9. 解下列方程：
(1) $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{3}{5-2x} = 2$；
(2) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{2}{1-x^2} = 1$。
(1) $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{3}{5-2x} = 2$；
(2) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{2}{1-x^2} = 1$。
答案：9.解:(1)方程两边乘$(2x-5)$,得$x-3+3=2(2x-5)$,
解得$x=\frac{10}{3}$.
检验:当$x=\frac{10}{3}$时,$2x-5≠0$,
所以,$x=\frac{10}{3}$是原分式方程的解.
(2)方程两边乘$(x-1)(x+1)$,得$(x+1)^2+2=(x-1)(x+1)$,
解得$x=-2$.
检验:当$x=-2$时,$(x-1)(x+1)≠0$,
所以,$x=-2$是原分式方程的解.
解得$x=\frac{10}{3}$.
检验:当$x=\frac{10}{3}$时,$2x-5≠0$,
所以,$x=\frac{10}{3}$是原分式方程的解.
(2)方程两边乘$(x-1)(x+1)$,得$(x+1)^2+2=(x-1)(x+1)$,
解得$x=-2$.
检验:当$x=-2$时,$(x-1)(x+1)≠0$,
所以,$x=-2$是原分式方程的解.
10.(2025·霍邱县期末)观察下列等式：
第1个等式：$\frac{2^2}{1 × 3}=1+\frac{1}{1 × 3}$；
第2个等式：$\frac{3^2}{2 × 4}=1+\frac{1}{2 × 4}$；
第3个等式：$\frac{4^2}{3 × 5}=1+\frac{1}{3 × 5}$；
第4个等式：$\frac{5^2}{4 × 6}=1+\frac{1}{4 × 6}$……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出第n个等式(用含n的式子表示)，并通过计算说明你写出的等式的正确性；
(3)利用上述规律，计算：$(1+\frac{1}{1 × 3}) × (1+\frac{1}{2 × 4}) × (1+\frac{1}{3 × 5}) × \dots × (1+\frac{1}{98 × 100})$。
第1个等式：$\frac{2^2}{1 × 3}=1+\frac{1}{1 × 3}$；
第2个等式：$\frac{3^2}{2 × 4}=1+\frac{1}{2 × 4}$；
第3个等式：$\frac{4^2}{3 × 5}=1+\frac{1}{3 × 5}$；
第4个等式：$\frac{5^2}{4 × 6}=1+\frac{1}{4 × 6}$……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出第n个等式(用含n的式子表示)，并通过计算说明你写出的等式的正确性；
(3)利用上述规律，计算：$(1+\frac{1}{1 × 3}) × (1+\frac{1}{2 × 4}) × (1+\frac{1}{3 × 5}) × \dots × (1+\frac{1}{98 × 100})$。
答案：10.解:(1)$\frac{6^2}{5×7}=1+\frac{1}{5×7}$.
(2)第$n$个等式为$\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=1+\frac{1}{n(n+2)}$.
$∵$左边$=\frac{n^2+2n+1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}=1+\frac{1}{n(n+2)}=$右边,
$∴$等式成立.
(3)原式$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{99^2}{98×100}=\frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×…×\frac{99}{98}×\frac{99}{100}=\frac{2×99}{100}=\frac{99}{50}$.
(2)第$n$个等式为$\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=1+\frac{1}{n(n+2)}$.
$∵$左边$=\frac{n^2+2n+1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}=1+\frac{1}{n(n+2)}=$右边,
$∴$等式成立.
(3)原式$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{99^2}{98×100}=\frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×…×\frac{99}{98}×\frac{99}{100}=\frac{2×99}{100}=\frac{99}{50}$.
11.(2025·潍坊)某企业为提高生产效率,采购了相同数量的A型,B型两种智能机器人,购买A型机器人的总费用为90万元,购买B型机器人的总费用为60万元,B型机器人单价比A型机器人单价低3万元.
(1)求A型,B型两种机器人的单价;
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线,要求A,B两种型号的机器人各至少配备1台,且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.
(1)求A型,B型两种机器人的单价;
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线,要求A,B两种型号的机器人各至少配备1台,且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.
答案：11.解:(1)设A型机器人的单价为$x$万元,则B型机器人的单价为$(x-3)$万元,
根据题意,得$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-3}$,方程两边乘$x(x-3)$,得$90(x-3)=60x$,解得$x=9$.
检验:当$x=9$时,$x(x-3)≠0$,所以$x=9$是原分式方程的解,
所以$x-3=9-3=6$.
答:A型机器人的单价为9万元,B型机器人的单价为6万元.
(2)设配备A型机器人$y$台,则配备B型机器人$(10-y)$台,
根据题意,得$9y+6(10-y)≤70$,解得$y≤\frac{10}{3}$.
又$∵y$为正整数,$∴y$可以为1,2,3,
$∴$共有3种配备方案,
方案1:配备A型机器人1台,B型机器人9台;
方案2:配备A型机器人2台,B型机器人8台;
方案3:配备A型机器人3台,B型机器人7台.
根据题意,得$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-3}$,方程两边乘$x(x-3)$,得$90(x-3)=60x$,解得$x=9$.
检验:当$x=9$时,$x(x-3)≠0$,所以$x=9$是原分式方程的解,
所以$x-3=9-3=6$.
答:A型机器人的单价为9万元,B型机器人的单价为6万元.
(2)设配备A型机器人$y$台,则配备B型机器人$(10-y)$台,
根据题意,得$9y+6(10-y)≤70$,解得$y≤\frac{10}{3}$.
又$∵y$为正整数,$∴y$可以为1,2,3,
$∴$共有3种配备方案,
方案1:配备A型机器人1台,B型机器人9台;
方案2:配备A型机器人2台,B型机器人8台;
方案3:配备A型机器人3台,B型机器人7台.