17.1 用提公因式法分解因式
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积. 如 33 分解成 $3×11$，42 分解成 $2×3×7$. 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
在章引言里，我们知道
$pa+pb+pc=p(a+b+c).$
这表明多项式 $pa+pb+pc$ 可以写成两个整式的乘积的形式.
## 探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) $x^2+x=\underline{x(x+1)}$；
(2) $x^2-1=\underline{(x+1)(x-1)}$；
(3) $x^2+2x+1=\underline{(x+1)^2}$.
根据整式的乘法，可以得到
$x^2+x=x(x+1),$
$x^2-1=(x+1)(x-1),$
$x^2+2x+1=(x+1)^2.$
因式分解不针对单项式，只针对多项式.
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，例如，
$pa+pb+pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a+b+c).$
下面我们来学习如何对多项式进行因式分解.
观察多项式
$pa+pb+pc,$
它的各项都有一个公共的因式 $p$，我们把因式 $p$ 叫作这个多项式各项的公因式.
由
$pa+pb+pc=p(a+b+c)$
公因式可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式.
注意! 公因式必须是多项式中各项都有的一个公共的因式. 只在某一项或某些项中存在，而在其他项中不存在的因式，不能作为公因式.
124 第十七章 因式分解
知识链接 提公因式法分解因式的技巧：
①如果多项式中第一项的系数是负值，那么一般提取负号，并同时变换多项式中各项的符号；
可知，$pa+pb+pc$ 可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式 $p$ 是各项的公因式，另一个因式 $a+b+c$ 是 $pa+pb+pc$ 除以 $p$ 所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
②如果多项式中某些项的系数是小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项系数变为整数；
利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式.
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积. 如 33 分解成 $3×11$，42 分解成 $2×3×7$. 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
在章引言里，我们知道
$pa+pb+pc=p(a+b+c).$
这表明多项式 $pa+pb+pc$ 可以写成两个整式的乘积的形式.
## 探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) $x^2+x=\underline{x(x+1)}$；
(2) $x^2-1=\underline{(x+1)(x-1)}$；
(3) $x^2+2x+1=\underline{(x+1)^2}$.
根据整式的乘法，可以得到
$x^2+x=x(x+1),$
$x^2-1=(x+1)(x-1),$
$x^2+2x+1=(x+1)^2.$
因式分解不针对单项式，只针对多项式.
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，例如，
$pa+pb+pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a+b+c).$
下面我们来学习如何对多项式进行因式分解.
观察多项式
$pa+pb+pc,$
它的各项都有一个公共的因式 $p$，我们把因式 $p$ 叫作这个多项式各项的公因式.
由
$pa+pb+pc=p(a+b+c)$
公因式可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式.
注意! 公因式必须是多项式中各项都有的一个公共的因式. 只在某一项或某些项中存在，而在其他项中不存在的因式，不能作为公因式.
124 第十七章 因式分解
知识链接 提公因式法分解因式的技巧：
①如果多项式中第一项的系数是负值，那么一般提取负号，并同时变换多项式中各项的符号；
可知，$pa+pb+pc$ 可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式 $p$ 是各项的公因式，另一个因式 $a+b+c$ 是 $pa+pb+pc$ 除以 $p$ 所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
②如果多项式中某些项的系数是小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项系数变为整数；
利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式.
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