例9 如图,在$△ ABC$中,D为射线CB上一点,且不与点B,C重合,$DE// AB$交直线AC于点E,$DF// AC$交直线AB于点F.
(1)画出符合题意的图形;
(2)猜想$∠ EDF$与$∠ BAC$的数量关系,并证明你的结论.
名师启发 (1)分别根据当点D在线段CB上时和当点D在线段CB的延长线上时,画出图形即可;
(2)根据画出的图形,利用平行线的性质对两种情况分别进行猜想和证明即可.
关键提醒 本题主要考查了平行线的性质,学会用分类讨论的思想是解答本题的关键.
(1)画出符合题意的图形;
(2)猜想$∠ EDF$与$∠ BAC$的数量关系,并证明你的结论.
名师启发 (1)分别根据当点D在线段CB上时和当点D在线段CB的延长线上时,画出图形即可;
(2)根据画出的图形,利用平行线的性质对两种情况分别进行猜想和证明即可.
关键提醒 本题主要考查了平行线的性质,学会用分类讨论的思想是解答本题的关键.
答案：
(1)当点D在线段CB上时,如图(1)所示;当点D在线段CB的延长线上时,如图(2)所示.
(2)①如图(1),当点D在线段CB上时,此时$∠EDF=∠BAC$.证明如下:
因为$DE//AB$,所以$∠DEC=∠BAC$.
因为$DF//AC$,所以$∠EDF=∠DEC$,
所以$∠EDF=∠BAC$;
②如图(2),当点D在线段CB的延长线上时,此时$∠EDF+∠BAC=180°$.证明如下:
因为$DE//AB$,所以$∠EDF+∠F=180°$.
因为$DF//AC$,所以$∠F=∠BAC$,
所以$∠EDF+∠BAC=180°$.
(1)当点D在线段CB上时,如图(1)所示;当点D在线段CB的延长线上时,如图(2)所示.
(2)①如图(1),当点D在线段CB上时,此时$∠EDF=∠BAC$.证明如下:
因为$DE//AB$,所以$∠DEC=∠BAC$.
因为$DF//AC$,所以$∠EDF=∠DEC$,
所以$∠EDF=∠BAC$;
②如图(2),当点D在线段CB的延长线上时,此时$∠EDF+∠BAC=180°$.证明如下:
因为$DE//AB$,所以$∠EDF+∠F=180°$.
因为$DF//AC$,所以$∠F=∠BAC$,
所以$∠EDF+∠BAC=180°$.
解析：
【分析】
(1) 射线CB以C为端点，向B方向无限延伸，因此D点存在两种位置：①在线段CB上；②在线段CB的延长线上（B点远离C的一侧），根据DE//AB、DF//AC的要求分别画出对应图形即可。
(2) 探究角的数量关系时，结合两种位置的图形，利用平行线的性质找到与∠EDF、∠BAC都相关的中间角，通过等量代换推导二者关系：D在线段CB上时选中间角∠DEC，D在CB延长线上时选中间角∠F，分别推导即可。
【解析】
(1) 分两种情况画图：
① 当点D在线段CB上时，图形如题中图(1)所示；
② 当点D在线段CB的延长线上时，图形如题中图(2)所示。
(2) 分两种情况推导角的数量关系：
① 当点D在线段CB上时，∠EDF=∠BAC，证明如下：
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠BAC（两直线平行，同位角相等）。
∵DF//AC，
∴∠EDF=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EDF=∠BAC（等量代换）。
② 当点D在线段CB的延长线上时，∠EDF+∠BAC=180°，证明如下：
∵DE//AB，
∴∠EDF+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵DF//AC，
∴∠F=∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴∠EDF+∠BAC=180°（等量代换）。
【答案】
(1)当点D在线段CB上时,如图(1)所示;当点D在线段CB的延长线上时,如图(2)所示.
(2)①当点D在线段CB上时，$\boldsymbol{∠EDF=∠BAC}$；②当点D在线段CB的延长线上时，$\boldsymbol{∠EDF+∠BAC=180°}$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，等量代换
【点评】
本题重点考查平行线性质的应用，解题的关键是明确射线的取值范围，对D点的位置分类讨论，避免漏解。推导角的关系时引入中间角做等量代换是常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 射线CB以C为端点，向B方向无限延伸，因此D点存在两种位置：①在线段CB上；②在线段CB的延长线上（B点远离C的一侧），根据DE//AB、DF//AC的要求分别画出对应图形即可。
(2) 探究角的数量关系时，结合两种位置的图形，利用平行线的性质找到与∠EDF、∠BAC都相关的中间角，通过等量代换推导二者关系：D在线段CB上时选中间角∠DEC，D在CB延长线上时选中间角∠F，分别推导即可。
【解析】
(1) 分两种情况画图：
① 当点D在线段CB上时，图形如题中图(1)所示；
② 当点D在线段CB的延长线上时，图形如题中图(2)所示。
(2) 分两种情况推导角的数量关系：
① 当点D在线段CB上时，∠EDF=∠BAC，证明如下：
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠BAC（两直线平行，同位角相等）。
∵DF//AC，
∴∠EDF=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EDF=∠BAC（等量代换）。
② 当点D在线段CB的延长线上时，∠EDF+∠BAC=180°，证明如下：
∵DE//AB，
∴∠EDF+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵DF//AC，
∴∠F=∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴∠EDF+∠BAC=180°（等量代换）。
【答案】
(1)当点D在线段CB上时,如图(1)所示;当点D在线段CB的延长线上时,如图(2)所示.
(2)①当点D在线段CB上时，$\boldsymbol{∠EDF=∠BAC}$；②当点D在线段CB的延长线上时，$\boldsymbol{∠EDF+∠BAC=180°}$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，等量代换
【点评】
本题重点考查平行线性质的应用，解题的关键是明确射线的取值范围，对D点的位置分类讨论，避免漏解。推导角的关系时引入中间角做等量代换是常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
例10 (2026·陕西咸阳礼泉期中)[问题背景]如图,点C在线段AB上,且AC=10,BC=$\frac{1}{3}$AB.
[问题再现](1)求线段AB的长度;
[拓展提升](2)若DE=8,线段DE在线段AB上移动,且点D在点E的左侧.
①当点D为线段AC的中点时,求线段BE的长度;
②若有一点F在线段AB上,使得AF=2AD,CF=2,求线段AE的长度.
名师启发 (1)根据图形中线段的和差关系,列方程求解即可;
(2)①根据线段中点的定义进行计算即可;
②分点F在点C的左侧和右侧两种情况,分别画出相应的图形,根据图形中线段的和差关系进行计算即可.
[问题再现](1)求线段AB的长度;
[拓展提升](2)若DE=8,线段DE在线段AB上移动,且点D在点E的左侧.
①当点D为线段AC的中点时,求线段BE的长度;
②若有一点F在线段AB上,使得AF=2AD,CF=2,求线段AE的长度.
名师启发 (1)根据图形中线段的和差关系,列方程求解即可;
(2)①根据线段中点的定义进行计算即可;
②分点F在点C的左侧和右侧两种情况,分别画出相应的图形,根据图形中线段的和差关系进行计算即可.
答案：
(1)设$BC=x$.
因为$BC=\frac{1}{3}AB$,所以$AB=3x$.
因为$AC=10=AB-BC$,
所以$3x-x=10$,解得$x=5$,
所以$AB=3x=15$.
(2)①因为点D为线段AC的中点,
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=5$,
所以$BD=AB-AD=15-5=10$.
因为$DE=8$,所以$BE=BD-DE=10-8=2$.
②当点F在点C的左侧时,如图(1)所示.
因为$AC=10,CF=2$,
所以$AF=AC-CF=10-2=8$.
因为$AF=2AD$,所以$AD=DF=\frac{1}{2}AF=4$,
所以$AE=AD+DE=4+8=12$;
当点F在点C的右侧时,如图(2)所示.
因为$AC=10,CF=2$,
所以$AF=AC+CF=10+2=12$.
因为$AF=2AD$,所以$AD=DF=\frac{1}{2}AF=6$,
所以$AE=AD+DE=6+8=14$.
综上所述,$AE=12$或$14$.
(1)设$BC=x$.
因为$BC=\frac{1}{3}AB$,所以$AB=3x$.
因为$AC=10=AB-BC$,
所以$3x-x=10$,解得$x=5$,
所以$AB=3x=15$.
(2)①因为点D为线段AC的中点,
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=5$,
所以$BD=AB-AD=15-5=10$.
因为$DE=8$,所以$BE=BD-DE=10-8=2$.
②当点F在点C的左侧时,如图(1)所示.
因为$AC=10,CF=2$,
所以$AF=AC-CF=10-2=8$.
因为$AF=2AD$,所以$AD=DF=\frac{1}{2}AF=4$,
所以$AE=AD+DE=4+8=12$;
当点F在点C的右侧时,如图(2)所示.
因为$AC=10,CF=2$,
所以$AF=AC+CF=10+2=12$.
因为$AF=2AD$,所以$AD=DF=\frac{1}{2}AF=6$,
所以$AE=AD+DE=6+8=14$.
综上所述,$AE=12$或$14$.
解析：
【分析】
(1) 观察图形可得$AB=AC+BC$，结合已知$BC=\frac{1}{3}AB$、$AC=10$，可以通过设未知数，利用线段和差关系列方程求解AB的长度。
(2) ① 先根据线段中点的定义求出AD的长度，再用AB减去AD得到BD的长度，结合DE的长度，通过$BD-DE$即可求出BE的长度。
② 点F的位置不明确，需分两种情况讨论：点F在C的左侧、点F在C的右侧，分别结合$AF=2AD$、$CF=2$的条件算出AD的长度，再根据$AE=AD+DE$求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 设$BC=x$，
因为$BC=\frac{1}{3}AB$，所以$AB=3x$，
因为点C在线段AB上，$AC=AB-BC=10$，
代入得$3x-x=10$，解得$x=5$，
所以$AB=3x=3×5=15$。
(2) ① 因为点D为线段AC的中点，$AC=10$，
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，
则$BD=AB-AD=15-5=10$，
已知$DE=8$，所以$BE=BD-DE=10-8=2$。
② 分两种情况讨论：
当点F在点C的左侧时，如图(1)所示：
因为$AC=10$，$CF=2$，所以$AF=AC-CF=10-2=8$，
又因为$AF=2AD$，所以$AD=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×8=4$，
因此$AE=AD+DE=4+8=12$；
当点F在点C的右侧时，如图(2)所示：
因为$AC=10$，$CF=2$，所以$AF=AC+CF=10+2=12$，
又因为$AF=2AD$，所以$AD=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×12=6$，
因此$AE=AD+DE=6+8=14$。
综上，AE的长度为12或14。
【答案】
(1) $AB=15$；
(2) ① $BE=2$；
② $AE=12$或$14$，对应图如下：
当点F在点C的左侧时：
当点F在点C的右侧时：
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的基础计算展开，核心是利用线段的和差关系建立等量求解，解题时需要注意位置不明确的点要分类讨论，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图形可得$AB=AC+BC$，结合已知$BC=\frac{1}{3}AB$、$AC=10$，可以通过设未知数，利用线段和差关系列方程求解AB的长度。
(2) ① 先根据线段中点的定义求出AD的长度，再用AB减去AD得到BD的长度，结合DE的长度，通过$BD-DE$即可求出BE的长度。
② 点F的位置不明确，需分两种情况讨论：点F在C的左侧、点F在C的右侧，分别结合$AF=2AD$、$CF=2$的条件算出AD的长度，再根据$AE=AD+DE$求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 设$BC=x$，
因为$BC=\frac{1}{3}AB$，所以$AB=3x$，
因为点C在线段AB上，$AC=AB-BC=10$，
代入得$3x-x=10$，解得$x=5$，
所以$AB=3x=3×5=15$。
(2) ① 因为点D为线段AC的中点，$AC=10$，
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，
则$BD=AB-AD=15-5=10$，
已知$DE=8$，所以$BE=BD-DE=10-8=2$。
② 分两种情况讨论：
当点F在点C的左侧时，如图(1)所示：
因为$AC=10$，$CF=2$，所以$AF=AC-CF=10-2=8$，
又因为$AF=2AD$，所以$AD=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×8=4$，
因此$AE=AD+DE=4+8=12$；
当点F在点C的右侧时，如图(2)所示：
因为$AC=10$，$CF=2$，所以$AF=AC+CF=10+2=12$，
又因为$AF=2AD$，所以$AD=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×12=6$，
因此$AE=AD+DE=6+8=14$。
综上，AE的长度为12或14。
【答案】
(1) $AB=15$；
(2) ① $BE=2$；
② $AE=12$或$14$，对应图如下：
当点F在点C的左侧时：
当点F在点C的右侧时：
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的基础计算展开，核心是利用线段的和差关系建立等量求解，解题时需要注意位置不明确的点要分类讨论，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7