【分析】
(1) 第一问可借助三角形内角和定理，结合角三等分线的性质求解：先将∠ABC、∠ACB分别设为3α、3β，根据△ABC的内角和求出α+β的值，再分别计算△DBC和△EBC的底角和，最后再次用三角形内角和得到∠D、∠E的度数。
(2) 第二问涉及内角和外角的三等分线，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），将∠D、∠E转化为与∠A相关的表达式即可推导关系。
(3) 第三问是两个外角的三等分线，先表示出两个外角的和，再结合△ABC的内角和将外角和转化为含∠A的式子，最后在△DBC、△EBC中用内角和定理推导∠D、∠E和∠A的关系。
【解析】
(1) 设∠ABC=3α，∠ACB=3β，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：$3α+3β+45°=180°$，
∴$α+β=45°$。
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，
∴∠DBC+∠DCB=2(α+β)=90°，∠EBC+∠ECB=α+β=45°，
在△BDC中，$∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-90°=90°$，
在△BEC中，$∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-45°=135°$。
(2) 猜想：$∠D=\frac{2}{3}∠A$，$∠E=\frac{1}{3}∠A$。
选择$∠E=\frac{1}{3}∠A$说明理由：
∵BE是∠ABC的三等分线，CE是∠ACB的外角∠ACF的三等分线，
∴$∠EBC=\frac{1}{3}∠ABC$，$∠ECF=\frac{1}{3}∠ACF$，
根据三角形外角性质，$∠ECF=∠E+∠EBC$，$∠ACF=∠A+∠ABC$，
∴$∠E=∠ECF-∠EBC=\frac{1}{3}(∠ACF-∠ABC)=\frac{1}{3}∠A$。
(3) 推导如下：
设∠ABC的外角为∠FBC，∠ACB的外角为∠GCB，
∵BE、BD三等分∠FBC，CE、CD三等分∠GCB，
∴$∠CBE=\frac{2}{3}∠CBF$，$∠BCE=\frac{2}{3}∠BCG$，$∠CBD=\frac{1}{3}∠CBF$，$∠BCD=\frac{1}{3}∠BCG$，
由平角定义得$∠CBF+∠BCG=360°-(∠ABC+∠ACB)$，
在△ABC中，$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$，
∴$∠CBF+∠BCG=180°+∠A$，
在△BDC中，$∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°-\frac{1}{3}(180°+∠A)=120°-\frac{1}{3}∠A$，
在△BEC中，$∠E=180°-(∠CBE+∠BCE)=180°-\frac{2}{3}(180°+∠A)=60°-\frac{2}{3}∠A$。
【答案】
(1) $∠D=90°$，$∠E=135°$；
(2) $∠D=\frac{2}{3}∠A$，$∠E=\frac{1}{3}∠A$；
(3) $∠D=120°-\frac{1}{3}∠A$，$∠E=60°-\frac{2}{3}∠A$。
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，角等分线定义
【点评】
本题是三角形角等分线角度计算的典型题型，通过角的和差关系、内角和与外角性质即可推导结论，掌握这类推导思路可以快速解决同类三角形角度推导问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 已知∠A的度数，先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再结合角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB的度数，最后利用三角形内角和即可算出∠BPC的度数。
(2) 先根据三角形外角的性质得出∠MBC+∠NCB与∠A的关系，再结合角平分线的定义求出∠QBC+∠QCB的度数，最后利用三角形内角和推导∠Q和∠A的数量关系。
(3) 首先利用角平分线的性质和三角形外角的性质，推导得出∠E=½∠A，再证明∠EBQ=90°，可知△BQE是直角三角形，接下来分四种情况讨论：直角是其中一个锐角的4倍、较大锐角是较小锐角的4倍，分别计算每种情况下∠E的度数，进而求出∠A的度数，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=½∠ABC，∠PCB=½∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=½(∠ABC+∠ACB)=½×110°=55°，
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-55°=125°。
(2)
∵∠MBC、∠NCB是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB，∠NCB=∠A+∠ABC，
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A。
∵BQ平分∠MBC，CQ平分∠NCB，
∴∠QBC=½∠MBC，∠QCB=½∠NCB，
∴∠QBC+∠QCB=½(∠MBC+∠NCB)=½(180°+∠A)=90°+½∠A，
在△QBC中，∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-(90°+½∠A)=90°-½∠A。
(3) 延长BC至点F，如答图。

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC。
∵∠ECF是△EBC的外角，
∴∠ECF=∠EBC+∠E，
两边同乘2得：2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又
∵∠ACF是△ABC的外角，
∴∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=½∠A。
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=½∠ABC+½∠MBC=½(∠ABC+∠MBC)=½×180°=90°，
在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，分4种情况讨论：
①∠EBQ=4∠E=90°，则∠E=22.5°，
∴∠A=2∠E=45°；
②∠EBQ=4∠Q=90°，则∠Q=22.5°，∠E=90°-∠Q=67.5°，
∴∠A=2∠E=135°；
③∠Q=4∠E，
∵∠Q+∠E=90°，
∴4∠E+∠E=90°，解得∠E=18°，
∴∠A=2∠E=36°；
④∠E=4∠Q，
∵∠Q+∠E=90°，
∴∠Q+4∠Q=90°，解得∠E=72°，
∴∠A=2∠E=144°。
综上所述，∠A的度数为45°或135°或36°或144°。
【答案】
(1) $125°$
(2) $∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(3) 延长 BC 至点 F,如答图.

∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的平分线,
∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线,
∴∠ACF=2∠ECF.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC.
∵∠ECF=∠EBC+∠E,
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,
又
∵∠ACF=∠ABC+∠A,
∴∠A=2∠E,即∠E=1/2∠A.
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=1/2∠ABC+1/2∠MBC=1/2×180°=90°,
如果在△BQE 中,存在一个内角等于另一个内角的 4 倍,那么分以下四种情况:
①∠EBQ=4∠E=90°,则∠E=22.5°,
∴∠A=2∠E=45°.
②∠EBQ=4∠Q=90°,则∠Q=22.5°,∠E=67.5°,
∴∠A=2∠E=135°.
③∠Q=4∠E,则 5∠E=90°,
∴∠E=18°,
∴∠A=2∠E=36°.
④∠E=4∠Q,则∠E=72°,
∴∠A=2∠E=144°.
综上所述,∠A 的度数是 45°或 135°或 36°或 144°.
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形双角平分线的典型题型，前两问考查内角、外角平分线与顶角的固定数量关系，第三问结合分类讨论思想，需要全面考虑角之间的倍数关系，避免漏解，能有效提升对三角形角度运算的掌握程度。
【难度系数】
0.5