26. 新考法 操作探究 (1)探究:哪些特殊的角可以用一副三角板画出? 在①$135°$,②$120°$,③$75°$,④$25°$中,小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是
(第26题)
④
.(填序号) (2)在探究的过程中,爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图(1),他先用三角板画出了直线$EF$,然后将一副三角板拼接在一起,其中$45°$角($∠ AOB$)的顶点与$60°$角($∠ COD$)的顶点互相重合,且边$OA$,$OC$都在直线$EF$上.固定三角板$COD$不动,将三角板$AOB$绕点$O$按顺时针方向旋转一个角度$α$,即$∠ EOA=α$(如图(2)),当边$OB$与射线$OF$第一次重合时停止. ①当$OB$平分$∠ EOD$时,求旋转角度$α$. ②是否存在$∠ BOC=2∠ AOD$? 若存在,求$α$的值;若不存在,请说明理由. (第26题)答案：26. (1)④
(2)①因为$∠COD=60°$,
所以$∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°$.
因为OB平分$∠EOD$,
所以$∠EOB=\frac{1}{2}∠EOD=\frac{1}{2}×120°=60°$.
因为$∠AOB=45°$,所以$α=∠EOB-∠AOB=60°-45°=15°$.
②存在,$α=105°$或$125°$.理由如下：
当OA在OD左侧时,$∠AOD=120°-α,∠BOC=135°-α$.
因为$∠BOC=2∠AOD$,
所以$135°-α=2(120°-α)$,解得$α=105°$;
当OA在OD右侧时,$∠AOD=α-120°,∠BOC=135°-α$.
因为$∠BOC=2∠AOD$,
所以$135°-α=2(α-120°)$,解得$α=125°$.
综上所述,当$α=105°$或$125°$时,存在$∠BOC=2∠AOD$.
(2)①因为$∠COD=60°$,
所以$∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°$.
因为OB平分$∠EOD$,
所以$∠EOB=\frac{1}{2}∠EOD=\frac{1}{2}×120°=60°$.
因为$∠AOB=45°$,所以$α=∠EOB-∠AOB=60°-45°=15°$.
②存在,$α=105°$或$125°$.理由如下：
当OA在OD左侧时,$∠AOD=120°-α,∠BOC=135°-α$.
因为$∠BOC=2∠AOD$,
所以$135°-α=2(120°-α)$,解得$α=105°$;
当OA在OD右侧时,$∠AOD=α-120°,∠BOC=135°-α$.
因为$∠BOC=2∠AOD$,
所以$135°-α=2(α-120°)$,解得$α=125°$.
综上所述,当$α=105°$或$125°$时,存在$∠BOC=2∠AOD$.
解析：
【分析】
（1）一副三角板的固有角度为30°、45°、60°、90°，通过角度和差运算可画出的角均为15°的整数倍，据此判断四个角能否画出即可。
（2）①先根据平角的定义求出∠EOD的度数，再利用角平分线的性质得到∠EOB的度数，最后结合∠AOB的固定度数，通过角的和差关系即可求出旋转角α。
②需分两种情况讨论：当OA在OD左侧时，用含α的式子分别表示∠AOD和∠BOC，根据等量关系列方程求解；当OA在OD右侧时，同样先表示两个角再列方程求解，最后验证所求α是否在旋转角度的取值范围内即可。
【解析】
(1) 因为$135°=90°+45°$，$120°=90°+30°$，$75°=30°+45°$，都是15°的整数倍，可由三角板角度和差画出；$25°$不是15°的整数倍，无法画出，故选④。
(2) ①因为$∠COD=60°$，
所以$∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°$。
因为OB平分$∠EOD$，
所以$∠EOB=\frac{1}{2}∠EOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
因为$∠AOB=45°$，
所以$α=∠EOB-∠AOB=60°-45°=15°$。
②存在，理由如下：
当OA在OD左侧时，$∠AOD=120°-α$，$∠BOC=180°-45°-α=135°-α$。
因为$∠BOC=2∠AOD$，
所以$135°-α=2(120°-α)$，解得$α=105°$；
当OA在OD右侧时，$∠AOD=α-120°$，$∠BOC=135°-α$。
因为$∠BOC=2∠AOD$，
所以$135°-α=2(α-120°)$，解得$α=125°$。
旋转停止时OB与OF第一次重合，此时最大旋转角$α=180°-45°=135°$，$105°＜135°$，$125°＜135°$，两个解均符合要求。
综上所述，当$α=105°$或$125°$时，存在$∠BOC=2∠AOD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{④}$
(2) ①旋转角度$\boldsymbol{α=15°}$；②存在，$\boldsymbol{α=105°}$或$\boldsymbol{α=125°}$
【知识点】
三角板角度运算、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题以三角板旋转为背景考查角的相关计算，既覆盖了角的基础性质考点，也要求学生具备动态分析能力和分类讨论思想，解题时要注意不要遗漏OA在OD右侧的情况，同时需要验证解是否符合旋转的范围要求。
【难度系数】
0.6
（1）一副三角板的固有角度为30°、45°、60°、90°，通过角度和差运算可画出的角均为15°的整数倍，据此判断四个角能否画出即可。
（2）①先根据平角的定义求出∠EOD的度数，再利用角平分线的性质得到∠EOB的度数，最后结合∠AOB的固定度数，通过角的和差关系即可求出旋转角α。
②需分两种情况讨论：当OA在OD左侧时，用含α的式子分别表示∠AOD和∠BOC，根据等量关系列方程求解；当OA在OD右侧时，同样先表示两个角再列方程求解，最后验证所求α是否在旋转角度的取值范围内即可。
【解析】
(1) 因为$135°=90°+45°$，$120°=90°+30°$，$75°=30°+45°$，都是15°的整数倍，可由三角板角度和差画出；$25°$不是15°的整数倍，无法画出，故选④。
(2) ①因为$∠COD=60°$，
所以$∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°$。
因为OB平分$∠EOD$，
所以$∠EOB=\frac{1}{2}∠EOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
因为$∠AOB=45°$，
所以$α=∠EOB-∠AOB=60°-45°=15°$。
②存在，理由如下：
当OA在OD左侧时，$∠AOD=120°-α$，$∠BOC=180°-45°-α=135°-α$。
因为$∠BOC=2∠AOD$，
所以$135°-α=2(120°-α)$，解得$α=105°$；
当OA在OD右侧时，$∠AOD=α-120°$，$∠BOC=135°-α$。
因为$∠BOC=2∠AOD$，
所以$135°-α=2(α-120°)$，解得$α=125°$。
旋转停止时OB与OF第一次重合，此时最大旋转角$α=180°-45°=135°$，$105°＜135°$，$125°＜135°$，两个解均符合要求。
综上所述，当$α=105°$或$125°$时，存在$∠BOC=2∠AOD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{④}$
(2) ①旋转角度$\boldsymbol{α=15°}$；②存在，$\boldsymbol{α=105°}$或$\boldsymbol{α=125°}$
【知识点】
三角板角度运算、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题以三角板旋转为背景考查角的相关计算，既覆盖了角的基础性质考点，也要求学生具备动态分析能力和分类讨论思想，解题时要注意不要遗漏OA在OD右侧的情况，同时需要验证解是否符合旋转的范围要求。
【难度系数】
0.6