22.(8分)如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
(1)求证:△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
答案：
22.(1)证明:
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.
理由:连接AO，如答图.
在△AOB和△AOC中，$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
∴点O在∠BAC的平分线上.
22.(1)证明:
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.
理由:连接AO，如答图.
在△AOB和△AOC中，$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
∴点O在∠BAC的平分线上.
23.(10分)如图,在△OBC中,边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D,连接DB,DC,过点D作DF⊥OC于点F.
(1)若∠BOC=60°,求∠BDC的度数;
(2)若∠BOC=α,则∠BDC=
(3)求OB,OC,OF之间的数量关系.
(1)若∠BOC=60°,求∠BDC的度数;
(2)若∠BOC=α,则∠BDC=
180°−α
;(用含α的式子表示)(3)求OB,OC,OF之间的数量关系.
答案：
23.(1)解:过点D作DE⊥OB，交OB的延长线于点E，如答图.
∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，DB=DC.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\begin{cases} DB=DC, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF，即∠EDF=∠BDC.
∵∠OED=∠OFD=90°，∠BOC=60°，
∴∠EDF=120°，
∴∠BDC=120°.
(2)$180°-α$
(3)解:由(1)可知，△DEB≌△DFC，则BE=CF.
∵OB+OC=OB+OF+FC，
∴OB+OC=OB+OF+EB=(OB+EB)+OF=OE+OF.
在Rt△DEO和Rt△DFO中，$\begin{cases} OD=OD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL)，
∴OE=OF，
∴OB+OC=2OF.
23.(1)解:过点D作DE⊥OB，交OB的延长线于点E，如答图.
∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，DB=DC.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\begin{cases} DB=DC, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF，即∠EDF=∠BDC.
∵∠OED=∠OFD=90°，∠BOC=60°，
∴∠EDF=120°，
∴∠BDC=120°.
(2)$180°-α$
(3)解:由(1)可知，△DEB≌△DFC，则BE=CF.
∵OB+OC=OB+OF+FC，
∴OB+OC=OB+OF+EB=(OB+EB)+OF=OE+OF.
在Rt△DEO和Rt△DFO中，$\begin{cases} OD=OD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL)，
∴OE=OF，
∴OB+OC=2OF.
24.(12分)(2025·北碚区期末)已知△ABC为等边三角形，D,E分别为AB,BC边上的点，AE,CD相交于点F,BD=CE.
(1)如图①,求∠AFD的度数；
(2)如图②,连接BF并延长,与AC相交于点G,M为BF延长线上一点,MF=BF,N为CD延长线上一点,∠MAN=120°,若∠ACF=2∠CBG.求证:CN=2AG；
(3)在(2)的条件下,若△ABM的面积为2,AF+GC=DF+1,直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和.
(1)如图①,求∠AFD的度数；
(2)如图②,连接BF并延长,与AC相交于点G,M为BF延长线上一点,MF=BF,N为CD延长线上一点,∠MAN=120°,若∠ACF=2∠CBG.求证:CN=2AG；
(3)在(2)的条件下,若△ABM的面积为2,AF+GC=DF+1,直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和.
答案：
24.(1)解:
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC.
在△CBD和△ACE中，$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠ACE, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△CBD≌△ACE(SAS)，
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
(2)证明:延长AE到点H，使FH=AF，连接BH，如答图①.
又
∵MF=BF，∠MFA=∠BFH，
∴△AFM≌△HFB(SAS)，
∴∠FAM=∠H.
∵∠NAM=∠FAM+∠NAF=120°，∠AFD=60°，
∴∠NAF+∠ANC=120°，
∴∠FAM=∠ANC，
∴∠H=∠ANC.
∵∠ACF=2∠CBG，
∴设∠CBG=α，则∠ACN=2α，
∴∠BCD=60°-2α，
由(1)知∠CAE=∠BCD=60°-2α，
∴∠BAH=∠BAC-∠CAE=60°-(60°-2α)=2α=∠ACN.
又
∵AB=AC，
∴△ANC≌△BHA(AAS)，
∴CN=AH=2AF.
∵∠CBG=α，∠BCD=60°-2α，
∴∠CFG=∠CBG+∠BCD=60°-α，
∴∠AGF=∠CFG+∠ACN=60°-α+2α=60°+α，
∴∠AFG=180°-∠CAE-∠AGF=180°-(60°-2α)-(60°+α)=60°+α=∠AGF，
∴AF=AG，
∴CN=AH=2AF=2AG.
(3)解:延长AE到点H，使FH=AF，连接BH.过点A作AH₁⊥BC于点H₁，过点C作CH₂⊥AB于点H₂，过点N作NH₃⊥AB于点H₃，如答图②.
设AH₁=h₁，CH₂=h₂，NH₃=h₃，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH₁=CH₂，即h₁=h₂.
由(2)知△AFM≌△HFB，
∴S△AFM=S△HFB，
∴S△ABM=S△HAB.
∵△ABM的面积为2，
∴S△ABM=S△HAB=2.
∵△ANC≌△BHA，
∴S△ANC=S△BHA=2.
由(2)知∠CBG=α，
∴∠ABG=60°-α.
∵∠BFD=∠CFG=60°-α，
∴∠ABG=∠BFD，
∴DF=DB.
由(2)知AF=AG，
∵AF+GC=DF+1，
∴AG+GC=DF+1，即AC=DF+1.
∵AC=AB，
∴AB=DB+1=AD+DB，
∴AD=1，S△ANC=S△AND+S△ADC=$\frac{1}{2}(h_3+h_2)AD=2$，
∴h₃+h₂=4，
∴h₃+h₁=4，
即点A到BC的距离与点N到AB的距离之和为4.
24.(1)解:
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC.
在△CBD和△ACE中，$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠ACE, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△CBD≌△ACE(SAS)，
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
(2)证明:延长AE到点H，使FH=AF，连接BH，如答图①.
又
∵MF=BF，∠MFA=∠BFH，
∴△AFM≌△HFB(SAS)，
∴∠FAM=∠H.
∵∠NAM=∠FAM+∠NAF=120°，∠AFD=60°，
∴∠NAF+∠ANC=120°，
∴∠FAM=∠ANC，
∴∠H=∠ANC.
∵∠ACF=2∠CBG，
∴设∠CBG=α，则∠ACN=2α，
∴∠BCD=60°-2α，
由(1)知∠CAE=∠BCD=60°-2α，
∴∠BAH=∠BAC-∠CAE=60°-(60°-2α)=2α=∠ACN.
又
∵AB=AC，
∴△ANC≌△BHA(AAS)，
∴CN=AH=2AF.
∵∠CBG=α，∠BCD=60°-2α，
∴∠CFG=∠CBG+∠BCD=60°-α，
∴∠AGF=∠CFG+∠ACN=60°-α+2α=60°+α，
∴∠AFG=180°-∠CAE-∠AGF=180°-(60°-2α)-(60°+α)=60°+α=∠AGF，
∴AF=AG，
∴CN=AH=2AF=2AG.
(3)解:延长AE到点H，使FH=AF，连接BH.过点A作AH₁⊥BC于点H₁，过点C作CH₂⊥AB于点H₂，过点N作NH₃⊥AB于点H₃，如答图②.
设AH₁=h₁，CH₂=h₂，NH₃=h₃，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH₁=CH₂，即h₁=h₂.
由(2)知△AFM≌△HFB，
∴S△AFM=S△HFB，
∴S△ABM=S△HAB.
∵△ABM的面积为2，
∴S△ABM=S△HAB=2.
∵△ANC≌△BHA，
∴S△ANC=S△BHA=2.
由(2)知∠CBG=α，
∴∠ABG=60°-α.
∵∠BFD=∠CFG=60°-α，
∴∠ABG=∠BFD，
∴DF=DB.
由(2)知AF=AG，
∵AF+GC=DF+1，
∴AG+GC=DF+1，即AC=DF+1.
∵AC=AB，
∴AB=DB+1=AD+DB，
∴AD=1，S△ANC=S△AND+S△ADC=$\frac{1}{2}(h_3+h_2)AD=2$，
∴h₃+h₂=4，
∴h₃+h₁=4，
即点A到BC的距离与点N到AB的距离之和为4.