1. 角的平分线上的点到
角两边的距离
相等.答案：1. 角两边的距离
解析：
【分析】
本题考查角平分线的基础性质，解题时首先回忆角平分线的相关定理内容：角平分线的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等，需明确这里的“距离”是指点到直线的垂线段长度，填写时要准确表述，不能遗漏“角两边”“距离”等关键要素。
【解析】
根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此可知横线处应填入对应内容。
【答案】
角两边的距离
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查角平分线的核心性质，是后续运用角平分线解决几何证明、计算问题的基础，学习时要准确牢记性质中的关键表述，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的基础性质，解题时首先回忆角平分线的相关定理内容：角平分线的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等，需明确这里的“距离”是指点到直线的垂线段长度，填写时要准确表述，不能遗漏“角两边”“距离”等关键要素。
【解析】
根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此可知横线处应填入对应内容。
【答案】
角两边的距离
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查角平分线的核心性质，是后续运用角平分线解决几何证明、计算问题的基础，学习时要准确牢记性质中的关键表述，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2.符号语言：
如图，∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴
如图，∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴
PD
=PE
答案：2. PD PE
解析：
【分析】
解题时首先根据已知的等角∠AOC=∠BOC，判断出OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上；再结合PD⊥OA、PE⊥OB的条件，明确PD、PE分别是角平分线上的点P到角两边OA、OB的距离，最后结合角平分线的性质即可得出两条线段相等的结论。
【解析】
第一步：判定角平分线
∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上。
第二步：明确点到角两边的距离
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离。
第三步：应用角平分线性质
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PD=PE。
【答案】
PD；PE
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用类题目，解题关键是准确识别角平分线、以及角平分线上的点到两边的垂线段，熟记相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据已知的等角∠AOC=∠BOC，判断出OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上；再结合PD⊥OA、PE⊥OB的条件，明确PD、PE分别是角平分线上的点P到角两边OA、OB的距离，最后结合角平分线的性质即可得出两条线段相等的结论。
【解析】
第一步：判定角平分线
∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上。
第二步：明确点到角两边的距离
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离。
第三步：应用角平分线性质
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PD=PE。
【答案】
PD；PE
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用类题目，解题关键是准确识别角平分线、以及角平分线上的点到两边的垂线段，熟记相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
1. 如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 （
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
第1题图 第2题图 第3题图
A
）A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
第1题图 第2题图 第3题图
答案：1. A
解析：
【分析】
要解答本题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从步骤中提取构造的两个三角形的对应边的等量关系，再对照全等三角形的判定方法即可得出结果。首先作角平分线时，第一步得到角两边上到O点距离相等的两个点，第二步得到两个点到交点C的距离相等，加上公共边OC，即可得到三边对应相等的关系，对应SSS判定。
【解析】
还原尺规作∠AOB平分线的过程：
1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N两点，可得$OM=ON$；
2. 分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于∠AOB内部的点C，可得$MC=NC$；
3. 连接OC，即为角平分线。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}OM=ON \\MC=NC \\OC=OC\quad(\mathrm{公共边})\end{cases}$
因此$△ OMC≌△ ONC(\mathrm{SSS})$，所用的全等判定方法为SSS。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形判定
【点评】
本题考查尺规作图背后的几何原理，需要结合作图步骤梳理三角形边的等量关系，属于对基础操作和基础判定的考查，容易得分。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从步骤中提取构造的两个三角形的对应边的等量关系，再对照全等三角形的判定方法即可得出结果。首先作角平分线时，第一步得到角两边上到O点距离相等的两个点，第二步得到两个点到交点C的距离相等，加上公共边OC，即可得到三边对应相等的关系，对应SSS判定。
【解析】
还原尺规作∠AOB平分线的过程：
1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N两点，可得$OM=ON$；
2. 分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于∠AOB内部的点C，可得$MC=NC$；
3. 连接OC，即为角平分线。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}OM=ON \\MC=NC \\OC=OC\quad(\mathrm{公共边})\end{cases}$
因此$△ OMC≌△ ONC(\mathrm{SSS})$，所用的全等判定方法为SSS。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形判定
【点评】
本题考查尺规作图背后的几何原理，需要结合作图步骤梳理三角形边的等量关系，属于对基础操作和基础判定的考查，容易得分。
【难度系数】
0.9
2.如图,点 P 在∠AOB 的平分线上,点 P 到 OA 的距离 PC=10,Q 是 OB 上的任意一点.下列结论正确的是 （
A.$PQ＜10$
B.$PQ＞10$
C.$PQ≥10$
D.$PQ≤10$
C
）A.$PQ＜10$
B.$PQ＞10$
C.$PQ≥10$
D.$PQ≤10$
答案：2. C
解析：
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可先求出点P到OB的距离；再结合“垂线段最短”的性质，分析OB上任意一点Q与P连线的长度范围，就能得出结论。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，PC=10，
∴根据角平分线的性质，点P到OB的距离等于PC的长度，即点P到OB的距离为10。
又
∵Q是OB上的任意一点，根据垂线段最短的性质，点P到OB上所有点的连线中，垂线段长度最短，
∴PQ≥10。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是先利用角平分线性质得到点P到OB的距离，再结合垂线段最短的性质判断线段长度的取值范围，需注意不要遗漏PQ等于10的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可先求出点P到OB的距离；再结合“垂线段最短”的性质，分析OB上任意一点Q与P连线的长度范围，就能得出结论。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，PC=10，
∴根据角平分线的性质，点P到OB的距离等于PC的长度，即点P到OB的距离为10。
又
∵Q是OB上的任意一点，根据垂线段最短的性质，点P到OB上所有点的连线中，垂线段长度最短，
∴PQ≥10。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是先利用角平分线性质得到点P到OB的距离，再结合垂线段最短的性质判断线段长度的取值范围，需注意不要遗漏PQ等于10的情况。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D.若$CD=3$,$AB=8$,则$△ ABD$的面积是
12
.答案：3. 12
解析：
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，即DC垂直于AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度3。最后结合三角形面积公式，以AB为底，D到AB的距离为高，即可计算出△ABD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD=3。
△ABD的面积 = $\frac{1}{2}×AB×DE$ = $\frac{1}{2}×8×3$ = 12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线尺规作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质求出△ABD的高，侧重对基础概念和性质的考查，需熟练掌握角平分线的作图方法和性质应用。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出所作射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，即DC垂直于AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度3。最后结合三角形面积公式，以AB为底，D到AB的距离为高，即可计算出△ABD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD=3。
△ABD的面积 = $\frac{1}{2}×AB×DE$ = $\frac{1}{2}×8×3$ = 12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线尺规作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质求出△ABD的高，侧重对基础概念和性质的考查，需熟练掌握角平分线的作图方法和性质应用。
【难度系数】
0.8
4.如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若DE=3，AB=7，BC=9，求△ABC的面积.
答案：4. 解:
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF=3,
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}BC·DF=\frac{1}{2}×7×3+\frac{1}{2}×9×3=24.$
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF=3,
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}BC·DF=\frac{1}{2}×7×3+\frac{1}{2}×9×3=24.$
解析：
【分析】
解题首先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，同时DE垂直AB、DF垂直BC，结合角平分线的性质可推出DE和DF长度相等；再将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD两个小三角形的面积之和，分别计算两个小三角形面积后相加，即可得到△ABC的总面积。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF=3，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$
$=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}BC·DF$
$=\frac{1}{2}×7×3+\frac{1}{2}×9×3$
$=10.5+13.5=24$
【答案】
24
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质得到两条高的等量关系，再通过分割法计算组合图形的面积，这种拆分求面积的思路在几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
解题首先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，同时DE垂直AB、DF垂直BC，结合角平分线的性质可推出DE和DF长度相等；再将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD两个小三角形的面积之和，分别计算两个小三角形面积后相加，即可得到△ABC的总面积。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF=3，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$
$=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}BC·DF$
$=\frac{1}{2}×7×3+\frac{1}{2}×9×3$
$=10.5+13.5=24$
【答案】
24
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的性质得到两条高的等量关系，再通过分割法计算组合图形的面积，这种拆分求面积的思路在几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
5.如图，$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$CF$与$∠ ABC$的平分线$BG$相交于点$O$. 求证:点$O$到三边$AB,BC,AC$的距离相等.
答案：
5. 证明:如答图,过点O作OM⊥BA交BA的延长线于点M,过点O作ON⊥BD于点N,OH⊥AC于点H.
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG交于点O,
∴ON=OH,OM=ON,
∴OM=ON=OH,
即点O到三边AB,BC,AC的距离相等.
5. 证明:如答图,过点O作OM⊥BA交BA的延长线于点M,过点O作ON⊥BD于点N,OH⊥AC于点H.
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG交于点O,
∴ON=OH,OM=ON,
∴OM=ON=OH,
即点O到三边AB,BC,AC的距离相等.
解析：
【分析】
要证明点O到三边的距离相等，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。解题时先过点O作出到三条边的垂线段，也就是点O到三边的距离，再结合已知的两条角平分线，分别推出两组垂线段相等，最后通过等量代换即可得到三个距离相等。
【解析】
首先过点O作三条垂线构造点到三边的距离：作OM⊥BA交BA的延长线于点M，ON⊥BD于点N，OH⊥AC于点H。
已知CF是∠ACD的平分线，O在CF上，根据角平分线的性质，O到∠ACD两边AC、CD的距离相等，即ON=OH；
又已知BG是∠ABC的平分线，O在BG上，根据角平分线的性质，O到∠ABC两边AB、BC的距离相等，即OM=ON；
结合上述两个结论可得OM=ON=OH，即可得证。
【答案】
证明:如答图,过点O作OM⊥BA交BA的延长线于点M,过点O作ON⊥BD于点N,OH⊥AC于点H.
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG交于点O,
∴ON=OH,OM=ON,
∴OM=ON=OH,
即点O到三边AB,BC,AC的距离相等.
【知识点】
角平分线的性质，等量代换，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题核心是正确构造点到直线的垂线段，再利用角平分线的性质得到距离的等量关系，通过等量代换完成证明，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明点O到三边的距离相等，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。解题时先过点O作出到三条边的垂线段，也就是点O到三边的距离，再结合已知的两条角平分线，分别推出两组垂线段相等，最后通过等量代换即可得到三个距离相等。
【解析】
首先过点O作三条垂线构造点到三边的距离：作OM⊥BA交BA的延长线于点M，ON⊥BD于点N，OH⊥AC于点H。
已知CF是∠ACD的平分线，O在CF上，根据角平分线的性质，O到∠ACD两边AC、CD的距离相等，即ON=OH；
又已知BG是∠ABC的平分线，O在BG上，根据角平分线的性质，O到∠ABC两边AB、BC的距离相等，即OM=ON；
结合上述两个结论可得OM=ON=OH，即可得证。
【答案】
证明:如答图,过点O作OM⊥BA交BA的延长线于点M,过点O作ON⊥BD于点N,OH⊥AC于点H.
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG交于点O,
∴ON=OH,OM=ON,
∴OM=ON=OH,
即点O到三边AB,BC,AC的距离相等.
【知识点】
角平分线的性质，等量代换，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题核心是正确构造点到直线的垂线段，再利用角平分线的性质得到距离的等量关系，通过等量代换完成证明，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8