1. 阅读教材第157页“阅读与思考”，解决下列问题：
在初中数学综合与实践课上，同学们对“容器中的水能倒完吗”这一问题进行探究。
问题1：
(1)请根据分式的减法法则推导$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2)仿照“阅读与思考”中的化简方法，化简：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。
问题2：
(1)若容器中有2 L水，按照“阅读与思考”中的倒水方法(即第1次倒出2 L的$\frac{1}{2}$，第2次倒出的水量是$2×\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$，第3次倒出的水量是$2×\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$，……第n次倒出的水量是$2×\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n+1}$)，求倒n次后倒出的总水量；(用含n的式子表示)
(2)判断按照上述倒水方法容器中的2 L水能否倒完，并说明理由。
在初中数学综合与实践课上，同学们对“容器中的水能倒完吗”这一问题进行探究。
问题1：
(1)请根据分式的减法法则推导$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2)仿照“阅读与思考”中的化简方法，化简：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。
问题2：
(1)若容器中有2 L水，按照“阅读与思考”中的倒水方法(即第1次倒出2 L的$\frac{1}{2}$，第2次倒出的水量是$2×\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$，第3次倒出的水量是$2×\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$，……第n次倒出的水量是$2×\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n+1}$)，求倒n次后倒出的总水量；(用含n的式子表示)
(2)判断按照上述倒水方法容器中的2 L水能否倒完，并说明理由。
答案：问题1:
(1) $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$，推导成立。
(2) $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$=\frac{1}{2}×[(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) +\dots+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{n}{2n+1}.$
问题2:
(1)第1次倒出2 L的$\frac{1}{2}$,即$2×\frac{1}{2}=2×\frac{1}{1×2}$ L；
第2次倒出$2×\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$,即$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=2×\frac{1}{2×3}$ L；
第3次倒出$2×\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$,即$2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=2×\frac{1}{3×4}$ L；
第4次倒出$2×\frac{1}{4}$ L的$\frac{1}{5}$,即$2×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=2×\frac{1}{4×5}$ L；
……
第n次倒出$2×\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n+1}$,即 $2 × \frac{1}{n} × \frac{1}{n+1} = 2 × \frac{1}{n(n+1)}$ L.
$\because 2×\frac{1}{1×2}+2×\frac{1}{2×3}+2×\frac{1}{3×4}+\dots+2×\frac{1}{(n-1)n}+2×\frac{1}{n(n+1)}$
$=2[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}]$
$=2×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
$=2×(1-\frac{1}{n+1})$
$=\frac{2n}{n+1},$
$\therefore$倒n次后倒出的总水量是$\frac{2n}{n+1}$ L.
(2)不能.理由如下:可以发现,随着倒水次数的不断增加,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}$ L也不断增加,然而,不论倒水次数n有多大,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}$ L总小于2 L.所以按这种方法,容器中的2 L水倒不完.
(1) $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$，推导成立。
(2) $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$=\frac{1}{2}×[(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) +\dots+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{n}{2n+1}.$
问题2:
(1)第1次倒出2 L的$\frac{1}{2}$,即$2×\frac{1}{2}=2×\frac{1}{1×2}$ L；
第2次倒出$2×\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$,即$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=2×\frac{1}{2×3}$ L；
第3次倒出$2×\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$,即$2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=2×\frac{1}{3×4}$ L；
第4次倒出$2×\frac{1}{4}$ L的$\frac{1}{5}$,即$2×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=2×\frac{1}{4×5}$ L；
……
第n次倒出$2×\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n+1}$,即 $2 × \frac{1}{n} × \frac{1}{n+1} = 2 × \frac{1}{n(n+1)}$ L.
$\because 2×\frac{1}{1×2}+2×\frac{1}{2×3}+2×\frac{1}{3×4}+\dots+2×\frac{1}{(n-1)n}+2×\frac{1}{n(n+1)}$
$=2[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}]$
$=2×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
$=2×(1-\frac{1}{n+1})$
$=\frac{2n}{n+1},$
$\therefore$倒n次后倒出的总水量是$\frac{2n}{n+1}$ L.
(2)不能.理由如下:可以发现,随着倒水次数的不断增加,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}$ L也不断增加,然而,不论倒水次数n有多大,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}$ L总小于2 L.所以按这种方法,容器中的2 L水倒不完.
2.阅读教材第170页数学活动，探究代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的“奥秘”。
观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题：
(1)补全上面表格中的数据；
(2)已知当$x=2m$和$x=m-9$时，分式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等，则$m^2-9m=$
(3)试说明$x^2+\frac{1}{x^2}$的值一定不小于2。
观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题：
(1)补全上面表格中的数据；
(2)已知当$x=2m$和$x=m-9$时，分式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等，则$m^2-9m=$
162或$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$或-18
；(3)试说明$x^2+\frac{1}{x^2}$的值一定不小于2。
答案：(1) $\frac{82}{9}$ $\frac{17}{4}$ 2 $\frac{17}{4}$
(2) 162或$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$或$-18$
(3) 解:$\because x^2+\frac{1}{x^2}-2=(x-\frac{1}{x})^2≥0$,
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$,
即$x^2+\frac{1}{x^2}$的值一定不小于2.
(2) 162或$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$或$-18$
(3) 解:$\because x^2+\frac{1}{x^2}-2=(x-\frac{1}{x})^2≥0$,
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$,
即$x^2+\frac{1}{x^2}$的值一定不小于2.