3.(1)如图①,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内点A'的位置,则∠A,∠A'DC,∠A'EB之间的数量关系为
(2)如图②,若将(1)中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A'的位置”,则此时∠A,∠A'DC,∠A'EB之间的数量关系为
(3)如图③,将四边形纸片ABCD(∠C=90°,AB与CD不平行)沿EF折叠,若∠D'EC=115°,∠A'FB=45°,求∠B的度数;
(4)在图③中分别作出∠D'EC,∠A'FB的平分线EG,FH,试判断射线EG与FH的位置关系,当点E在DC边上向点C移动时(不与点C重合),∠D'EC,∠A'FB的大小随之改变(其他条件不变),上述EG与FH的位置关系会改变吗?为什么?
2∠A=∠A'DC+∠A'EB
;(2)如图②,若将(1)中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A'的位置”,则此时∠A,∠A'DC,∠A'EB之间的数量关系为
2∠A=∠A'DC-∠A'EB
;(3)如图③,将四边形纸片ABCD(∠C=90°,AB与CD不平行)沿EF折叠,若∠D'EC=115°,∠A'FB=45°,求∠B的度数;
(4)在图③中分别作出∠D'EC,∠A'FB的平分线EG,FH,试判断射线EG与FH的位置关系,当点E在DC边上向点C移动时(不与点C重合),∠D'EC,∠A'FB的大小随之改变(其他条件不变),上述EG与FH的位置关系会改变吗?为什么?
答案：
3.(1)2∠A=∠A'DC+∠A'EB
(2)2∠A=∠A'DC-∠A'EB
(3)解:如答图①,延长BA,CD交于点Q,延长ED',FA'交于点Q',
∴折叠后的△EFQ与△EFQ'重合.
由(2)的结论,得2∠Q=∠D'EC-∠A'FB,
∵∠D'EC=115°,∠A'FB=45°,
∴2∠Q=115°-45°=70°,
∴∠Q=35°.
∵∠C=90°,
∴∠B=90°-35°=55°.
(4)解:EG//FH,不会改变.理由如下:
如答图②,
∵EG平分∠D'EC,FH平分∠A'FB,
∴∠D'EG=∠CEG=1/2∠D'EC,∠A'FH=∠BFH=1/2∠A'FB.
由折叠,得∠Q'EF=∠QEF,∠Q'FE=∠QFE.
由(2)的结论,得∠D'EC-∠A'FB=2∠Q,
即∠D'EC=∠A'FB+2∠Q,
∴∠D'EG=∠A'FH+∠Q,
∴∠D'EG+∠D'EF+∠BFE+∠BFH=∠A'FH+∠Q+∠QEF+∠BFH+∠BFE,
∴∠FEG+∠HFE=∠Q+∠QEF+∠Q'FE,
∴∠FEG+∠HFE=∠Q+∠QEF+∠QFE=180°,
∴EG//FH.
3.(1)2∠A=∠A'DC+∠A'EB
(2)2∠A=∠A'DC-∠A'EB
(3)解:如答图①,延长BA,CD交于点Q,延长ED',FA'交于点Q',
∴折叠后的△EFQ与△EFQ'重合.
由(2)的结论,得2∠Q=∠D'EC-∠A'FB,
∵∠D'EC=115°,∠A'FB=45°,
∴2∠Q=115°-45°=70°,
∴∠Q=35°.
∵∠C=90°,
∴∠B=90°-35°=55°.
(4)解:EG//FH,不会改变.理由如下:
如答图②,
∵EG平分∠D'EC,FH平分∠A'FB,
∴∠D'EG=∠CEG=1/2∠D'EC,∠A'FH=∠BFH=1/2∠A'FB.
由折叠,得∠Q'EF=∠QEF,∠Q'FE=∠QFE.
由(2)的结论,得∠D'EC-∠A'FB=2∠Q,
即∠D'EC=∠A'FB+2∠Q,
∴∠D'EG=∠A'FH+∠Q,
∴∠D'EG+∠D'EF+∠BFE+∠BFH=∠A'FH+∠Q+∠QEF+∠BFH+∠BFE,
∴∠FEG+∠HFE=∠Q+∠QEF+∠Q'FE,
∴∠FEG+∠HFE=∠Q+∠QEF+∠QFE=180°,
∴EG//FH.
4.【问题呈现】(1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,$AE$平分$∠ BAC$,$AD⊥ BC$于点$D$,猜想$∠ B$,$∠ C$,$∠ EAD$之间的数量关系；
【变式应用】(2)在图②中,$∠ B=35°$,$∠ C=75°$,若把“$AD⊥ BC$于点$D$”改为“$F$是线段$AE$上一点,$FD⊥ BC$于点$D$”,其余条件不变,求$∠ DFE$的度数；
【思维发散】(3)交换$B,C$两个字母的位置,在图③中,若把(2)中的“点$F$在线段$AE$上”改为“$F$是$EA$延长线上一点”,其余条件不变,当$∠ ABC=88°$,$∠ C=24°$时,$∠ F$的度数为
【能力提升】(4)在图④中,若点$F$在$AE$的延长线上,$FD⊥ BC$于点$D$,设$∠ B=x$,$∠ C=y$,其余条件不变,分别作出$∠ CAE$和$∠ EDF$的平分线,交于点$P$,试用含$x,y$的代数式表示$∠ P$,则$∠ P=$
【变式应用】(2)在图②中,$∠ B=35°$,$∠ C=75°$,若把“$AD⊥ BC$于点$D$”改为“$F$是线段$AE$上一点,$FD⊥ BC$于点$D$”,其余条件不变,求$∠ DFE$的度数；
【思维发散】(3)交换$B,C$两个字母的位置,在图③中,若把(2)中的“点$F$在线段$AE$上”改为“$F$是$EA$延长线上一点”,其余条件不变,当$∠ ABC=88°$,$∠ C=24°$时,$∠ F$的度数为
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$°$；【能力提升】(4)在图④中,若点$F$在$AE$的延长线上,$FD⊥ BC$于点$D$,设$∠ B=x$,$∠ C=y$,其余条件不变,分别作出$∠ CAE$和$∠ EDF$的平分线,交于点$P$,试用含$x,y$的代数式表示$∠ P$,则$∠ P=$
$\frac{1}{4}(3y-x)$
.答案：
4.(1)解: $\because ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C$, $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$,$∠ BAD=90°-∠ B$,
$\therefore ∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=90°-∠ B-\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C) = 90°-∠ B-90°+\frac{1}{2}∠ B+\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$,$\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(2)解:如答图,过点$A$作$AG⊥ BC$于点$G$.
$\because FD⊥ BC$,$AG⊥ BC$,$\therefore FD// AG$,$\therefore ∠ DFE=∠ EAG$.
$\because ∠ B=35°$,$∠ C=75°$,
由(1)同理可得$∠ EAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)=\frac{1}{2}(75°-35°)=20°$,
$\therefore ∠ DFE=∠ EAG=20°$.
(3)32
(4)$\frac{1}{4}(3y-x)$
4.(1)解: $\because ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C$, $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$,$∠ BAD=90°-∠ B$,
$\therefore ∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE=90°-∠ B-\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C) = 90°-∠ B-90°+\frac{1}{2}∠ B+\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$,$\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(2)解:如答图,过点$A$作$AG⊥ BC$于点$G$.
$\because FD⊥ BC$,$AG⊥ BC$,$\therefore FD// AG$,$\therefore ∠ DFE=∠ EAG$.
$\because ∠ B=35°$,$∠ C=75°$,
由(1)同理可得$∠ EAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)=\frac{1}{2}(75°-35°)=20°$,
$\therefore ∠ DFE=∠ EAG=20°$.
(3)32
(4)$\frac{1}{4}(3y-x)$