分析】
首先观察两个一元一次方程的结构，发现二者形式高度相似，我们可以通过变形第二个方程，使其和第一个方程的结构完全匹配：将第二个方程等号右边的$2y-6$变形为$2(y-3)$，此时第二个方程可转化为$\frac{1}{2024}(y-3)+\frac{3}{4}=2(y-3)+b$。对比第一个方程$\frac{1}{2024}x+\frac{3}{4}=2x+b$，可知两个方程中“整体未知量”的位置分别是$x$和$y-3$，已知第一个方程的解为$x=2$，因此可得$y-3=2$，直接计算就能得到$y$的值。也可以先将$x=2$代入第一个方程求出$b$的值，再代入第二个方程求解$y$，但整体换元法更简便。
【解析】
对关于$y$的方程进行变形，将等号右边的$2y-6$提取公因数2，得：
$\frac{1}{2024}(y-3)+\frac{3}{4}=2(y-3)+b$
已知关于$x$的方程$\frac{1}{2024}x+\frac{3}{4}=2x+b$的解为$x=2$，两个方程结构完全相同，因此对应可得：
$y-3=2$
解得：$y=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的解，整体换元思想，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型技巧题型，利用方程结构的相似性采用整体换元的方法可以快速得到结果，避免了求参数$b$的复杂计算，能够很好地考查学生的观察能力和对一元一次方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.6
首先观察两个一元一次方程的结构，发现二者形式高度相似，我们可以通过变形第二个方程，使其和第一个方程的结构完全匹配：将第二个方程等号右边的$2y-6$变形为$2(y-3)$，此时第二个方程可转化为$\frac{1}{2024}(y-3)+\frac{3}{4}=2(y-3)+b$。对比第一个方程$\frac{1}{2024}x+\frac{3}{4}=2x+b$，可知两个方程中“整体未知量”的位置分别是$x$和$y-3$，已知第一个方程的解为$x=2$，因此可得$y-3=2$，直接计算就能得到$y$的值。也可以先将$x=2$代入第一个方程求出$b$的值，再代入第二个方程求解$y$，但整体换元法更简便。
【解析】
对关于$y$的方程进行变形，将等号右边的$2y-6$提取公因数2，得：
$\frac{1}{2024}(y-3)+\frac{3}{4}=2(y-3)+b$
已知关于$x$的方程$\frac{1}{2024}x+\frac{3}{4}=2x+b$的解为$x=2$，两个方程结构完全相同，因此对应可得：
$y-3=2$
解得：$y=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的解，整体换元思想，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型技巧题型，利用方程结构的相似性采用整体换元的方法可以快速得到结果，避免了求参数$b$的复杂计算，能够很好地考查学生的观察能力和对一元一次方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.6
12.(2025·广东一模)现规定一种新运算:$a\Delta b=2a-3b$,若$4\Delta x=14$,则$x=$
-2
.答案：12.$-2$
解析：
【分析】
首先要准确理解新运算“Δ”的运算规则：aΔb等于a的2倍减去b的3倍。求解本题时，第一步先将4Δx按照新运算的规则转化为常规的代数式，第二步根据已知4Δx=14列出一元一次方程，第三步按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
根据新运算规则$a\Delta b=2a-3b$，将$a=4$，$b=x$代入可得：
$4\Delta x=2×4 - 3x=8 - 3x$
已知$4\Delta x=14$，因此得到方程：
$8 - 3x=14$
移项得：$-3x=14 - 8$
合并同类项得：$-3x=6$
系数化为1得：$x=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是正确理解新定义的运算规则，将新运算转化为我们熟悉的四则运算和方程，再按常规解方程的方法求解即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
首先要准确理解新运算“Δ”的运算规则：aΔb等于a的2倍减去b的3倍。求解本题时，第一步先将4Δx按照新运算的规则转化为常规的代数式，第二步根据已知4Δx=14列出一元一次方程，第三步按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
根据新运算规则$a\Delta b=2a-3b$，将$a=4$，$b=x$代入可得：
$4\Delta x=2×4 - 3x=8 - 3x$
已知$4\Delta x=14$，因此得到方程：
$8 - 3x=14$
移项得：$-3x=14 - 8$
合并同类项得：$-3x=6$
系数化为1得：$x=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是正确理解新定义的运算规则，将新运算转化为我们熟悉的四则运算和方程，再按常规解方程的方法求解即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
13.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将0.$\dot{3}$转化为分数时，可设0.$\dot{3}$=x，则x=0.3+$\frac{1}{10}$x，解得x=$\frac{1}{3}$，即0.$\dot{3}$=$\frac{1}{3}$.仿此方法，将0.$\ddot{45}$化成分数是
$\frac{5}{11}$
.答案：13.$\frac{5}{11}$ [解析]设$0.\dot{4}\dot{5}=x$,则$x=0.45+\frac{1}{100}x$,
解得$x=\frac{5}{11}$,即$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{5}{11}$.
解得$x=\frac{5}{11}$,即$0.\dot{4}\dot{5}=\frac{5}{11}$.
解析：
【分析】
这是一道方法迁移类题目，可参照题中给出的无限循环小数化分数的思路求解：首先设待转化的无限循环小数为未知数x，再根据循环节的位数确定倍数关系构造方程。本题中0.$\dot{4}\dot{5}$的循环节是2位，说明小数部分每两位重复一次，因此把x缩小到原来的$\frac{1}{100}$后，小数部分和原数x的小数部分完全相同，据此列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设$0.\dot{4}\dot{5}=x$，根据循环节的特征可得：
$x = 0.45 + \frac{1}{100}x$
移项得：$x - \frac{1}{100}x = 0.45$
合并同类项得：$\frac{99}{100}x = \frac{45}{100}$
两边同时乘100得：$99x = 45$
解得：$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
【答案】
$\frac{5}{11}$
【知识点】
一元一次方程求解；无限循环小数化分数
【点评】
本题属于方法模仿应用题，解题核心是根据循环节的位数找准等量关系建立方程，既考查对新方法的迁移应用能力，也巩固了一元一次方程的解法，题型灵活但难度不高。
【难度系数】
0.7
这是一道方法迁移类题目，可参照题中给出的无限循环小数化分数的思路求解：首先设待转化的无限循环小数为未知数x，再根据循环节的位数确定倍数关系构造方程。本题中0.$\dot{4}\dot{5}$的循环节是2位，说明小数部分每两位重复一次，因此把x缩小到原来的$\frac{1}{100}$后，小数部分和原数x的小数部分完全相同，据此列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设$0.\dot{4}\dot{5}=x$，根据循环节的特征可得：
$x = 0.45 + \frac{1}{100}x$
移项得：$x - \frac{1}{100}x = 0.45$
合并同类项得：$\frac{99}{100}x = \frac{45}{100}$
两边同时乘100得：$99x = 45$
解得：$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
【答案】
$\frac{5}{11}$
【知识点】
一元一次方程求解；无限循环小数化分数
【点评】
本题属于方法模仿应用题，解题核心是根据循环节的位数找准等量关系建立方程，既考查对新方法的迁移应用能力，也巩固了一元一次方程的解法，题型灵活但难度不高。
【难度系数】
0.7
14. (湖南长沙雅礼中学自主招生)$a$，$b$为常数，关于$x$的方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，无论$k$为何值，它的解总为1，则$2a+b=$
9
。答案：14.9 [解析]把$x=1$代入方程,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$,
化简,得$(4+b)k=13-2a$.
由于$k$可以取任意值,则$4+b=0$,且$13-2a=0$,
解得$a=\frac{13}{2},b=-4$,
则$2a+b=2×\frac{13}{2}-4=13-4=9$.
化简,得$(4+b)k=13-2a$.
由于$k$可以取任意值,则$4+b=0$,且$13-2a=0$,
解得$a=\frac{13}{2},b=-4$,
则$2a+b=2×\frac{13}{2}-4=13-4=9$.
解析：
【分析】
首先根据方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，题目中说无论k取何值方程的解都是1，所以第一步可以先把x=1代入原方程，得到含有k、a、b的等式。接下来这个等式对任意k都成立，说明含k的项的系数必须为0（否则k变化时等式左边的取值会随k变化，无法保持等式恒成立），同时等式的常数项也必须为0，由此可列方程求出a、b的值，最后代入2a+b计算即可。
【解析】
因为方程的解总为1，将x=1代入原方程，得：
$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$
等式两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k+2a=12+1-bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
由于无论k取何值等式都成立，因此k的系数和常数项均为0，即：
$\begin{cases}4+b=0 \\13-2a=0\end{cases}$
解得$a=\frac{13}{2}$，$b=-4$
代入$2a+b$计算得：
$2a+b=2×\frac{13}{2}-4=13-4=9$
【答案】
9
【知识点】
方程的解的定义；等式恒成立条件；代数式求值
【点评】
本题属于含参数的方程恒成立类题型，解题核心是抓住“解恒为1”的条件先代入定值x=1，再根据等式对任意参数成立的特征列方程求解未知常数，解题时要注意去分母、合并同类项等基础计算的准确性。
【难度系数】
0.6
首先根据方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，题目中说无论k取何值方程的解都是1，所以第一步可以先把x=1代入原方程，得到含有k、a、b的等式。接下来这个等式对任意k都成立，说明含k的项的系数必须为0（否则k变化时等式左边的取值会随k变化，无法保持等式恒成立），同时等式的常数项也必须为0，由此可列方程求出a、b的值，最后代入2a+b计算即可。
【解析】
因为方程的解总为1，将x=1代入原方程，得：
$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$
等式两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k+2a=12+1-bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
由于无论k取何值等式都成立，因此k的系数和常数项均为0，即：
$\begin{cases}4+b=0 \\13-2a=0\end{cases}$
解得$a=\frac{13}{2}$，$b=-4$
代入$2a+b$计算得：
$2a+b=2×\frac{13}{2}-4=13-4=9$
【答案】
9
【知识点】
方程的解的定义；等式恒成立条件；代数式求值
【点评】
本题属于含参数的方程恒成立类题型，解题核心是抓住“解恒为1”的条件先代入定值x=1，再根据等式对任意参数成立的特征列方程求解未知常数，解题时要注意去分母、合并同类项等基础计算的准确性。
【难度系数】
0.6
15. 传统文化幻方幻方最早源于我国，古人称之为纵横图. 在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为
-2
.答案：15.$-2$ [解析]由题意,得$-1-6+1=0+a-4$,解得$a=-2$.
解析：
【分析】
本题可根据幻方“各行、各列及对角线上三个数字之和均相等”的性质解题，首先选择所有数字都已知的第一行，计算出这三个数的和，这个和就是第二行三个数的和，第二行仅含未知数a，据此列方程即可求出a的值。
【解析】
首先计算第一行三个数字的和：
$-1 + (-6) + 1 = -6$
根据幻方性质，第二行三个数字的和也等于$-6$，可列方程：
$0 + a + (-4) = -6$
化简得：$a - 4 = -6$
移项计算得：$a = -6 + 4 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
幻方的性质、一元一次方程的应用、有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是利用幻方的和相等性质，先求出公共和，再建立方程求解未知数，掌握幻方基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据幻方“各行、各列及对角线上三个数字之和均相等”的性质解题，首先选择所有数字都已知的第一行，计算出这三个数的和，这个和就是第二行三个数的和，第二行仅含未知数a，据此列方程即可求出a的值。
【解析】
首先计算第一行三个数字的和：
$-1 + (-6) + 1 = -6$
根据幻方性质，第二行三个数字的和也等于$-6$，可列方程：
$0 + a + (-4) = -6$
化简得：$a - 4 = -6$
移项计算得：$a = -6 + 4 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
幻方的性质、一元一次方程的应用、有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是利用幻方的和相等性质，先求出公共和，再建立方程求解未知数，掌握幻方基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
16.若关于x的方程$2ax=(a+1)x+6$的解为正整数，则整数a的值为
2或3或4或7
。答案：16.2或3或4或7 [解析]方程整理,得$(a-1)x=6$,解得$x=\frac{6}{a-1}$.由方程的解为正整数,得$\frac{6}{a-1}$为正整数,则整数$a$的值为2,3,4,7.
解析：
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求参数值的问题，解题思路如下：首先将参数a看作已知数，按照一元一次方程的常规解法，通过移项、合并同类项、系数化为1，用含a的代数式表示出方程的解x；再结合题目给出的“解为正整数、a为整数”的条件，可知a-1是6的正因数，逐一列举出6的所有正因数，即可求出对应的a的所有取值。
【解析】
对原方程进行整理：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，得：$2ax - (a+1)x = 6$
2. 合并同类项，计算x的系数：$2a - (a+1) = a - 1$，因此方程化为：$(a-1)x = 6$
3. 系数化为1，可得：$x = \frac{6}{a-1}$（$a≠1$，否则方程无解）
∵ 方程的解x为正整数，且a为整数
∴ $a-1$是6的正因数
6的正因数有1、2、3、6，对应可得：
当$a-1=1$时，$a=2$；
当$a-1=2$时，$a=3$；
当$a-1=3$时，$a=4$；
当$a-1=6$时，$a=7$。
【答案】
2或3或4或7
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参方程整数解求解
【点评】
本题是含参数一元一次方程的典型题型，解题核心是先把参数当作已知数求解方程，再结合解的限制条件反推参数的取值，枚举因数时注意不要遗漏符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数的一元一次方程求参数值的问题，解题思路如下：首先将参数a看作已知数，按照一元一次方程的常规解法，通过移项、合并同类项、系数化为1，用含a的代数式表示出方程的解x；再结合题目给出的“解为正整数、a为整数”的条件，可知a-1是6的正因数，逐一列举出6的所有正因数，即可求出对应的a的所有取值。
【解析】
对原方程进行整理：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，得：$2ax - (a+1)x = 6$
2. 合并同类项，计算x的系数：$2a - (a+1) = a - 1$，因此方程化为：$(a-1)x = 6$
3. 系数化为1，可得：$x = \frac{6}{a-1}$（$a≠1$，否则方程无解）
∵ 方程的解x为正整数，且a为整数
∴ $a-1$是6的正因数
6的正因数有1、2、3、6，对应可得：
当$a-1=1$时，$a=2$；
当$a-1=2$时，$a=3$；
当$a-1=3$时，$a=4$；
当$a-1=6$时，$a=7$。
【答案】
2或3或4或7
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参方程整数解求解
【点评】
本题是含参数一元一次方程的典型题型，解题核心是先把参数当作已知数求解方程，再结合解的限制条件反推参数的取值，枚举因数时注意不要遗漏符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
17.(2025·陕西模拟)某商场将一种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%。已知这种商品的成本价为4800元，则这种商品的原价是
6600
元。答案：17.6600 [解析]设这种商品的原价是$x$元,根据题意可得$x·80\%-4800=4800×10\%$,$x=6600$.
解析：
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：商品成本价为4800元，按原价8折出售时利润率为10%，要求原价。首先回忆销售问题的核心等量关系：一是利润=售价-成本，二是利润=成本×利润率，两个式子都表示利润，因此可以建立等式。接下来我们设原价为未知数x，用含x的式子表示出打折后的售价，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
设这种商品的原价是$ x $元。
根据题意，打8折后的售价为$ 80\%x $元，结合利润的两种计算方式可列方程：
$ 80\%x - 4800 = 4800 × 10\% $
计算方程右边：$ 80\%x - 4800 = 480 $
移项得：$ 0.8x = 480 + 4800 $
合并得：$ 0.8x = 5280 $
系数化为1得：$ x = 5280 ÷ 0.8 = 6600 $
【答案】
6600
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售问题
3. 利润率计算
【点评】
本题是销售类的典型基础应用题，解题关键是找准利润的两种表达形式，明确折扣、售价、成本、利润率之间的数量关系，熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先梳理已知条件：商品成本价为4800元，按原价8折出售时利润率为10%，要求原价。首先回忆销售问题的核心等量关系：一是利润=售价-成本，二是利润=成本×利润率，两个式子都表示利润，因此可以建立等式。接下来我们设原价为未知数x，用含x的式子表示出打折后的售价，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
设这种商品的原价是$ x $元。
根据题意，打8折后的售价为$ 80\%x $元，结合利润的两种计算方式可列方程：
$ 80\%x - 4800 = 4800 × 10\% $
计算方程右边：$ 80\%x - 4800 = 480 $
移项得：$ 0.8x = 480 + 4800 $
合并得：$ 0.8x = 5280 $
系数化为1得：$ x = 5280 ÷ 0.8 = 6600 $
【答案】
6600
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售问题
3. 利润率计算
【点评】
本题是销售类的典型基础应用题，解题关键是找准利润的两种表达形式，明确折扣、售价、成本、利润率之间的数量关系，熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8